Formule — clasa a VII-a

Ce trebuie să știi pe de rost, pe clase. Fiecare clasă are doar ce se învață nou în acel an; la Evaluarea Națională intră toate. Lângă fiecare temă, un link duce la teoria ei, cu exemple.

Numere și algebră

Numere realeteorie

Mulțimile de numere: $\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$; Numerele reale care nu sunt raționale sunt iraționale: au o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic.
Rădăcina pătrată: $\displaystyle \sqrt{a^2} = a \ (a \geq 0), \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$; Un număr este pătrat perfect dacă fiecare factor prim apare în descompunere de un număr par de ori.
Înmulțirea și împărțirea radicalilor: $\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$$\displaystyle \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$; Pentru $a \geq 0$, $b > 0$.
Scoaterea și introducerea factorilor: $\displaystyle \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$$\displaystyle a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$; Pentru $a, b \geq 0$. De exemplu, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$; ca să compari $2\sqrt{3}$ și $3\sqrt{2}$, compari $\sqrt{12}$ și $\sqrt{18}$.
Raționalizarea numitorului: $\displaystyle \frac{c}{a\sqrt{b}} = \frac{c\sqrt{b}}{a \cdot b}$; Amplifici cu $\sqrt{b}$, nu cu tot numitorul. $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
Ecuația x² = a: $\displaystyle x^2 = a,\ a > 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{a}$; Pentru $a = 0$, $x = 0$; pentru $a < 0$ nu există soluții reale. $x^2 = 49$ dă $x = 7$ sau $x = -7$.

Modul, intervale de numere realeteorie

Modulul unui număr real: $\displaystyle |a| = a, \text{ dacă } a \geq 0$$\displaystyle |a| = -a, \text{ dacă } a < 0$$\displaystyle |a \cdot b| = |a| \cdot |b|$; Ca să scoți un modul cu radical, afli întâi semnul: $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$, pentru că $\sqrt{2} > 1$.
Încadrarea unui radical: $\displaystyle n^2 < a < (n + 1)^2$$\displaystyle \Rightarrow n < \sqrt{a} < n + 1$; $36 < 40 < 49$, deci $6 < \sqrt{40} < 7$.

Ecuații de gradul Iteorie

Ecuația de gradul I: $\displaystyle a \cdot x + b = 0,\ a \neq 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$; Dacă ajungi la $0 \cdot x = c$: pentru $c \neq 0$ nu există soluții, $S = \varnothing$; pentru $c = 0$, orice număr real este soluție, $S = \mathbb{R}$.

Funcțiiteorie

Distanța dintre două puncte: $\displaystyle AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$; Vine din teorema lui Pitagora: diferențele coordonatelor sunt catetele.
Simetricele unui punct: $\displaystyle M(a, b) \to (a, -b) \text{ față de } Ox$$\displaystyle M(a, b) \to (-a, b) \text{ față de } Oy$$\displaystyle M(a, b) \to (-a, -b) \text{ față de } O$

Mediiteorie

Media aritmetică ponderată: $\displaystyle m_p = \frac{a_1 p_1 + a_2 p_2 + \ldots + a_n p_n}{p_1 + p_2 + \ldots + p_n}$; Fiecare număr se înmulțește cu ponderea lui. Cu toate ponderile egale, este media aritmetică.
Media geometrică: $\displaystyle m_g = \sqrt{a \cdot b}$; Pentru două numere pozitive $a$ și $b$. Media geometrică a lui $4$ și $9$ este $6$.

Geometrie

Patrulatereteorie

Suma unghiurilor unui patrulater: $\displaystyle \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^\circ$; Pentru un patrulater convex: o diagonală îl împarte în două triunghiuri.
Paralelogramul: $\displaystyle AB = CD, \quad AD = BC$$\displaystyle \hat{A} = \hat{C}, \quad \hat{B} = \hat{D}$$\displaystyle \hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$; Diagonalele se înjumătățesc. Dreptunghiul are diagonalele congruente; rombul are diagonalele perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor; pătratul le are pe toate.

Linia mijlocieteorie

Linia mijlocie în triunghi: $\displaystyle MN \parallel BC, \quad MN = \frac{BC}{2}$; $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$.
Linia mijlocie în trapez: $\displaystyle MN = \frac{B + b}{2}$; $B$ și $b$ sunt bazele; $MN$ unește mijloacele laturilor neparalele și este paralelă cu bazele.
Centrul de greutate: $\displaystyle AG = \frac{2}{3} \cdot AM, \qquad AG = 2 \cdot GM$; $G$ este punctul comun al medianelor, $AM$ o mediană.

Teorema lui Thales și reciproca; segmente proporționaleteorie

Teorema lui Thales: $\displaystyle MN \parallel BC \Rightarrow \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$; $M \in AB$, $N \in AC$. Și reciproca: dacă rapoartele sunt egale, atunci $MN \parallel BC$.
Teorema bisectoarei: $\displaystyle \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$; $AD$ este bisectoarea unghiului $A$, cu $D$ pe $BC$: latura opusă se împarte în raportul laturilor alăturate. $AB = 12$, $AC = 8$, $BC = 15$ dau $DB = 9$, $DC = 6$.

Asemănarea triunghiurilorteorie

Triunghiuri asemenea: $\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle DEF \Rightarrow$$\displaystyle \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k$; Unghiurile corespunzătoare sunt congruente. Criterii: UU (două unghiuri), LUL (un unghi între laturi proporționale), LLL.
Raportul ariilor: $\displaystyle \frac{\mathcal{A}_{DEF}}{\mathcal{A}_{ABC}} = k^2$; Dacă laturile se dublează, aria se face de $4$ ori mai mare.

Triunghiul dreptunghicteorie

Teorema înălțimii și teorema catetei: $\displaystyle AD^2 = BD \cdot DC$$\displaystyle AB^2 = BD \cdot BC$$\displaystyle AC^2 = DC \cdot BC$; Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, $AD \perp BC$; $BD$ și $DC$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Înălțimea din unghiul drept: $\displaystyle AD = \frac{AB \cdot AC}{BC}$; Aria se scrie în două feluri: $\frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{BC \cdot AD}{2}$.
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă: $\displaystyle \sin B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuza}}$$\displaystyle \cos B = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuza}}$$\displaystyle \operatorname{tg} B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$$\displaystyle \operatorname{ctg} B = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}$; $B$ este un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic.
Valori de reținut: $\displaystyle \sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$\displaystyle \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$\displaystyle \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \operatorname{tg} 45^\circ = 1$$\displaystyle \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$
Diagonala pătratului și înălțimea triunghiului echilateral: $\displaystyle d = l\sqrt{2}, \qquad h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$; $l$ este latura. Pătratul cu latura $5$ cm are diagonala $5\sqrt{2}$ cm.
Reciproca teoremei lui Pitagora: $\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2$$\displaystyle \Rightarrow m(\sphericalangle A) = 90^\circ$; Dacă pătratul unei laturi este suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic: $6$, $8$, $10$.

Cerculteorie

Unghiul înscris: $\displaystyle m(\sphericalangle ACB) = \frac{m(\overset{\frown}{AB})}{2}$; Vârful $C$ este pe cerc. Un unghi înscris într-un semicerc are $90^\circ$.
Lungimea cercului și aria discului: $\displaystyle L = 2\pi r, \qquad \mathcal{A} = \pi r^2$
Tangentele dintr-un punct exterior: $\displaystyle PA = PB, \qquad OA \perp PA$; $PA$ și $PB$ sunt tangentele din $P$, cu $A$ și $B$ pe cerc. Raza în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.
Poligonul regulat: $\displaystyle \text{la centru: } \frac{360^\circ}{n}$$\displaystyle \text{unghiul poligonului: } \frac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$; $n$ este numărul de laturi. Hexagonul regulat: $60^\circ$ la centru, $120^\circ$ unghiul; latura lui este egală cu raza.
Triunghiul echilateral: raza și apotema: $\displaystyle R = \frac{l\sqrt{3}}{3}, \quad a = \frac{l\sqrt{3}}{6}$; $l$ – latura, $R$ – raza cercului circumscris, $a$ – apotema (distanța de la centru la o latură). $R$ este două treimi din înălțime, $a$ o treime: $h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.
Pătratul: raza și apotema: $\displaystyle R = \frac{l\sqrt{2}}{2}, \quad a = \frac{l}{2}$; $l$ – latura, $R$ – raza cercului circumscris, $a$ – apotema (distanța de la centru la o latură). $R$ este jumătate din diagonală.
Hexagonul regulat: raza și apotema: $\displaystyle R = l, \quad a = \frac{l\sqrt{3}}{2}$; $l$ – latura, $R$ – raza cercului circumscris, $a$ – apotema (distanța de la centru la o latură). Hexagonul regulat este format din șase triunghiuri echilaterale cu vârful în centru.

Arii și perimetre ale figurilor planeteorie

Aria triunghiului: $\displaystyle \mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2}$$\displaystyle \mathcal{A}_{\text{dreptunghic}} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2}$; $h$ este înălțimea pe baza $b$; $c_1$, $c_2$ sunt catetele.
Aria triunghiului echilateral: $\displaystyle \mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$; La latura de $4$ cm, aria este $4\sqrt{3}$ cm$^2$.
Aria paralelogramului și a rombului: $\displaystyle \mathcal{A}_{\text{paralelogram}} = b \cdot h$$\displaystyle \mathcal{A}_{\text{romb}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$; $d_1$ și $d_2$ sunt diagonalele rombului.
Aria trapezului: $\displaystyle \mathcal{A} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$; $B$ și $b$ sunt bazele, $h$ înălțimea.
Aria hexagonului regulat: $\displaystyle \mathcal{A} = 6 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$; Șase triunghiuri echilaterale cu latura l. Este baza prismei și a piramidei hexagonale din clasa a VIII-a.