Cartonașe cu formule — clasa a VIII-a

Pe față vezi numele formulei. Spune-o în gând, apoi întoarce cartonașul și verifică. Cele la care apeși „Nu știu încă” revin la sfârșitul rundei, până le știi pe toate.

Toată fișa de formule a clasei a VIII-a

  1. Clasa a VIII-a · Formule de calcul prescurtat

    Pătratul unei sume și al unei diferențe

    $\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$\displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

    Doar termenul din mijloc are semnul din paranteză. De aici și $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.

  2. Clasa a VIII-a · Formule de calcul prescurtat

    Diferența de pătrate

    $\displaystyle (a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

    Folosită și la radicali: $\left(\sqrt{5} - 2\right)\left(\sqrt{5} + 2\right) = 5 - 4 = 1$.

  3. Clasa a VIII-a · Calcul algebric

    Calculul cu monoame

    $\displaystyle a x^m \cdot b x^n = ab\, x^{m+n}$$\displaystyle a x^m : b x^n = \frac{a}{b}\, x^{m-n}$$\displaystyle \left(a x^m\right)^n = a^n x^{m \cdot n}$

    Monoamele asemenea (aceeași parte de litere) se adună adunând coeficienții: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$.

  4. Clasa a VIII-a · Descompuneri în factori

    Descompunerea în factori

    $\displaystyle ab + ac = a(b + c)$$\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$\displaystyle a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

    Ordinea: factor comun, apoi formule, apoi gruparea termenilor. La sfârșit verifici dacă vreun factor se mai descompune.

  5. Clasa a VIII-a · Ecuația de gradul al II-lea

    Ecuația de gradul al II-lea

    $\displaystyle a x^2 + b x + c = 0, \quad a \neq 0$$\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac$$\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

    Dacă $\Delta > 0$, două soluții; dacă $\Delta = 0$, una singură, $x = -\frac{b}{2a}$; dacă $\Delta < 0$, nicio soluție reală. Fără termen liber, dai factor comun: $3x^2 + 5x = x(3x + 5)$.

  6. Clasa a VIII-a · Ecuația de gradul al II-lea

    Descompunerea trinomului

    $\displaystyle a x^2 + b x + c = a (x - x_1)(x - x_2)$

    $x_1$, $x_2$ sunt soluțiile ecuației, când $\Delta \geq 0$. Folosită la simplificarea fracțiilor: $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

  7. Clasa a VIII-a · Modul, intervale de numere reale

    Intervale de numere reale

    $\displaystyle [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$$\displaystyle (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$$\displaystyle [a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$

    Paranteza pătrată include capătul, cea rotundă nu. La infinit, paranteza este mereu rotundă.

  8. Clasa a VIII-a · Modul, intervale de numere reale

    Modulul ca distanță

    $\displaystyle |x - a| \leq r \iff x \in [a - r, a + r]$

    $|x - a|$ este distanța dintre $x$ și $a$ pe axă. De exemplu, $|x - 2| \leq 3 \iff x \in [-1, 5]$.

  9. Clasa a VIII-a · Inecuații de forma ax + b ≥ 0

    Inecuația a · x + b ≥ 0

    $\displaystyle a > 0: \ x \geq -\frac{b}{a}$$\displaystyle a < 0: \ x \leq -\frac{b}{a}$

    La împărțirea cu un număr negativ, sensul se schimbă. Soluția se scrie ca interval.

  10. Clasa a VIII-a · Funcții

    Funcția liniară

    $\displaystyle f(x) = a x + b$$\displaystyle M(m, n) \in G_f \iff f(m) = n$

    Pe $\mathbb{R}$, graficul este o dreaptă; două puncte o determină.

  11. Clasa a VIII-a · Funcții

    Intersecțiile graficului cu axele

    $\displaystyle G_f \cap Oy: \ (0, b)$$\displaystyle G_f \cap Ox: \ \left(-\frac{b}{a}, 0\right), \ a \neq 0$

    Cu $Oy$ calculezi $f(0)$, cu $Ox$ rezolvi $f(x) = 0$.

  12. Clasa a VIII-a · Perpendicularitate în spațiu, proiecții ortogonale, teorema celor trei perpendiculare

    Teorema celor trei perpendiculare

    $\displaystyle PA \perp \alpha,\ AM \perp d,\ d \subset \alpha$$\displaystyle \Rightarrow PM \perp d$$\displaystyle PM = \sqrt{PA^2 + AM^2}$

    $PM$ este distanța de la $P$ la dreapta $d$.

  13. Clasa a VIII-a · Perpendicularitate în spațiu, proiecții ortogonale, teorema celor trei perpendiculare

    Lungimea proiecției

    $\displaystyle \text{pr}_\alpha AB = AB \cdot \cos u$

    $u$ este unghiul dintre segment și plan.

  14. Clasa a VIII-a · Unghiuri și distanțe în corpuri geometrice

    Triunghiurile din piramida regulată

    $\displaystyle VA^2 = VO^2 + OA^2$$\displaystyle a_p^2 = VM^2 = VO^2 + OM^2$

    $O$ este centrul bazei, $M$ mijlocul unei laturi. $OA$ este raza cercului circumscris bazei, $OM$ apotema bazei (formulele lor, pe fișa clasei a VII-a). „Muchia laterală” cere $OA$; „fața laterală” cere $OM$.

  15. Clasa a VIII-a · Poliedre

    Prisma dreaptă

    $\displaystyle A_l = P_b \cdot h$$\displaystyle A_t = A_l + 2 A_b$$\displaystyle V = A_b \cdot h$

    $P_b$ – perimetrul bazei, $A_b$ – aria bazei, $h$ – înălțimea.

  16. Clasa a VIII-a · Poliedre

    Paralelipipedul dreptunghic

    $\displaystyle A_t = 2(ab + bc + ca)$$\displaystyle V = a \cdot b \cdot c$$\displaystyle d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

    $d$ este diagonala corpului: $12$, $4$, $3$ dau $d = \sqrt{169} = 13$.

  17. Clasa a VIII-a · Poliedre

    Cubul

    $\displaystyle A_t = 6l^2, \quad V = l^3$$\displaystyle d = l\sqrt{3}$

  18. Clasa a VIII-a · Poliedre

    Piramida regulată

    $\displaystyle A_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}$$\displaystyle A_t = A_l + A_b$$\displaystyle V = \frac{A_b \cdot h}{3}$

    $a_p$ – apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale), $h$ – înălțimea piramidei.

  19. Clasa a VIII-a · Poliedre

    Tetraedrul regulat

    $\displaystyle A_t = l^2\sqrt{3}$$\displaystyle h = \frac{l\sqrt{6}}{3}, \quad V = \frac{l^3\sqrt{2}}{12}$

    Toate cele șase muchii au lungimea $l$. La muchia de $6$ cm, $V = 18\sqrt{2}$ cm$^3$.

  20. Clasa a VIII-a · Poliedre

    Trunchiul de piramidă regulată

    $\displaystyle A_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}$$\displaystyle V = \frac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}\right)$

    $B$ – baza mare, $b$ – baza mică, $a_t$ – apotema trunchiului. Bazele $10$ și $4$ cm, înălțimea $4$ cm: $a_t = 5$ cm, $A_l = 140$ cm$^2$, $V = 208$ cm$^3$.

  21. Clasa a VIII-a · Poliedre

    Secțiunea paralelă cu baza

    $\displaystyle \frac{l'}{l} = \frac{h'}{h} = k$$\displaystyle \frac{A'}{A} = k^2, \qquad \frac{V'}{V} = k^3$

    Planul paralel cu baza taie o piramidă (sau un con) mai mică, asemenea cu cea mare. Dacă $k = \frac{1}{2}$, volumul mic este $\frac{1}{8}$ din cel mare.

  22. Clasa a VIII-a · Corpuri rotunde

    Cilindrul

    $\displaystyle A_l = 2\pi R h$$\displaystyle A_t = 2\pi R (h + R)$$\displaystyle V = \pi R^2 h$

  23. Clasa a VIII-a · Corpuri rotunde

    Conul

    $\displaystyle G^2 = R^2 + h^2$$\displaystyle A_l = \pi R G, \quad A_t = \pi R (G + R)$$\displaystyle V = \frac{\pi R^2 h}{3}$

    $G$ este generatoarea.

  24. Clasa a VIII-a · Corpuri rotunde

    Desfășurarea conului

    $\displaystyle u = \frac{360^\circ \cdot R}{G}$

    Suprafața laterală se desfășoară într-un sector de cerc cu raza $G$ și unghiul $u$; arcul lui este cercul bazei, $2\pi R$. Nu invers: $R$ sus, $G$ jos.

  25. Clasa a VIII-a · Corpuri rotunde

    Trunchiul de con

    $\displaystyle G^2 = h^2 + (R - r)^2$$\displaystyle A_l = \pi G (R + r)$$\displaystyle V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + R r\right)$

    Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$.

  26. Clasa a VIII-a · Corpuri rotunde

    Sfera

    $\displaystyle A = 4\pi R^2$$\displaystyle V = \frac{4\pi R^3}{3}$

  27. Clasa a VIII-a · Date

    Amplitudinea și modul

    $\displaystyle \text{amplitudinea} = x_{\max} - x_{\min}$

    Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare. Pentru 7, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 5, 10, 6: amplitudinea 5, modul 8 (media, de la clasa a V-a, 7,4).

  28. Clasa a VIII-a · Date

    Mediana

    $\displaystyle n \text{ impar: } x_{\frac{n+1}{2}}$$\displaystyle n \text{ par: } \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$

    Valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător, $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$. La un număr par de date, media celor două din mijloc.

An unhandled error has occurred. Reload 🗙

Rejoining the server...

Rejoin failed... trying again in seconds.

Failed to rejoin.
Please retry or reload the page.

The session has been paused by the server.

Failed to resume the session.
Please retry or reload the page.