Funcții: produs cartezian, sistem de axe, distanța dintre două puncte, funcția liniară

De bază

Produsul cartezian a două mulțimi $A$ și $B$ este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a,b)$, cu $a\in A$ și $b\in B$: $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$. Ordinea contează: $(1,3)\neq(3,1)$. Dacă $A$ are $2$ elemente și $B$ are $3$, atunci $A\times B$ are $2\cdot 3=6$ elemente.

Sistemul de axe ortogonale $xOy$: fiecare punct are două coordonate, $M(x,y)$ — întâi abscisa $x$ (pe axa $Ox$), apoi ordonata $y$ (pe axa $Oy$). Punctele de pe axa $Ox$ au $y=0$, iar cele de pe axa $Oy$ au $x=0$.

Distanța dintre punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. Formula este teorema lui Pitagora: diferențele coordonatelor sunt catetele unui triunghi dreptunghic.

Exemplu: $A(2,-1)$ și $B(7,11)$. Diferențele sunt $7-2=5$ și $11-(-1)=12$, deci $AB=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

O funcție $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, se numește funcție liniară. Graficul ei este o dreaptă. Punctul $M(m,n)$ aparține graficului exact atunci când $f(m)=n$.

Exemplul 2: $f(x)=4x-3$. Atunci $f(2)=4\cdot 2-3=5$, deci $(2,5)$ este pe grafic. Punctul $P(-1,-7)$ aparține și el graficului, pentru că $f(-1)=-4-3=-7$.

Mediu

Problemele de tip III.3 combină aproape mereu aceleași trei operații: intersecția graficului cu axele, aflarea funcției din două puncte, și un calcul de arie sau de distanță.

Intersecția cu axa $Ox$: rezolvi $f(x)=0$ și obții punctul $(x,0)$. Intersecția cu axa $Oy$: calculezi $f(0)=b$ și obții punctul $(0,b)$. Pentru că graficul este o dreaptă, două puncte îl determină complet.

Exemplu (figura de mai jos): $f(x)=-3x+6$. Din $-3x+6=0$ rezultă $x=2$, deci graficul taie $Ox$ în $A(2,0)$. Din $f(0)=6$, graficul taie $Oy$ în $B(0,6)$. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=2$ și $OB=6$, deci aria lui este $\frac{2\cdot 6}{2}=6$.

Aflarea funcției din două puncte: fiecare punct dă o ecuație, și obții un sistem în $a$ și $b$.

Exemplul 2: graficul lui $f(x)=ax+b$ trece prin $A(1,1)$ și $B(3,7)$. Atunci $a+b=1$ și $3a+b=7$. Scăzând, $2a=6$, deci $a=3$ și $b=-2$: $f(x)=3x-2$. Verificare: $f(3)=9-2=7$.

Mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. De exemplu, mijlocul segmentului cu capetele $(3,-1)$ și $(5,7)$ este $(4,3)$.

Avansat

Ideea 1 — două grafice se intersectează acolo unde funcțiile au aceeași valoare: rezolvi ecuația $f(x)=g(x)$. Apoi un triunghi cu o latură pe axa $Ox$ are înălțimea egală cu ordonata vârfului opus, luată pozitiv.

Exemplu: $f(x)=2x+2$ și $g(x)=-x+5$. Din $2x+2=-x+5$ rezultă $3x=3$, deci $x=1$ și $f(1)=4$: graficele se intersectează în $M(1,4)$. Graficul lui $f$ taie $Ox$ în $P(-1,0)$, iar al lui $g$ în $Q(5,0)$. Triunghiul $PQM$ are baza $PQ=5-(-1)=6$ și înălțimea $4$, deci aria $\frac{6\cdot 4}{2}=12$.

Ideea 2 — distanța de la originea $O$ la grafic este înălțimea triunghiului dreptunghic format cu axele, adică produsul catetelor împărțit la ipotenuză (aria scrisă în două feluri).

Exemplul 2: graficul unei funcții liniare taie axele în $A(3,0)$ și $B(0,4)$. Atunci $AB=\sqrt{9+16}=5$, iar distanța de la $O$ la dreapta $AB$ este $\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4$.

Ideea 3 — când funcția are un coeficient necunoscut și ți se dă un punct de pe grafic, înlocuiește coordonatele: de exemplu, dacă $(2,-5)$ este pe graficul lui $f(x)=ax+3$, atunci $2a+3=-5$, deci $a=-4$. Și, pentru a arăta că trei puncte sunt coliniare, afli funcția al cărei grafic trece prin primele două și verifici că al treilea este pe același grafic.