Teorie · D3 Geometrie · clasa a VIII-a
Unghiuri și distanțe în corpuri în clasa a VIII-a: dreaptă și plan, unghi diedru, distanța la un plan
Cum folosești în clasa a VIII-a sinusul, cosinusul și tangenta din clasa a VII-a în corpuri: unghiul dintre o dreaptă și un plan, unghiul diedru și unghiul a două plane, distanța de la un punct la o dreaptă, la un plan și dintre plane paralele, în prisme și piramide.
De unde vine
Înălțimea unei piramide este distanța de la vârf la planul bazei, iar o poveste veche spune cum a fost măsurată fără să urce nimeni pe ea. Thales din Milet (aproximativ 624–547 î.Hr.) ar fi măsurat piramidele Egiptului după umbra lor: după Hieronymus, citat de Diogene Laertios, a ales momentul în care umbra unui om este egală cu înălțimea lui — atunci și umbra piramidei este egală cu înălțimea ei. Plutarh povestește o variantă cu un băț pus la capătul umbrei piramidei și cu două triunghiuri asemenea.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan se vede cel mai bine la Turnul din Pisa. Fundațiile lui au fost puse pe 9 august 1173, iar în 1178, când se ajunsese la etajul al doilea, turnul a început să se scufunde în solul moale. Până în 1990 înclinarea ajunsese la $5{,}5^\circ$ față de verticală; lucrările de consolidare din 1990–2001 au redus-o la aproximativ $3{,}97^\circ$.
Înclinarea față de verticală este unghiul dintre axa turnului și firul cu plumb, iar unghiul turnului cu planul solului este complementul ei: aproximativ $90^\circ-3{,}97^\circ=86{,}03^\circ$.
La ce folosește
Panta unui acoperiș este unghiul dintre planul acoperișului și planul orizontal. La o casă lată de $8$ m, cu acoperișul în două ape înclinat la $30^\circ$, coama se ridică deasupra podului cu $4\cdot\operatorname{tg}30^\circ=\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2{,}31$ m. Cu cât unghiul diedru e mai mare, cu atât zăpada alunecă mai ușor.
Un panou solar lung de $2$ m este înclinat la $30^\circ$ față de acoperișul plat. Marginea lui de sus este cu $2\cdot\sin 30^\circ=1$ m mai sus, iar proiecția lui pe acoperiș are $2\cdot\cos 30^\circ=\sqrt{3}\approx 1{,}73$ m. Montatorii folosesc proiecția ca să știe cât loc ocupă un rând de panouri.
Distanța dintre două plane paralele se măsoară pe perpendiculară. Înălțimea liberă a unei camere este distanța dintre planul podelei și planul tavanului, măsurată vertical — nu pe diagonala peretelui.
De bază
Din clasa a VII-a știi să rezolvi un triunghi dreptunghic cu Pitagora, sinus, cosinus și tangentă. În clasa a VIII-a fiecare unghi sau distanță din spațiu se reduce la un astfel de triunghi. Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan. Distanța dintre două plane paralele este lungimea oricărui segment perpendicular pe ele, cu capetele în cele două plane.
Unghiul diedru este figura formată de două semiplane (fețele lui) mărginite de aceeași dreaptă (muchia lui). Unghiul plan al diedrului se construiește așa: alegi un punct pe muchie și duci din el câte o perpendiculară pe muchie, una în fiecare față; unghiul dintre ele este unghiul plan, iar măsura lui nu depinde de punctul ales. Unghiul a două plane secante este unghiul plan al celui mai mic dintre diedrele pe care le formează, deci are cel mult $90^\circ$; când are $90^\circ$, planele sunt perpendiculare.
Exemplu: paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ are $AB=4$ cm, $BC=3$ cm și $AA'=5$ cm. Unghiul dintre diagonala $AC'$ și planul bazei: proiecția lui $AC'$ pe bază este $AC=\sqrt{16+9}=5$ cm, iar triunghiul $ACC'$ este dreptunghic în $C$ cu catetele $AC=CC'=5$ cm. Deci $\operatorname{tg}\sphericalangle C'AC=1$, unghiul are $45^\circ$ și $AC'=5\sqrt{2}$ cm.
Exemplul 2: în același paralelipiped, distanța dintre planele $(ABC)$ și $(A'B'C')$ este $AA'=5$ cm. Distanța de la $C'$ la dreapta $AB$: $AB\perp(BCC')$, deci $AB\perp BC'$, iar distanța este $BC'=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$ cm.
Exemplul 3: în cubul $ABCDA'B'C'D'$ aflăm unghiul planelor $(ABC)$ și $(A'BC)$. Muchia comună este $BC$. În planul bazei, $AB\perp BC$. Cum $BC\perp(ABB')$, avem și $A'B\perp BC$, iar $A'B$ este în planul $(A'BC)$. Unghiul plan este $\sphericalangle A'BA$, un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic isoscel $A'AB$, deci are $45^\circ$.
Mediu
Într-o piramidă regulată, două triunghiuri dreptunghice rezolvă aproape tot: $VOA$, pentru unghiul muchiei laterale cu baza ($\sphericalangle VAO$), și $VOM$, pentru unghiul feței laterale cu baza ($\sphericalangle VMO$, cu $M$ mijlocul unei laturi a bazei). $OA$ este raza cercului circumscris bazei, $OM$ este apotema bazei.
Exemplu: piramida triunghiulară regulată $VABC$ are latura bazei $AB=6\sqrt{3}$ cm și muchia laterală $VA=12$ cm. Centrul $O$ al triunghiului echilateral este la două treimi din înălțime: $OA=\frac{2}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=6$ cm. În triunghiul $VOA$, $\cos\sphericalangle VAO=\frac{OA}{VA}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, deci muchia laterală face cu baza un unghi de $60^\circ$, iar înălțimea este $VO=\sqrt{144-36}=6\sqrt{3}$ cm.
Exemplul 2: piramida hexagonală regulată are latura bazei de $4$ cm și înălțimea de $6$ cm. Hexagonul este format din șase triunghiuri echilaterale, deci apotema bazei este înălțimea unuia: $OM=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm. Unghiul dintre o față laterală și bază este $\sphericalangle VMO$, cu $\operatorname{tg}\sphericalangle VMO=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, deci are $60^\circ$.
Exemplul 3: aceeași construcție merge și în afara piramidei. Paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ are baza pătratul $ABCD$ cu latura de $6$ cm și $AA'=3\sqrt{6}$ cm; aflăm unghiul planelor $(A'BD)$ și $(ABC)$. Muchia comună este $BD$; fie $O$ centrul pătratului. În bază, $AO\perp BD$, pentru că diagonalele pătratului sunt perpendiculare. Triunghiul $A'BD$ este isoscel ($A'B=A'D$, diagonale ale unor fețe congruente), deci mediana $A'O$ este și înălțime: $A'O\perp BD$. Unghiul plan este $\sphericalangle A'OA$, cu $AO=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm și $\operatorname{tg}\sphericalangle A'OA=\frac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\sqrt{3}$, deci planele fac un unghi de $60^\circ$.
Cum recunoști ce triunghi îți trebuie: „muchia laterală” cere $OA$; „fața laterală” sau „apotema” cere $OM$.
Avansat
La Subiectul al III-lea, după un unghi urmează adesea o distanță de la un punct la un plan oblic. Ideea este să găsești un plan perpendicular pe planul oblic și să cobori perpendiculara în el.
Exemplu: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are toate muchiile de $6$ cm; $O$ este centrul bazei și $M$ mijlocul lui $BC$.
a) Unghiul muchiei $VA$ cu planul bazei. $OA=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ cm, deci $\cos\sphericalangle VAO=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și unghiul are $45^\circ$. De aici și $VO=OA=3\sqrt{2}$ cm.
b) Distanța de la $O$ la planul $(VBC)$. $BC\perp OM$ și $BC\perp VO$, deci $BC\perp(VOM)$. Ducem în triunghiul $VOM$ înălțimea $OE\perp VM$. Cum $OE$ este în planul $(VOM)$, $OE\perp BC$; fiind perpendiculară pe $VM$ și pe $BC$, concurente, $OE\perp(VBC)$. În triunghiul dreptunghic $VOM$: $OM=3$ cm, $VM=\sqrt{18+9}=3\sqrt{3}$ cm, iar $OE=\frac{VO\cdot OM}{VM}=\frac{3\sqrt{2}\cdot 3}{3\sqrt{3}}=\sqrt{6}$ cm.
Observă că distanța de la $O$ la plan, $\sqrt{6}\approx 2{,}45$ cm, este mai mică decât $OM=3$ cm, distanța de la $O$ la dreapta $BC$ din acel plan — perpendiculara pe plan este cel mai scurt drum.
Greșeli frecvente
Unghiul cu o dreaptă din plan care nu este proiecția. Unghiul lui $AC'$ cu baza se ia cu diagonala $AC$, nu cu muchia $AB$: triunghiul $ABC'$ nu conține proiecția.
Raza în loc de apotemă. La piramida triunghiulară regulată, $OM$ (pentru fața laterală) este jumătate din $OA$ (pentru muchia laterală): cu $OA=6$ cm, $OM=3$ cm. Dacă le încurci, obții alt unghi.
Distanța la plan luată ca distanță la o dreaptă din el. În piramida cu toate muchiile de $6$ cm, distanța de la $O$ la planul $(VBC)$ este $\sqrt{6}$ cm, nu $OM=3$ cm.
Sinus și cosinus inversate la proiecție. Proiecția unui segment de lungime $l$ înclinat la unghiul $u$ este $l\cos u$, iar ridicarea lui este $l\sin u$: panoul de $2$ m la $30^\circ$ se ridică $1$ m și are proiecția $\sqrt{3}$ m, nu invers.
Unghiul cu verticala confundat cu unghiul cu planul. Turnul din Pisa face cu verticala aproximativ $3{,}97^\circ$, iar cu planul solului complementul, aproximativ $86{,}03^\circ$.
Surse pentru partea istorică
- Thales din Milet (624–547 î.Hr.); după Hieronymus, citat de Diogene Laertios, a măsurat piramidele după umbră în momentul în care umbra noastră e egală cu înălțimea noastră; varianta lui Plutarh cu un băț și două triunghiuri — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Turnul din Pisa: fundații puse pe 9 august 1173, scufundarea începe în 1178 la etajul al doilea, înclinare de 5,5 grade în 1990, redusă la 3,97 grade prin lucrările din 1990–2001 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.