Formule — clasa a VIII-a

Ce trebuie să știi pe de rost, pe clase. Fiecare clasă are doar ce se învață nou în acel an; la Evaluarea Națională intră toate. Lângă fiecare temă, un link duce la teoria ei, cu exemple.

Numere și algebră

Formule de calcul prescurtatteorie

Pătratul unei sume și al unei diferențe: $\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$\displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$; Doar termenul din mijloc are semnul din paranteză. De aici și $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.
Diferența de pătrate: $\displaystyle (a - b)(a + b) = a^2 - b^2$; Folosită și la radicali: $\left(\sqrt{5} - 2\right)\left(\sqrt{5} + 2\right) = 5 - 4 = 1$.

Calcul algebricteorie

Calculul cu monoame: $\displaystyle a x^m \cdot b x^n = ab\, x^{m+n}$$\displaystyle a x^m : b x^n = \frac{a}{b}\, x^{m-n}$$\displaystyle \left(a x^m\right)^n = a^n x^{m \cdot n}$; Monoamele asemenea (aceeași parte de litere) se adună adunând coeficienții: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$.

Descompuneri în factoriteorie

Descompunerea în factori: $\displaystyle ab + ac = a(b + c)$$\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$\displaystyle a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$; Ordinea: factor comun, apoi formule, apoi gruparea termenilor. La sfârșit verifici dacă vreun factor se mai descompune.

Ecuația de gradul al II-leateorie

Ecuația de gradul al II-lea: $\displaystyle a x^2 + b x + c = 0, \quad a \neq 0$$\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac$$\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$; Dacă $\Delta > 0$, două soluții; dacă $\Delta = 0$, una singură, $x = -\frac{b}{2a}$; dacă $\Delta < 0$, nicio soluție reală. Fără termen liber, dai factor comun: $3x^2 + 5x = x(3x + 5)$.
Descompunerea trinomului: $\displaystyle a x^2 + b x + c = a (x - x_1)(x - x_2)$; $x_1$, $x_2$ sunt soluțiile ecuației, când $\Delta \geq 0$. Folosită la simplificarea fracțiilor: $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Modul, intervale de numere realeteorie

Intervale de numere reale: $\displaystyle [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$$\displaystyle (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$$\displaystyle [a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$; Paranteza pătrată include capătul, cea rotundă nu. La infinit, paranteza este mereu rotundă.
Modulul ca distanță: $\displaystyle |x - a| \leq r \iff x \in [a - r, a + r]$; $|x - a|$ este distanța dintre $x$ și $a$ pe axă. De exemplu, $|x - 2| \leq 3 \iff x \in [-1, 5]$.

Inecuații de forma ax + b ≥ 0teorie

Inecuația a · x + b ≥ 0: $\displaystyle a > 0: \ x \geq -\frac{b}{a}$$\displaystyle a < 0: \ x \leq -\frac{b}{a}$; La împărțirea cu un număr negativ, sensul se schimbă. Soluția se scrie ca interval.

Funcțiiteorie

Funcția liniară: $\displaystyle f(x) = a x + b$$\displaystyle M(m, n) \in G_f \iff f(m) = n$; Pe $\mathbb{R}$, graficul este o dreaptă; două puncte o determină.
Intersecțiile graficului cu axele: $\displaystyle G_f \cap Oy: \ (0, b)$$\displaystyle G_f \cap Ox: \ \left(-\frac{b}{a}, 0\right), \ a \neq 0$; Cu $Oy$ calculezi $f(0)$, cu $Ox$ rezolvi $f(x) = 0$.

Geometrie

Perpendicularitate în spațiu, proiecții ortogonale, teorema celor trei perpendiculareteorie

Teorema celor trei perpendiculare: $\displaystyle PA \perp \alpha,\ AM \perp d,\ d \subset \alpha$$\displaystyle \Rightarrow PM \perp d$$\displaystyle PM = \sqrt{PA^2 + AM^2}$; $PM$ este distanța de la $P$ la dreapta $d$.
Lungimea proiecției: $\displaystyle \text{pr}_\alpha AB = AB \cdot \cos u$; $u$ este unghiul dintre segment și plan.

Unghiuri și distanțe în corpuri geometriceteorie

Triunghiurile din piramida regulată: $\displaystyle VA^2 = VO^2 + OA^2$$\displaystyle a_p^2 = VM^2 = VO^2 + OM^2$; $O$ este centrul bazei, $M$ mijlocul unei laturi. $OA$ este raza cercului circumscris bazei, $OM$ apotema bazei (formulele lor, pe fișa clasei a VII-a). „Muchia laterală” cere $OA$; „fața laterală” cere $OM$.

Poliedreteorie

Prisma dreaptă: $\displaystyle A_l = P_b \cdot h$$\displaystyle A_t = A_l + 2 A_b$$\displaystyle V = A_b \cdot h$; $P_b$ – perimetrul bazei, $A_b$ – aria bazei, $h$ – înălțimea.
Paralelipipedul dreptunghic: $\displaystyle A_t = 2(ab + bc + ca)$$\displaystyle V = a \cdot b \cdot c$$\displaystyle d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$; $d$ este diagonala corpului: $12$, $4$, $3$ dau $d = \sqrt{169} = 13$.
Cubul: $\displaystyle A_t = 6l^2, \quad V = l^3$$\displaystyle d = l\sqrt{3}$
Piramida regulată: $\displaystyle A_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}$$\displaystyle A_t = A_l + A_b$$\displaystyle V = \frac{A_b \cdot h}{3}$; $a_p$ – apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale), $h$ – înălțimea piramidei.
Tetraedrul regulat: $\displaystyle A_t = l^2\sqrt{3}$$\displaystyle h = \frac{l\sqrt{6}}{3}, \quad V = \frac{l^3\sqrt{2}}{12}$; Toate cele șase muchii au lungimea $l$. La muchia de $6$ cm, $V = 18\sqrt{2}$ cm$^3$.
Trunchiul de piramidă regulată: $\displaystyle A_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}$$\displaystyle V = \frac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}\right)$; $B$ – baza mare, $b$ – baza mică, $a_t$ – apotema trunchiului. Bazele $10$ și $4$ cm, înălțimea $4$ cm: $a_t = 5$ cm, $A_l = 140$ cm$^2$, $V = 208$ cm$^3$.
Secțiunea paralelă cu baza: $\displaystyle \frac{l'}{l} = \frac{h'}{h} = k$$\displaystyle \frac{A'}{A} = k^2, \qquad \frac{V'}{V} = k^3$; Planul paralel cu baza taie o piramidă (sau un con) mai mică, asemenea cu cea mare. Dacă $k = \frac{1}{2}$, volumul mic este $\frac{1}{8}$ din cel mare.

Corpuri rotundeteorie

Cilindrul: $\displaystyle A_l = 2\pi R h$$\displaystyle A_t = 2\pi R (h + R)$$\displaystyle V = \pi R^2 h$
Conul: $\displaystyle G^2 = R^2 + h^2$$\displaystyle A_l = \pi R G, \quad A_t = \pi R (G + R)$$\displaystyle V = \frac{\pi R^2 h}{3}$; $G$ este generatoarea.
Desfășurarea conului: $\displaystyle u = \frac{360^\circ \cdot R}{G}$; Suprafața laterală se desfășoară într-un sector de cerc cu raza $G$ și unghiul $u$; arcul lui este cercul bazei, $2\pi R$. Nu invers: $R$ sus, $G$ jos.
Trunchiul de con: $\displaystyle G^2 = h^2 + (R - r)^2$$\displaystyle A_l = \pi G (R + r)$$\displaystyle V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + R r\right)$; Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$.
Sfera: $\displaystyle A = 4\pi R^2$$\displaystyle V = \frac{4\pi R^3}{3}$

Date și probabilități

Dateteorie

Amplitudinea și modul: $\displaystyle \text{amplitudinea} = x_{\max} - x_{\min}$; Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare. Pentru 7, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 5, 10, 6: amplitudinea 5, modul 8 (media, de la clasa a V-a, 7,4).
Mediana: $\displaystyle n \text{ impar: } x_{\frac{n+1}{2}}$$\displaystyle n \text{ par: } \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$; Valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător, $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$. La un număr par de date, media celor două din mijloc.