Teorie · B8 Algebră · clasa a VII-a
Produs cartezian, sistem de axe și distanța dintre două puncte în clasa a VII-a
Produsul cartezian a două mulțimi, sistemul de axe ortogonale, cum reprezinți un punct prin coordonatele lui și cum calculezi distanța dintre două puncte cu teorema lui Pitagora, cu exemple rezolvate de la simplu la problemele care cer o idee.
De unde vine
Ideea de a descrie un punct prin numere și o curbă printr-o ecuație a fost publicată în 1637 de filozoful și matematicianul francez René Descartes, pe când locuia în Olanda, în lucrarea „La Géométrie”. Pierre de Fermat a ajuns independent la aceeași idee, dar nu a publicat-o. Cuvântul „cartezian” vine de la numele lui Descartes, iar produsul cartezian a primit numele tot de la el, pentru că din geometria lui s-a născut ideea de pereche ordonată.
Surprinzător, nici Descartes, nici Fermat nu desenau două axe perpendiculare, ca noi: ei măsurau lungimile față de o singură axă. Perechea de axe a apărut mai târziu, după ce Frans van Schooten a tradus „La Géométrie” în latină, în 1649, iar elevii lui au încercat să explice mai clar ideile lui Descartes.
La ce folosește
Tabla de șah este un produs cartezian: coloanele $a,b,\dots,h$ ori rândurile $1,2,\dots,8$ dau $8\cdot 8=64$ de pătrățele, iar fiecare are numele unei perechi ordonate, ca e4. La fel, un pachet de cărți de joc are $13$ valori ori $4$ culori, adică $13\cdot 4=52$ de cărți.
Hărțile folosesc coordonate. Pe o hartă cu caroiaj de câte $1$ km, școala este în punctul $(2,1)$, iar casa în $(8,9)$. În linie dreaptă, distanța este $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ km; pe străzi paralele cu axele, drumul are $6+8=14$ km.
Graficele din viața de zi cu zi — temperatura de-a lungul unei zile, prețul unui produs de la o lună la alta — sunt puncte într-un sistem de axe: pe axa orizontală timpul, pe cea verticală mărimea care se schimbă.
De bază
O pereche ordonată $(a,b)$ are un prim element și un al doilea, iar ordinea contează: $(1,3)\neq(3,1)$. Produsul cartezian al mulțimilor nevide $A$ și $B$ este mulțimea tuturor perechilor $(a,b)$ cu $a\in A$ și $b\in B$: $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$.
Exemplu: $A=\{1,2\}$ și $B=\{3,4,5\}$. Atunci $A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}$ — $2\cdot 3=6$ perechi. $B\times A$ are tot $6$ perechi, dar altele: $(3,1)$ este în $B\times A$, nu în $A\times B$.
Sistemul de axe ortogonale $xOy$ are două axe perpendiculare care se taie în originea $O$. Punctul $M(x,y)$ are abscisa $x$ (pe axa $Ox$) și ordonata $y$ (pe axa $Oy$). Punctele de pe $Ox$ au $y=0$, cele de pe $Oy$ au $x=0$. Axele împart planul în patru cadrane: în cadranul I ambele coordonate sunt pozitive, în II abscisa este negativă, în III ambele sunt negative, în IV ordonata este negativă.
Exemplul 2: $M(3,-2)$ se află la $3$ unități la dreapta și $2$ în jos, în cadranul IV. $N(-4,0)$ se află pe axa $Ox$. Pentru puncte cu aceeași ordonată, distanța este diferența absciselor: $A(-2,3)$ și $B(5,3)$ sunt la distanța $5-(-2)=7$. Pentru puncte cu aceeași abscisă, $C(1,-4)$ și $D(1,2)$, distanța este $2-(-4)=6$.
Mediu
Când două puncte nu sunt pe aceeași orizontală sau verticală, segmentul dintre ele este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele paralele cu axele. Catetele sunt diferențele coordonatelor, iar din teorema lui Pitagora:
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
Exemplu: $A(1,2)$ și $B(4,6)$. Catetele sunt $4-1=3$ și $6-2=4$, deci $AB=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
Exemplul 2: $A(-2,5)$ și $B(4,-3)$. Diferențele sunt $4-(-2)=6$ și $-3-5=-8$. La pătrat semnul dispare: $AB=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
Simetricele unui punct: față de axa $Ox$ se schimbă semnul ordonatei, față de $Oy$ semnul abscisei, față de $O$ ambele. Simetricele lui $M(2,-3)$ sunt $(2,3)$ față de $Ox$, $(-2,-3)$ față de $Oy$ și $(-2,3)$ față de $O$.
Avansat
Ideea 1 — un triunghi cu o latură paralelă cu o axă are înălțimea ușor de citit: este diferența coordonatelor pe cealaltă axă.
Exemplu (figura de mai jos): $A(-1,1)$, $B(5,1)$, $C(2,5)$. Latura $AB$ este paralelă cu $Ox$ și are lungimea $6$. Înălțimea din $C$ cade în $H(2,1)$ și are lungimea $5-1=4$, deci aria este $\frac{6\cdot 4}{2}=12$. Mai mult, $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ și $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$, deci triunghiul este isoscel, cu perimetrul $6+5+5=16$.
Ideea 2 — natura unui triunghi se află din distanțe: laturi egale înseamnă isoscel, iar reciproca teoremei lui Pitagora arată un unghi drept.
Exemplul 2: $A(1,1)$, $B(5,4)$, $C(2,8)$. Avem $AB^2=4^2+3^2=25$, $BC^2=3^2+4^2=25$ și $AC^2=1^2+7^2=50$. Cum $AB^2+BC^2=AC^2$, triunghiul este dreptunghic în $B$, și isoscel. Aria lui este $\frac{5\cdot 5}{2}=12{,}5$.
Ideea 3 — o coordonată necunoscută se află scriind distanța dată și rezolvând ecuația.
Exemplul 3: pentru ce $a$ este distanța dintre $M(a,2)$ și $N(1,-2)$ egală cu $5$? Avem $(a-1)^2+4^2=25$, deci $(a-1)^2=9$ și $a-1=3$ sau $a-1=-3$. Sunt două răspunsuri: $a=4$ sau $a=-2$.
Greșeli frecvente
Coordonatele inversate: în $M(1,3)$, $1$ este abscisa (pe $Ox$), iar $3$ ordonata. $M(1,3)$ și $P(3,1)$ sunt puncte diferite.
Perechea ordonată confundată cu mulțimea: $\{1,3\}=\{3,1\}$, dar $(1,3)\neq(3,1)$.
Numărul de elemente al produsului cartezian: se înmulțesc, nu se adună. $\{1,2\}\times\{3,4,5\}$ are $6$ elemente, nu $5$.
Semnele în cadrane: un punct cu abscisa negativă și ordonata pozitivă este în cadranul II, nu în IV.
Distanța fără pătrate: diferențele se ridică la pătrat și se adună sub radical — $\sqrt{3^2+4^2}=5$, nu $3+4=7$. Iar pătratul unui număr negativ este pozitiv: $(-3)^2=9$, nu $-9$.
Uitarea celei de-a doua soluții: din $(a-1)^2=9$ rezultă $a-1=3$ SAU $a-1=-3$.
Surse pentru partea istorică
- Descartes a publicat ideea în 1637, în La Géométrie, locuind în Olanda; Fermat a descoperit-o independent fără să o publice; ambii au folosit o singură axă; traducerea latină a lui Frans van Schooten (1649) și elevii lui — en.wikipedia.org
- Produsul cartezian poartă numele lui Descartes, a cărui geometrie analitică a dat naștere conceptului; exemplul cărților de joc: 13 valori ori 4 culori — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.