Funcții în clasa a VIII-a: funcții pe mulțimi finite și funcția f(x) = ax + b

De bază

O funcție $f:A\to B$ asociază FIECĂRUI element din $A$ (domeniul) EXACT UN element din $B$ (codomeniul). O funcție pe o mulțime finită se poate da printr-o diagramă cu săgeți, printr-un tabel de valori sau printr-o formulă. Graficul ei este mulțimea punctelor $(x,f(x))$; din clasa a VII-a știi să le reprezinți într-un sistem de axe.

Exemplu: $f:\{0,1,2,3\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$. Tabelul de valori: $f(0)=-1$, $f(1)=1$, $f(2)=3$, $f(3)=5$. Graficul este format din patru puncte: $(0,-1)$, $(1,1)$, $(2,3)$, $(3,5)$. Punctele sunt pe o dreaptă, dar graficul nu este toată dreapta — doar aceste patru puncte.

Un punct $M(m,n)$ aparține graficului exact atunci când $f(m)=n$.

Exemplul 2: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=3x-4$. Cum $f(2)=6-4=2$, punctul $M(2,2)$ este pe grafic. Cum $f(-1)=-3-4=-7\neq -6$, punctul $N(-1,-6)$ nu este.

Mediu

Graficul funcției $f(x)=ax+b$ depinde de domeniu: pe o mulțime finită este format din puncte, pe un interval este un segment sau o semidreaptă, pe $\mathbb{R}$ este o dreaptă. Două puncte determină dreapta, iar cele mai comode sunt intersecțiile cu axele: cu $Ox$ rezolvi $f(x)=0$, cu $Oy$ calculezi $f(0)=b$.

Exemplu (figura de mai jos): $f(x)=-2x+4$. Din $-2x+4=0$ rezultă $x=2$, deci $A(2,0)$; din $f(0)=4$ rezultă $B(0,4)$. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu aria $\frac{2\cdot 4}{2}=4$.

Aflarea funcției din două puncte ale graficului: fiecare punct dă o ecuație, iar din clasa a VII-a știi să rezolvi sistemul.

Exemplul 2: graficul lui $f(x)=ax+b$ trece prin $(1,3)$ și $(3,7)$. Atunci $a+b=3$ și $3a+b=7$. Scăzând, $2a=4$, deci $a=2$ și $b=1$: $f(x)=2x+1$.

Exemplul 3: $f:[0,3]\to\mathbb{R}$, $f(x)=x+1$. Cum $f(0)=1$ și $f(3)=4$, graficul este segmentul cu capetele $(0,1)$ și $(3,4)$, cu lungimea $\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Semnul lui $a$ spune cum se schimbă valorile. Dacă $x_1<x_2$, atunci $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$, iar $x_2-x_1>0$. Pentru $a>0$ funcția este crescătoare: la un $x$ mai mare, o valoare mai mare. Pentru $a<0$ este descrescătoare, iar pentru $a=0$ este constantă, $f(x)=b$, cu graficul paralel cu $Ox$.

Exemplul 4: $f(x)=3x-4$ este crescătoare ($a=3>0$): $f(1)=-1<f(2)=2$. Funcția $g(x)=-2x+4$ este descrescătoare ($a=-2<0$): $g(0)=4>g(2)=0$. Funcția $h(x)=5$ este constantă.

Avansat

Ideea 1 — două grafice se intersectează unde funcțiile au aceeași valoare: rezolvi $f(x)=g(x)$.

Exemplu: $f(x)=x+3$ și $g(x)=-2x+6$. Din $x+3=-2x+6$ rezultă $x=1$ și $f(1)=4$: graficele se taie în $M(1,4)$. Graficul lui $f$ taie $Ox$ în $P(-3,0)$, al lui $g$ în $Q(3,0)$. Triunghiul $PQM$ are baza $PQ=6$ și înălțimea $4$, deci aria $\frac{6\cdot 4}{2}=12$.

Ideea 2 — trei puncte sunt coliniare dacă al treilea se află pe dreapta prin primele două.

Exemplul 2: $A(0,-1)$, $B(2,3)$, $C(5,9)$. Dreapta prin $A$ și $B$ este graficul lui $f(x)=ax+b$ cu $b=f(0)=-1$ și $2a-1=3$, deci $a=2$: $f(x)=2x-1$. Cum $f(5)=9$, punctul $C$ este pe aceeași dreaptă: punctele sunt coliniare.

Ideea 3 — lecturi grafice. Unde graficul este deasupra axei $Ox$, funcția are valori pozitive. Pentru $f(x)=-2x+4$, graficul este deasupra lui $Ox$ exact pentru $x<2$ — același răspuns ca la inecuația $-2x+4>0$.

Ideea 4 — distanța de la $O$ la grafic este înălțimea triunghiului dreptunghic format cu axele. Pentru $f(x)=-\frac{3}{4}x+3$, graficul taie axele în $(4,0)$ și $(0,3)$, ipotenuza are $\sqrt{16+9}=5$, iar distanța este $\frac{4\cdot 3}{5}=2{,}4$. Iar dacă un punct dat, ca $(2,-5)$, este pe graficul lui $f(x)=ax+3$, înlocuiești: $2a+3=-5$, deci $a=-4$.

Ideea 5 — unghiul graficului cu axa $Ox$. Pentru $a>0$, graficul lui $f(x)=ax+b$ face cu $Ox$ un unghi ascuțit a cărui tangentă este chiar $a$. Se vede în triunghiul dreptunghic format cu axele (pentru $b>0$): graficul taie $Oy$ în $B(0,b)$ și $Ox$ în $A\left(-\frac{b}{a},0\right)$, deci $\operatorname{tg}\angle BAO=\frac{OB}{OA}=b:\frac{b}{a}=a$. Cu tangenta din clasa a VII-a afli apoi unghiul.

Exemplul 3: $f(x)=\sqrt{3}\,x+3$ taie $Oy$ în $B(0,3)$ și $Ox$ în $A\left(-\sqrt{3},0\right)$. Atunci $\operatorname{tg}\angle BAO=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, deci graficul face cu $Ox$ un unghi de $60^\circ$.

Ideea 6 — o sumă de valori $f(1)+f(2)+\dots+f(n)$ se calculează grupând: termenii în $x$ dau $a(1+2+\dots+n)$, iar termenii liberi dau $n\cdot b$. Suma $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ o știi din clasa a V-a (suma lui Gauss).

Exemplul 4: pentru $f(x)=2x+1$, $f(1)+f(2)+\dots+f(10)=2(1+2+\dots+10)+10\cdot 1=2\cdot\frac{10\cdot 11}{2}+10=110+10=120$.