Poliedre în clasa a VIII-a: prisme, piramide, tetraedrul regulat și trunchiul de piramidă, arii, volume, desfășurări

De bază

Din clasa a V-a știi volumul cubului, $l^3$, și al paralelipipedului dreptunghic, $a\cdot b\cdot c$; din clasa a VII-a știi ariile triunghiului echilateral, $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$, și hexagonului regulat, $6\cdot\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. În clasa a VIII-a le pui împreună. Prisma dreaptă: $A_l=P_b\cdot h$, $A_t=A_l+2A_b$, $V=A_b\cdot h$. Piramida regulată: $A_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2}$, $A_t=A_l+A_b$, $V=\frac{A_b\cdot h}{3}$.

Tetraedrul regulat este piramida triunghiulară cu toate cele $6$ muchii egale, de lungime $l$: cele $4$ fețe sunt triunghiuri echilaterale congruente și oricare dintre ele poate fi bază. Pentru el: $A_t=l^2\sqrt{3}$, $h=\frac{l\sqrt{6}}{3}$, $V=\frac{l^3\sqrt{2}}{12}$.

Diagonala cubului cu muchia $l$ este $d=l\sqrt{3}$, iar a paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile $a$, $b$, $c$ este $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$: aplici Pitagora o dată în bază și încă o dată în secțiunea diagonală.

Desfășurarea unui corp este suprafața lui întinsă într-un plan, fără suprapuneri. Fețele laterale ale unei prisme drepte, puse una lângă alta, formează un dreptunghi cu laturile $P_b$ și $h$ (de aici $A_l=P_b\cdot h$), la care se adaugă cele două baze. Desfășurarea cubului are $6$ pătrate congruente. Desfășurarea piramidei regulate are baza și $n$ triunghiuri isoscele congruente, câte unul lipit de fiecare latură a bazei, cu înălțimea egală cu apotema piramidei.

Exemplu: un cub are aria totală de $96$ cm$^2$. O față are $\frac{96}{6}=16$ cm$^2$, deci muchia este $4$ cm și volumul $4^3=64$ cm$^3$. Așa arată un item de Subiectul I: se dă o mărime și se cere alta, prin elementul comun.

Exemplul 2: prisma hexagonală regulată are latura bazei de $2$ cm și înălțimea de $5$ cm. Baza are aria $6\cdot\frac{4\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$ cm$^2$, deci $V=6\sqrt{3}\cdot 5=30\sqrt{3}$ cm$^3$. Aria laterală are șase dreptunghiuri de $2$ cm pe $5$ cm: $A_l=60$ cm$^2$, iar $A_t=60+12\sqrt{3}$ cm$^2$.

Exemplul 3: cubul din exemplul 1, cu muchia de $4$ cm, are diagonala $4\sqrt{3}$ cm. Paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile de $3$ cm, $4$ cm și $12$ cm are diagonala $\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ cm. Suprafața laterală a prismei din exemplul 2 se desfășoară într-un dreptunghi de $6\cdot 2=12$ cm pe $5$ cm, cu aria $60$ cm$^2$ — exact $A_l$.

Mediu

La nivel mediu, elementul care lipsește se află dintr-o arie sau dintr-un triunghi dreptunghic ascuns în corp.

Exemplu: tetraedrul regulat are toate muchiile de $6$ cm. Cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale, deci $A_t=4\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$ cm$^2$. Piciorul înălțimii este centrul $O$ al bazei, cu $OA=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ cm, deci $h=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ cm și $V=\frac{9\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}}{3}=18\sqrt{2}$ cm$^3$. Formulele tetraedrului regulat dau același rezultat: $h=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}$ cm și $V=\frac{216\sqrt{2}}{12}=18\sqrt{2}$ cm$^3$.

Exemplul 2: piramida patrulateră regulată are latura bazei de $10$ cm și aria laterală de $260$ cm$^2$. Din $\frac{40\cdot a_p}{2}=260$ rezultă apotema $a_p=13$ cm. Cu apotema bazei de $5$ cm, înălțimea este $\sqrt{169-25}=12$ cm, iar $V=\frac{100\cdot 12}{3}=400$ cm$^3$.

Trunchiul de piramidă este ce rămâne dintr-o piramidă sub o secțiune paralelă cu baza. La trunchiul de piramidă regulată bazele sunt poligoane regulate asemenea, fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente, iar înălțimea unei fețe laterale este apotema trunchiului, $a_t$. Cu $P_B$, $P_b$ perimetrele și $A_B$, $A_b$ ariile celor două baze: $A_l=\frac{(P_B+P_b)\cdot a_t}{2}$, $A_t=A_l+A_B+A_b$, $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$.

Exemplul 3: trunchiul de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de $10$ cm și $4$ cm și înălțimea de $4$ cm. Într-o față laterală (trapez isoscel), apotema trunchiului este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $4$ cm și $\frac{10-4}{2}=3$ cm, deci are $5$ cm. Atunci $A_l=\frac{(40+16)\cdot 5}{2}=140$ cm$^2$ și $V=\frac{4}{3}\left(100+16+\sqrt{100\cdot 16}\right)=\frac{4}{3}\cdot 156=208$ cm$^3$.

Un plan paralel cu baza taie din piramidă o piramidă mică, asemenea cu cea mare. Dacă raportul lungimilor lor (laturi, muchii, înălțimi, apoteme) este $k$, raportul ariilor este $k^2$, iar raportul volumelor este $k^3$.

Exemplul 4: o piramidă are aria bazei de $180$ cm$^2$ și înălțimea de $9$ cm, deci volumul $\frac{180\cdot 9}{3}=540$ cm$^3$. Un plan paralel cu baza, dus la $3$ cm de vârf, taie o piramidă mică cu $k=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Secțiunea are aria $\frac{180}{9}=20$ cm$^2$, piramida mică are volumul $\frac{540}{27}=20$ cm$^3$, iar trunchiul rămas are $540-20=520$ cm$^3$.

Avansat

Problemele practice din Subiectul al III-lea cer un volum transformat în altă mărime: litri, înălțimea apei, raportul a două părți ale unui corp.

Exemplu: un rezervor în formă de paralelipiped dreptunghic are baza de $2$ m pe $1{,}5$ m. a) În el se toarnă $2400$ de litri de apă. Cum $2400$ L $=2{,}4$ m$^3$ și baza are $3$ m$^2$, apa se ridică la $\frac{2{,}4}{3}=0{,}8$ m. b) Se scufundă complet o piatră, iar apa urcă cu $5$ cm $=0{,}05$ m. Volumul pietrei este volumul apei „împinse în sus”: $3\cdot 0{,}05=0{,}15$ m$^3$, adică $150$ de litri.

Ideea — un corp tăiat de un plan se împarte în bucăți ale căror volume le știi.

Exemplul 2: cubul $ABCDA'B'C'D'$ cu muchia de $6$ cm este tăiat cu planul $(A'BD)$. Bucata mică este piramida $A'ABD$, cu baza triunghiul dreptunghic $ABD$ și înălțimea $AA'$: $V=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\cdot 6}{2}\cdot 6=36$ cm$^3$. Cubul are $216$ cm$^3$, deci bucata mare are $216-36=180$ cm$^3$, iar volumele sunt în raportul $36:180=1:5$.