Corpuri rotunde: cilindru, con, trunchi de con și sferă - secțiuni axiale, arii, volume

De bază

Cilindrul circular drept cu raza $R$ și înălțimea $h$ (generatoarea este $G=h$): $A_l=2\pi RG$, $A_t=2\pi R(R+G)$, $V=\pi R^2h$.

Conul circular drept cu raza $R$, înălțimea $h$ și generatoarea $G$: $G^2=R^2+h^2$, $A_l=\pi RG$, $A_t=\pi R(R+G)$, $V=\frac{\pi R^2h}{3}$.

Trunchiul de con cu razele $R$ și $r$, înălțimea $h$ și generatoarea $G$: $A_l=\pi G(R+r)$, $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)$.

Sfera cu raza $R$: $A=4\pi R^2$, $V=\frac{4\pi R^3}{3}$.

Secțiunea axială (tăietura printr-un plan care conține axa) este un dreptunghi cu laturile $2R$ și $h$ la cilindru, un triunghi isoscel cu baza $2R$ și laturile $G$ la con, și un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$ la trunchiul de con.

Exemplu: cilindrul cu $R=4$ cm și $h=10$ cm are $A_l=2\pi\cdot 4\cdot 10=80\pi$ cm$^2$, $A_t=80\pi+2\cdot 16\pi=112\pi$ cm$^2$ și $V=\pi\cdot 16\cdot 10=160\pi$ cm$^3$.

Exemplul 2: sfera cu raza de $6$ cm are aria $4\pi\cdot 36=144\pi$ cm$^2$ și volumul $\frac{4\pi\cdot 216}{3}=288\pi$ cm$^3$.

Mediu

La con și la trunchi, primul pas este aproape întotdeauna triunghiul dreptunghic din secțiunea axială, care leagă $R$, $h$ și $G$.

Exemplu: conul cu $R=5$ cm și $h=12$ cm. Generatoarea este $G=\sqrt{25+144}=13$ cm. Atunci $A_l=\pi\cdot 5\cdot 13=65\pi$ cm$^2$, $A_t=65\pi+25\pi=90\pi$ cm$^2$, iar $V=\frac{\pi\cdot 25\cdot 12}{3}=100\pi$ cm$^3$.

Exemplul 2: secțiunea axială a unui cilindru este un pătrat cu latura de $8$ cm. Latura orizontală a secțiunii este diametrul, deci $R=4$ cm, iar cea verticală este înălțimea, $h=8$ cm. Atunci $V=\pi\cdot 16\cdot 8=128\pi$ cm$^3$ și $A_l=2\pi\cdot 4\cdot 8=64\pi$ cm$^2$.

Exemplul 3: trunchiul de con cu $R=6$ cm, $r=3$ cm și $h=4$ cm. În trapezul secțiunii axiale, diferența razelor și înălțimea sunt catetele unui triunghi dreptunghic: $G=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm. Atunci $A_l=\pi\cdot 5\cdot(6+3)=45\pi$ cm$^2$ și $V=\frac{\pi\cdot 4}{3}(36+9+18)=84\pi$ cm$^3$.

Cum recunoști problema: dacă ți se dă o secțiune axială, citește din ea diametrul (nu raza!) și înălțimea; dacă ți se dă o arie, scrie formula și află din ea necunoscuta.

Avansat

Două idei apar în problemele grele cu corpuri rotunde.

Ideea 1 — desfășurarea conului este un sector de cerc. Raza sectorului este generatoarea $G$, iar arcul sectorului se înfășoară exact pe cercul bazei, deci lungimea arcului este $2\pi R$. Dacă sectorul are unghiul $u$, atunci $u=\frac{360^\circ\cdot R}{G}$.

Exemplu: desfășurarea suprafeței laterale a unui con este un semicerc cu raza de $10$ cm. Generatoarea este $G=10$ cm, iar arcul semicercului are $\frac{2\pi\cdot 10}{2}=10\pi$ cm. Egalăm cu lungimea cercului bazei: $2\pi R=10\pi$, deci $R=5$ cm. Înălțimea conului este $h=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ cm. Verificare: $u=\frac{360^\circ\cdot 5}{10}=180^\circ$, chiar un semicerc.

Ideea 2 — un corp înscris în altul se vede în secțiunea axială. Sfera înscrisă într-un cilindru devine, în secțiune, un cerc înscris într-un pătrat; conul înscris în sferă devine un triunghi înscris într-un cerc. Lucrezi în figura plană și te întorci la corp la final.

Exemplul 2: un cilindru are raza de $3$ cm și înălțimea de $6$ cm, iar în el se așază o sferă care atinge ambele baze și suprafața laterală. În secțiunea axială, un cerc este înscris în pătratul de $6$ cm, deci raza sferei este $3$ cm. Volumul sferei este $\frac{4\pi\cdot 27}{3}=36\pi$ cm$^3$, iar al cilindrului $\pi\cdot 9\cdot 6=54\pi$ cm$^3$. Raportul este $\frac{36\pi}{54\pi}=\frac{2}{3}$ — exact rezultatul de pe mormântul lui Arhimede.