Arii în clasa a VII-a: triunghi, paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat și trapez

De bază

Din clasa a V-a știi aria pătratului și a dreptunghiului, iar din clasa a VI-a perimetrul triunghiului. În clasa a VII-a înveți ariile celorlalte figuri. Înălțimea este întotdeauna perpendiculara pe bază.

Formulele: triunghi $A=\frac{b\cdot h}{2}$; paralelogram $A=b\cdot h$; romb $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$; trapez $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$; triunghi dreptunghic $A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$.

Exemplu: paralelogramul are baza de $12$ cm și înălțimea corespunzătoare ei de $5$ cm. Aria este $12\cdot 5=60$ cm$^2$.

Exemplul 2: triunghiul are baza de $9$ cm și înălțimea de $8$ cm, deci aria $\frac{9\cdot 8}{2}=36$ cm$^2$. Rombul cu diagonalele de $10$ cm și $6$ cm are aria $\frac{10\cdot 6}{2}=30$ cm$^2$.

Exemplul 3: trapezul are bazele de $11$ cm și $7$ cm și înălțimea de $6$ cm. Aria este $\frac{(11+7)\cdot 6}{2}=54$ cm$^2$.

Mediu

La nivel mediu, formula este cunoscută, dar un element din ea — de obicei înălțimea sau o latură — trebuie aflat întâi, cu teorema lui Pitagora sau cu unghiul de $30^\circ$.

Exemplu: dreptunghiul $ABCD$ are $AB=5$ cm și diagonala $AC=13$ cm. În triunghiul dreptunghic $ABC$, $BC=\sqrt{169-25}=12$ cm. Aria este $5\cdot 12=60$ cm$^2$, iar perimetrul $2\cdot(5+12)=34$ cm.

Exemplul 2: paralelogramul $MNPQ$ are $MN=12$ cm, $MQ=8$ cm și $m(\sphericalangle QMN)=30^\circ$. Înălțimea din $Q$ pe $MN$ este cateta opusă unghiului de $30^\circ$ în triunghiul dreptunghic cu ipotenuza $MQ$, deci $\frac{8}{2}=4$ cm. Aria este $12\cdot 4=48$ cm$^2$, iar perimetrul $2\cdot(12+8)=40$ cm.

Exemplul 3: trapezul isoscel $ABCD$ are bazele $AB=20$ cm și $CD=8$ cm și laturile neparalele de $10$ cm. Înălțimea $DE$ taie din baza mare $AE=\frac{20-8}{2}=6$ cm, deci $DE=\sqrt{100-36}=8$ cm. Aria este $\frac{(20+8)\cdot 8}{2}=112$ cm$^2$, iar perimetrul $20+8+10+10=48$ cm.

Triunghiul echilateral cu latura $l$ are înălțimea $\frac{l\sqrt{3}}{2}$ și aria $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. La latura de $4$ cm, aria este $\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ cm$^2$.

Hexagonul regulat cu latura $l$ se împarte, prin cele trei diagonale care trec prin centru, în șase triunghiuri echilaterale cu latura $l$. De aceea aria lui este $6\cdot\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$.

Exemplul 4: hexagonul regulat cu latura de $4$ cm are aria $6\cdot 4\sqrt{3}=\frac{3\cdot 16\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$ cm$^2$.

Avansat

Problemele grele de arii rareori se rezolvă cu o singură formulă. Trei idei acoperă aproape toate cazurile.

Ideea 1 — aria prin scădere. Când figura cerută este „ce rămâne”, calculezi aria figurii mari și scazi bucățile simple.

Exemplu: pătratul $ABCD$ are latura de $12$ cm, iar $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $BC$. Din aria pătratului, $144$ cm$^2$, scazi triunghiurile dreptunghice $DAE$ (aria $\frac{12\cdot 6}{2}=36$ cm$^2$), $EBF$ (aria $\frac{6\cdot 6}{2}=18$ cm$^2$) și $FCD$ ($36$ cm$^2$). Triunghiul $DEF$ are $144-36-18-36=54$ cm$^2$.

Ideea 2 — aria scrisă în două feluri dă o înălțime greu de aflat altfel.

Exemplul 2: triunghiul dreptunghic are catetele de $9$ cm și $12$ cm, deci ipotenuza de $15$ cm. Aria este $\frac{9\cdot 12}{2}=54$ cm$^2$, dar este și $\frac{15\cdot h}{2}$, unde $h$ este înălțimea pe ipotenuză. Din $15\cdot h=108$ rezultă $h=7{,}2$ cm.

Ideea 3 — raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare.

Exemplul 3: triunghiul $ABC$ are aria de $48$ cm$^2$, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$. Linia mijlocie $MN$ formează triunghiul $AMN$, asemenea cu $ABC$ în raportul $\frac{1}{2}$, deci aria lui este $\frac{48}{4}=12$ cm$^2$, iar trapezul $MNCB$ are $48-12=36$ cm$^2$.

Ideea 4 — ariile egale fără calcul. Două triunghiuri cu aceeași bază (sau baze egale) și aceeași înălțime au arii egale. De aici: mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale, pentru că $BM=MC$ și înălțimea din $A$ este comună.

Exemplul 4: triunghiul $ABC$ are aria de $48$ cm$^2$, iar $M$ este mijlocul lui $BC$. Mediana $AM$ îl împarte în triunghiurile $ABM$ și $ACM$, de câte $\frac{48}{2}=24$ cm$^2$. Dacă $N$ este mijlocul lui $AM$, atunci $BN$ este mediană în triunghiul $ABM$, deci triunghiul $ABN$ are $\frac{24}{2}=12$ cm$^2$.

Exemplul 5: paralelogramul $ABCD$ are aria de $60$ cm$^2$, iar $P$ este un punct oarecare pe latura $CD$. Triunghiul $PAB$ are baza $AB$ și înălțimea egală cu a paralelogramului, deci aria lui este $\frac{60}{2}=30$ cm$^2$, oriunde ar fi $P$ pe $CD$.