Teorie · D4 Geometrie · clasa a VIII-a
Poliedre: prismă, paralelipiped, cub, piramidă, trunchi de piramidă - arii și volume
Formulele de arie și volum pentru cub, paralelipiped, prismă regulată, piramidă regulată și trunchi de piramidă, apotema, diagonala, desfășurarea și secțiunea paralelă cu baza, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Egiptenii calculau volume de corpuri cu aproape patru mii de ani în urmă. Papirusul matematic de la Moscova, scris în jurul anului 1850 î.Hr. și păstrat azi la Muzeul Pușkin din Moscova, are ca problemă 14 un trunchi de piramidă cu baza pătrată de latură $4$, baza mică de latură $2$ și înălțimea $6$. Scribul obține volumul $56$, calculat cu regula corectă, aceeași pe care o înveți tu pentru trunchi.
Faptul că volumul piramidei este o treime din volumul prismei cu aceeași bază și aceeași înălțime a fost enunțat de Democrit, în Grecia antică. Demonstrația riguroasă i-o datorăm lui Eudox din Cnidos (aproximativ 408–355 î.Hr.) — așa ne spune Arhimede, în lucrarea „Despre sferă și cilindru”.
În 1758, elvețianul Leonhard Euler a publicat o relație simplă pentru orice poliedru convex: numărul vârfurilor minus numărul muchiilor plus numărul fețelor este $2$. Pentru cub, $8-12+6=2$. O formulare pentru poliedrele regulate exista deja într-un manuscris nepublicat al lui Francesco Maurolico, din 1537.
La ce folosește
Un acvariu în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile interioare de $60$ cm, $30$ cm și $40$ cm, are volumul $60\cdot 30\cdot 40=72\,000$ cm$^3$, adică $72$ de litri, pentru că $1$ litru are $1000$ cm$^3$. Așa se alege pompa sau cantitatea de apă tratată.
Ca să zugrăvești o cameră de $4$ m pe $3$ m, înaltă de $2{,}5$ m, calculezi aria laterală a paralelipipedului: $2\cdot(4+3)\cdot 2{,}5=35$ m$^2$ (fără uși și ferestre, care se scad). Dacă un litru de vopsea acoperă $10$ m$^2$, îți trebuie $3{,}5$ litri pentru un strat. Tavanul este una dintre baze; podeaua nu se vopsește — de aceea contează dacă se cere aria laterală sau aria totală.
Ambalajele sunt desfășurări: o cutie de carton este tăiată dintr-o singură foaie, desenată ca desfășurarea paralelipipedului, iar aria foii este aria totală plus clapele de lipire.
De bază
Cubul cu muchia $l$: aria totală $A_t=6l^2$, volumul $V=l^3$, diagonala $d=l\sqrt{3}$.
Paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile $a$, $b$, $c$: $A_t=2(ab+bc+ca)$, $V=abc$, diagonala $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Prisma dreaptă: aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea, $A_l=P_b\cdot h$, iar volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea, $V=A_b\cdot h$. Aria totală adaugă cele două baze: $A_t=A_l+2A_b$.
Piramida regulată: fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, iar înălțimea unei fețe laterale se numește apotemă ($a_p$). $A_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2}$, $A_t=A_l+A_b$, $V=\frac{A_b\cdot h}{3}$.
Exemplu: cubul cu muchia de $5$ cm are $V=5^3=125$ cm$^3$, $A_t=6\cdot 25=150$ cm$^2$ și diagonala $5\sqrt{3}$ cm.
Exemplul 2: paralelipipedul dreptunghic cu $a=12$ cm, $b=4$ cm, $c=3$ cm are diagonala $\sqrt{144+16+9}=\sqrt{169}=13$ cm, volumul $12\cdot 4\cdot 3=144$ cm$^3$ și aria totală $2(48+12+36)=192$ cm$^2$.
Mediu
La piramidă, aproape orice calcul trece printr-un triunghi dreptunghic cu vârful în $V$: $VOM$ (înălțime, apotema bazei, apotema piramidei) sau $VOA$ (înălțime, raza cercului circumscris bazei, muchia laterală). La pătrat, $OM$ este jumătate din latură, iar $OA$ jumătate din diagonală.
Exemplu: piramida patrulateră regulată $VABCD$ are latura bazei de $6$ cm și înălțimea de $4$ cm. Apotema bazei este $OM=3$ cm, deci apotema piramidei este $VM=\sqrt{16+9}=5$ cm. Atunci $A_l=\frac{4\cdot 6\cdot 5}{2}=60$ cm$^2$, $A_t=60+36=96$ cm$^2$ și $V=\frac{36\cdot 4}{3}=48$ cm$^3$.
Exemplul 2: aceeași formă, dar cu latura bazei de $12$ cm și muchia laterală $VA=10$ cm. Acum folosești triunghiul $VOA$: $OA=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$ cm, deci $VO=\sqrt{100-72}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ cm.
Exemplul 3: prisma triunghiulară regulată are latura bazei de $6$ cm și înălțimea de $10$ cm. Baza este triunghi echilateral, cu aria $\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm$^2$, deci $V=9\sqrt{3}\cdot 10=90\sqrt{3}$ cm$^3$, iar $A_l=3\cdot 6\cdot 10=180$ cm$^2$.
Trunchiul de piramidă regulată, cu ariile bazelor $A_B$ și $A_b$ și înălțimea $h$, are $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$; fețele laterale sunt trapeze isoscele, iar $A_l=\frac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2}$, unde $a_t$ este apotema trunchiului.
Avansat
Trei idei deschid problemele grele cu poliedre.
Ideea 1 — trunchiul este o piramidă mare din care s-a tăiat una mică. O secțiune paralelă cu baza face o piramidă mică asemenea cu cea mare: dacă raportul lungimilor este $k$, raportul ariilor este $k^2$, iar al volumelor $k^3$.
Exemplu: piramida patrulateră regulată cu latura bazei de $12$ cm și înălțimea de $8$ cm este tăiată cu un plan paralel cu baza, la jumătatea înălțimii. Piramida mică are latura $6$ cm și înălțimea $4$ cm. Volumul trunchiului este $\frac{144\cdot 8}{3}-\frac{36\cdot 4}{3}=384-48=336$ cm$^3$. Formula trunchiului dă același rezultat: $\frac{4}{3}(144+36+\sqrt{144\cdot 36})=\frac{4}{3}\cdot 252=336$ cm$^3$. Observă că piramida mică are $\frac{1}{8}$ din volumul celei mari, pentru că $k=\frac{1}{2}$ și $k^3=\frac{1}{8}$.
Ideea 2 — desfășurarea transformă un drum pe suprafață într-un segment. Cel mai scurt drum pe fețele unui corp devine un segment de dreaptă după ce desfaci fețele în plan.
Exemplul 2: o furnică merge pe suprafața unui cub cu muchia de $6$ cm, de la $A$ la $C'$. Desfăcând fața de jos și fața laterală din spate într-un dreptunghi de $12$ cm pe $6$ cm, drumul cel mai scurt este diagonala lui: $\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\approx 13{,}4$ cm. Pe muchii ar fi mers $18$ cm, iar diagonala cubului, $6\sqrt{3}\approx 10{,}4$ cm, trece prin interior, unde furnica nu poate merge.
Ideea 3 — în desfășurarea unei piramide sau prisme, lungimile se păstrează: muchiile și apotemele din desen au exact lungimile din corp.
Greșeli frecvente
Confuzia dintre arie și volum la cub: $l^2$ este aria unei fețe, $6l^2$ aria totală, $l^3$ volumul. La muchia de $5$ cm volumul este $125$ cm$^3$, nu $25$ și nici $150$.
Aria laterală în loc de aria totală (sau invers). Aria laterală a cubului are $4$ fețe, aria totală $6$. Citește ce se cere.
Înălțimea piramidei folosită în locul apotemei. Fețele laterale sunt triunghiuri cu înălțimea $a_p$, nu $h$: la baza $6$ și înălțimea $4$, apotema este $5$ cm și $A_l=60$ cm$^2$, nu $48$.
Uitarea împărțirii la $2$ (la aria fețelor triunghiulare) sau adăugarea împărțirii la $3$ acolo unde nu e: volumul prismei este $A_b\cdot h$, doar al piramidei este $\frac{A_b\cdot h}{3}$.
Baza greșită. Prisma triunghiulară regulată are ca bază un triunghi echilateral, cu aria $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$, nu $l^2$ și nici $\frac{l^2}{2}$.
Diagonala calculată prin adunare sau fără radical: diagonala paralelipipedului $12$, $4$, $3$ este $\sqrt{169}=13$ cm, nu $19$ și nici $169$. Iar în triunghiul $VOA$ muchia laterală este ipotenuza: $VO^2=VA^2-OA^2$, cu $OA$ jumătate din diagonala bazei, nu jumătate din latură.
Surse pentru partea istorică
- Papirusul matematic de la Moscova, în jurul anului 1850 î.Hr., păstrat la Muzeul Pușkin; problema 14, trunchiul cu laturile 4 și 2 și înălțimea 6, volum 56 — en.wikipedia.org
- Democrit a enunțat că volumul piramidei este o treime din al prismei; Eudox (c. 408–355 î.Hr.) a demonstrat, după Arhimede în Despre sferă și cilindru — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Euler a enunțat formula poliedrului în 1758; Maurolico o formulase pentru poliedrele regulate în 1537, într-un manuscris nepublicat — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.