Corpuri rotunde în clasa a VIII-a: cilindru, con, trunchi de con și sferă, cu probleme practice

De bază

Din clasa a VII-a știi lungimea cercului, $2\pi R$, și aria discului, $\pi R^2$. În clasa a VIII-a ele devin aria laterală și baza corpurilor rotunde. Cilindrul: $A_l=2\pi Rh$, $V=\pi R^2h$. Conul, cu generatoarea $G=\sqrt{R^2+h^2}$: $A_l=\pi RG$, $V=\frac{\pi R^2h}{3}$. Sfera: $A=4\pi R^2$, $V=\frac{4\pi R^3}{3}$.

Desfășurarea cilindrului circular drept: suprafața laterală se desface într-un dreptunghi cu o latură egală cu lungimea cercului bazei, $2\pi R$, și cealaltă egală cu înălțimea $h$ — de aici $A_l=2\pi Rh$ —, la care se adaugă două discuri de rază $R$. Desfășurarea conului circular drept: suprafața laterală se desface într-un sector de cerc cu raza $G$ și arcul de lungime $2\pi R$, deci cu unghiul $u=\frac{360^\circ\cdot R}{G}$, la care se adaugă un disc de rază $R$; aria sectorului este tot $\pi RG$.

Exemplu: un cilindru cu raza de $3$ cm are aria laterală de $60\pi$ cm$^2$. Din $2\pi\cdot 3\cdot h=60\pi$ rezultă $h=10$ cm, deci $V=\pi\cdot 9\cdot 10=90\pi$ cm$^3$.

Exemplul 2: secțiunea axială a unui con este un triunghi echilateral cu latura de $8$ cm. Atunci $G=8$ cm și $R=4$ cm, deci $A_l=\pi\cdot 4\cdot 8=32\pi$ cm$^2$. Înălțimea conului este înălțimea triunghiului echilateral, $h=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$ cm, iar $V=\frac{\pi\cdot 16\cdot 4\sqrt{3}}{3}=\frac{64\sqrt{3}\pi}{3}$ cm$^3$.

Exemplul 3: o sferă are aria de $100\pi$ cm$^2$. Din $4\pi R^2=100\pi$ rezultă $R^2=25$, deci $R=5$ cm și $V=\frac{4\pi\cdot 125}{3}=\frac{500\pi}{3}$ cm$^3$.

Exemplul 4: cilindrul din exemplul 1 ($R=3$ cm, $h=10$ cm) se desfășoară într-un dreptunghi de $6\pi$ cm pe $10$ cm, cu aria $60\pi$ cm$^2$, și două discuri de câte $9\pi$ cm$^2$, deci $A_t=60\pi+18\pi=78\pi$ cm$^2$. Conul din exemplul 2 ($R=4$ cm, $G=8$ cm) are suprafața laterală desfășurată într-un sector cu unghiul $\frac{360^\circ\cdot 4}{8}=180^\circ$, adică un semidisc de rază $8$ cm, cu aria $\frac{64\pi}{2}=32\pi$ cm$^2$ — chiar $A_l$.

Mediu

Trunchiul de con are secțiunea axială un trapez isoscel, cu bazele $2R$ și $2r$ (diametrele), laturile neparalele $G$ și înălțimea $h$. Din el: $G^2=h^2+(R-r)^2$, $A_l=\pi G(R+r)$, $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)$.

Exemplu: secțiunea axială a unui trunchi de con este un trapez isoscel cu bazele de $16$ cm și $6$ cm și laturile neparalele de $13$ cm. Razele sunt $R=8$ cm și $r=3$ cm. Ducem din $A'$ perpendiculara $A'H$ pe baza mare: $HA=R-r=5$ cm, deci $h=\sqrt{169-25}=12$ cm. Atunci $A_l=\pi\cdot 13\cdot(8+3)=143\pi$ cm$^2$ și $V=\frac{12\pi}{3}(64+9+24)=388\pi$ cm$^3$.

Exemplul 2: un con are raza de $3$ cm și generatoarea de $9$ cm. Desfășurarea suprafeței lui laterale este un sector de cerc cu raza $G=9$ cm și arcul egal cu lungimea cercului bazei, $6\pi$ cm. Unghiul sectorului este $\frac{360^\circ\cdot 3}{9}=120^\circ$: o treime de disc.

Exemplul 3: un con și un cilindru au aceeași bază și aceeași înălțime. Conul are $\frac{1}{3}$ din volumul cilindrului, deci cu un pahar conic plin umpli cilindrul abia din trei turnări.

Avansat

Problemele practice cu corpuri rotunde se bazează pe o singură idee: volumul se păstrează — când torni apa dintr-un vas în altul, când scufunzi un corp sau când topești un corp și îl torni în altă formă.

Exemplu: un pahar cilindric are raza interioară de $3$ cm și înălțimea de $10$ cm și conține apă până la $8$ cm. a) Apa are volumul $\pi\cdot 9\cdot 8=72\pi$ cm$^3$, iar paharul cuprinde $\pi\cdot 9\cdot 10=90\pi$ cm$^3$. b) Se lasă în pahar o bilă de oțel cu raza de $3$ cm (încape exact, diametrul ei fiind $6$ cm). Volumul bilei este $\frac{4\pi\cdot 27}{3}=36\pi$ cm$^3$. Apa și bila ar ocupa $72\pi+36\pi=108\pi$ cm$^3$, adică nivelul ar urca la $\frac{108\pi}{9\pi}=12$ cm, peste marginea paharului. Deci se varsă $108\pi-90\pi=18\pi\approx 56{,}5$ cm$^3$ de apă.

Exemplul 2: o sferă de metal cu raza de $6$ cm se topește și se toarnă într-o formă de con cu raza bazei tot de $6$ cm. Volumul sferei este $\frac{4\pi\cdot 216}{3}=288\pi$ cm$^3$. Din $\frac{\pi\cdot 36\cdot h}{3}=288\pi$ rezultă $12h=288$, deci conul are înălțimea $h=24$ cm.