Teorie · E4 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a V-a
Unități de măsură și transformări: lungime, arie, volum, capacitate, masă, timp
Cum se transformă unitățile de lungime, arie, volum, capacitate, masă și timp, de ce la arie se înmulțește cu 100 și la volum cu 1000, legătura dintre litru și decimetrul cub, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Unitățile de timp sunt cele mai vechi pe care le folosim încă. Sistemul de numerație în baza $60$ a apărut la sumerieni, în mileniul al III-lea î.Hr., și a fost preluat de babilonieni. De la ei au rămas împărțirea orei în $60$ de minute și a minutului în $60$ de secunde, dar și cele $360$ de grade ale cercului.
Sistemul metric s-a născut în timpul Revoluției Franceze, când fiecare regiune a Franței avea propriile măsuri. În 1791, Adunarea a acceptat propunerea unei comisii de savanți: metrul să fie a zece-milioana parte din distanța de la Polul Nord la Ecuator, măsurată pe meridianul care trece prin Paris. Legea din 7 aprilie 1795 a definit metrul, arul, litrul și gramul, toate legate între ele prin puteri ale lui $10$: gramul era masa unui centimetru cub de apă, iar litrul, un decimetru cub. În 1799 s-au făcut etaloanele de platină ale metrului și kilogramului.
În țara noastră, legea pentru adoptarea sistemului metric a fost susținută în Parlament de Mihail Kogălniceanu și semnată de domnitorul Alexandru Ioan Cuza la 15 septembrie 1864; a intrat în vigoare la 1 ianuarie 1866. Ea a înlocuit vechile măsuri, precum degetul, palma, cotul, pasul și stânjenul.
La ce folosește
Pe șantier, aria se calculează în metri pătrați, dar plăcile se măsoară în centimetri. O cameră de $4$ m pe $3{,}5$ m are $14$ m$^2$. O placă de gresie de $50$ cm pe $50$ cm are $0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$ m$^2$, deci sunt necesare $\frac{14}{0{,}25}=56$ de plăci (în realitate se cumpără câteva în plus, pentru tăieturi).
În farmacie și în bucătărie se transformă capacități: o sticlă de sirop de $150$ ml ajunge pentru $\frac{150}{5}=30$ de doze de câte $5$ ml. Iar în trafic, o viteză de $90$ km/h înseamnă $90\,000$ m în $3600$ s, adică $25$ de metri în fiecare secundă — distanța pe care o parcurge mașina cât timp șoferul se uită o secundă la telefon.
De bază
Unitățile de lungime cresc din $10$ în $10$: $1$ km $=1000$ m, $1$ m $=10$ dm $=100$ cm $=1000$ mm. Când treci la o unitate mai mică, numărul crește, deci înmulțești; la o unitate mai mare, împarți.
La arie, fiecare pas între unități vecine înseamnă $\cdot 100$ (pentru că $1$ dm$^2$ este un pătrat cu latura de $10$ cm, deci $10\cdot 10=100$ cm$^2$). La volum, fiecare pas înseamnă $\cdot 1000$ ($10\cdot 10\cdot 10$). Unități speciale: $1$ ha $=10\,000$ m$^2$, $1$ ar $=100$ m$^2$.
Capacitatea se măsoară în litri: $1$ L $=1$ dm$^3$, $1$ ml $=1$ cm$^3$, deci $1$ m$^3=1000$ L. Masa: $1$ t $=1000$ kg, $1$ kg $=1000$ g. Timpul nu este zecimal: $1$ h $=60$ min, $1$ min $=60$ s.
Exemplu: $3{,}7$ km $=3700$ m; $4{,}2$ dm$^2=420$ cm$^2$; $1{,}5$ m$^3=1500$ dm$^3=1500$ L.
Exemplul 2: $1{,}75$ h înseamnă $1{,}75\cdot 60=105$ minute, adică $1$ oră și $45$ de minute — nu $1$ oră și $75$ de minute.
Mediu
În problemele de nivel mediu, datele vin în unități diferite. Regula este una singură: aduci totul la aceeași unitate ÎNAINTE de a calcula.
Pentru capacitatea unui vas, cea mai comodă unitate este decimetrul, pentru că $1$ dm$^3=1$ L.
Exemplu: o cutie are dimensiunile $80$ cm, $5$ dm și $0{,}6$ m. Transformat în decimetri: $8$ dm, $5$ dm și $6$ dm. Volumul este $8\cdot 5\cdot 6=240$ dm$^3$, adică $240$ L.
Exemplul 2: un teren dreptunghiular are $250$ m pe $80$ m. Aria lui este $250\cdot 80=20\,000$ m$^2$. Cum $1$ ha $=10\,000$ m$^2$, terenul are $2$ ha.
Cum recunoști problema: în enunț apar două unități diferite pentru aceeași mărime (cm și m, kg și g, ore și minute) sau răspunsul se cere într-o unitate care nu apare în date — de exemplu volumul în metri, capacitatea în litri.
Avansat
Problemele grele leagă mai multe mărimi într-un lanț: dimensiuni → volum → capacitate → timp sau masă. Ideea este să scrii lanțul și să transformi la fiecare verigă.
Ideea 1 — debitul este capacitate pe unitatea de timp. Timpul de umplere este capacitatea împărțită la debit.
Exemplu: o piscină are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $10$ m, $4$ m și $1{,}5$ m. O pompă introduce $250$ L de apă pe minut. În cât timp se umple piscina? Volumul este $10\cdot 4\cdot 1{,}5=60$ m$^3=60\,000$ L. Timpul este $60\,000:250=240$ de minute, adică $4$ ore.
Ideea 2 — un litru de apă are masa de aproximativ $1$ kg. Așa treci de la volum la masă.
Ideea 3 — volumul unui obiect scufundat este volumul de apă pe care îl „ridică”.
Exemplul 2: un acvariu are baza de $50$ cm pe $40$ cm și conține apă până la înălțimea de $25$ cm. Apa are $50\cdot 40\cdot 25=50\,000$ cm$^3=50$ L, deci cântărește aproximativ $50$ kg. Se pune în acvariu o piatră, iar nivelul apei crește cu $1$ cm. Volumul pietrei este volumul stratului de apă ridicat: $50\cdot 40\cdot 1=2000$ cm$^3=2$ dm$^3$.
Ideea 4 — viteza în km/h se transformă în m/s împărțind la $3{,}6$, pentru că $1$ km/h $=\frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}}$.
Greșeli frecvente
Aceeași regulă pentru toate unitățile: la lungime pasul este $10$, la arie $100$, la volum $1000$. Așadar $3{,}5$ dm$^2=350$ cm$^2$, nu $35$ și nici $3500$.
$1$ m$^3$ luat drept $1$ L sau $100$ L: un metru cub are $1000$ dm$^3$, adică $1000$ L. Iar volumul calculat în cm$^3$ nu este în litri: $1$ L $=1000$ cm$^3$.
Transformarea greșită a timpului zecimal: $2{,}25$ h nu înseamnă $2$ h și $25$ min. Partea zecimală este o fracțiune de oră: $0{,}25$ h $=0{,}25\cdot 60=15$ min, deci $2{,}25$ h $=135$ min. Și o oră are $60$ de minute, nu $100$.
Numere alipite în loc de transformate: $2$ km și $35$ m înseamnă $2000+35=2035$ m, nu $235$ m, iar în kilometri este $2{,}035$ km, nu $2{,}35$ km.
Înmulțirea dimensiunilor date în unități diferite: la un vas de $1{,}2$ m pe $50$ cm pe $40$ cm nu calculezi $1{,}2\cdot 50\cdot 40$. Transformi întâi: $12$ dm, $5$ dm, $4$ dm.
Operația greșită în problemele cu „câte încap”: din $12$ kg de miere, în borcane de $750$ g, se umplu $12\,000:750=16$ borcane — împarți, după ce ai adus totul la grame ($12$ kg $=12\,000$ g, nu $1200$ g).
Surse pentru partea istorică
- Sistemul sexagesimal a apărut la sumerieni în mileniul al III-lea î.Hr., preluat de babilonieni; din el provin cele 60 de minute, 60 de secunde și 360 de grade — en.wikipedia.org
- Sistemul metric: comisia din 1790, definiția metrului din 1791 (a zece-milioana parte din distanța Pol Nord–Ecuator prin Paris), legea din 7 aprilie 1795, gramul ca masa unui cm cub de apă, litrul de 1 dm cub, etaloanele de platină din 1799 — en.wikipedia.org
- Legea sistemului metric în România, susținută de Mihail Kogălniceanu, semnată de Alexandru Ioan Cuza la 15 septembrie 1864, în vigoare de la 1 ianuarie 1866, a înlocuit degetul, palma, cotul, pasul, stânjenul — www.rador.ro
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.