Teorie · E4 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a V-a
Unități de măsură în clasa a V-a: transformări cu virgulă, perimetru, arie, volum
Unitățile de lungime, masă, capacitate și timp, transformate acum și cu numere cu virgulă, perimetrul, aria pătratului și a dreptunghiului în unități pătrate, volumul cubului și al cutiei în unități cubice, și probleme cu fracții și unități, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Ca măsurile să fie aceleași în toate țările, în 1875, la Paris, reprezentanții a $17$ state au semnat Convenția metrului. Ea a înființat Biroul Internațional de Măsuri și Greutăți, care păstrează etaloanele, adică măsurile după care se verifică toate celelalte. România a aderat la Convenția metrului în 1884.
Timp de peste o sută de ani, kilogramul a fost chiar un obiect: o mică piesă de metal, dintr-un aliaj de platină și iridiu, acceptat drept kilogramul oficial în 1889 și păstrat la Biroul Internațional de Măsuri și Greutăți, la Saint-Cloud, lângă Paris. Copiile oficiale ale kilogramului din alte țări erau comparate cu el.
În 2019, kilogramul a primit o definiție nouă, care nu mai depinde de niciun obiect, ci de o constantă a naturii, numită constanta lui Planck.
La ce folosește
La piață lucrezi cu masă și bani în același timp. $1$ leu are $100$ de bani. Dacă merele costă $4{,}20$ lei kilogramul și cumperi $2{,}5$ kg, plătești $2{,}5\cdot 4{,}20=10{,}50$ lei. Dacă dai o bancnotă de $20$ de lei, primești rest $9{,}50$ lei.
În bucătărie, o rețetă cere $\frac{3}{4}$ L de lapte. Cum $1$ L are $1000$ ml, înseamnă $750$ ml, adică exact $3$ căni de câte $250$ ml.
Pentru un gard în jurul unei grădini dreptunghiulare de $12$ m pe $7{,}5$ m îți trebuie atâta plasă cât perimetrul: $2\cdot(12+7{,}5)=39$ m.
De bază
Din clasele I–IV știi că $1$ m $=100$ cm, $1$ km $=1000$ m, $1$ kg $=1000$ g, $1$ L $=1000$ ml și $1$ h $=60$ min, și ai transformat cu numere naturale. În clasa a V-a transformi și numere cu virgulă: la unitățile de lungime, masă și capacitate, înmulțirea sau împărțirea cu $10$, $100$, $1000$ înseamnă doar mutarea virgulei.
Când treci la o unitate mai mică, numărul crește; când treci la una mai mare, scade. La lungime, fiecare pas între unități vecine (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) este de $10$.
Exemplu: $2{,}45$ m $=245$ cm; $830$ g $=0{,}83$ kg; $1250$ ml $=1{,}25$ L. Timpul nu merge din $10$ în $10$: $1$ h și $15$ min înseamnă $60+15=75$ min.
Perimetrul unei figuri este lungimea marginii ei, suma tuturor laturilor. La dreptunghi, $P=2\cdot(L+l)$; la pătrat, $P=4\cdot l$. Laturile se aduc întâi la aceeași unitate.
Exemplul 2: un dreptunghi are $1{,}2$ m pe $45$ cm. În centimetri, $1{,}2$ m $=120$ cm, deci $P=2\cdot(120+45)=330$ cm $=3{,}3$ m.
Mediu
Aria spune câte pătrățele încap într-o figură. Un centimetru pătrat, $1$ cm$^2$, este aria unui pătrat cu latura de $1$ cm. Un pătrat cu latura de $1$ dm, adică $10$ cm, se împarte în $10$ rânduri a câte $10$ pătrățele de $1$ cm$^2$, deci $1$ dm$^2=100$ cm$^2$. La arie, fiecare pas între unități vecine este de $100$. Pentru terenuri se folosesc arul, $1$ ar $=100$ m$^2$, și hectarul, $1$ ha $=10\,000$ m$^2$.
Aria pătratului cu latura $l$ este $l\cdot l$, iar aria dreptunghiului este $L\cdot l$, cu ambele laturi în aceeași unitate.
Exemplu: o foaie de caiet are $20$ cm pe $15$ cm. Aria ei este $20\cdot 15=300$ cm$^2$. Ca să treci la dm$^2$, împarți la $100$: $300$ cm$^2=3$ dm$^2$.
Exemplul 2: un pătrat cu latura de $9$ cm și un dreptunghi cu lățimea de $5$ cm au același perimetru. Perimetrul pătratului este $4\cdot 9=36$ cm, deci la dreptunghi $L+l=36:2=18$ cm și $L=18-5=13$ cm. Ariile sunt însă diferite: pătratul are $9\cdot 9=81$ cm$^2$, dreptunghiul $13\cdot 5=65$ cm$^2$. Același perimetru nu înseamnă aceeași arie.
Avansat
Ideea 1 — volumul spune câte cuburi mici încap într-un corp. Un centimetru cub, $1$ cm$^3$, este volumul unui cub cu latura de $1$ cm. Volumul cubului cu latura $l$ este $l\cdot l\cdot l$, iar al cutiei (paralelipipedul dreptunghic) este $L\cdot l\cdot h$. La volum, fiecare pas între unități vecine este de $1000$: $1$ dm$^3=1000$ cm$^3$.
Exemplu: o cutie are $8$ cm lungime, $6$ cm lățime și $4$ cm înălțime. Câte cuburi cu latura de $2$ cm încap în ea? Pe lungime încap $8:2=4$ cuburi, pe lățime $6:2=3$, pe înălțime $4:2=2$, deci $4\cdot 3\cdot 2=24$ de cuburi. Verificare cu volume: cutia are $8\cdot 6\cdot 4=192$ cm$^3$, un cub are $2\cdot 2\cdot 2=8$ cm$^3$, iar $192:8=24$.
Ideea 2 — capacitatea unui vas se află din volumul lui: $1$ dm$^3=1$ L.
Exemplul 2: un vas în formă de cub are latura de $2$ dm, deci volumul $2\cdot 2\cdot 2=8$ dm$^3$, adică $8$ L. El este plin în proporție de $\frac{3}{4}$: conține $\frac{3}{4}$ din $8$ L, adică $6$ L $=6000$ ml. Cu această apă se umplu $6000:200=30$ de pahare de câte $200$ ml.
Ideea 3 — la o fracție dintr-o durată, treci întâi totul în minute.
Exemplul 3: un film durează $1$ h și $50$ min, adică $110$ min. Andrei a văzut $\frac{3}{5}$ din film: $110:5\cdot 3=66$ min. I-au mai rămas $110-66=44$ de minute.
Greșeli frecvente
Perimetrul confundat cu aria. La un pătrat cu latura de $4$ cm, perimetrul este $16$ cm, iar aria este $16$ cm$^2$ — același număr, dar lucruri diferite: primul este lungimea marginii, al doilea câte pătrățele încap înăuntru.
Virgula mutată în sensul greșit: $45$ cm $=0{,}45$ m. La o unitate mai mare numărul trebuie să scadă, nu să crească.
La perimetrul dreptunghiului, adunarea doar a două laturi: pentru $8$ cm pe $5$ cm, $8+5=13$ cm este doar jumătate din margine. Perimetrul este $2\cdot(8+5)=26$ cm.
Pasul de la lungime folosit la arie: $1$ m$^2$ nu are $100$ cm$^2$. Un pătrat cu latura de $1$ m $=100$ cm are $100\cdot 100=10\,000$ cm$^2$.
Orele socotite ca numerele obișnuite: un film care începe la $18{:}45$ și durează $1$ h și $30$ min se termină la $20{:}15$, nu la „$19{:}75$”. Când minutele trec de $60$, se face încă o oră.
Surse pentru partea istorică
- Convenția metrului, semnată la Paris la 20 mai 1875 de 17 state, a înființat Biroul Internațional de Măsuri și Greutăți; România a aderat în 1884 — en.wikipedia.org
- Prototipul internațional al kilogramului, din aliaj de platină și iridiu, ratificat în 1889, păstrat lângă Paris, înlocuit în 2019 de o definiție bazată pe constanta lui Planck — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.