Teorie · C12 Geometrie · clasa a VI-a
Perimetre în clasa a VI-a: perimetrul triunghiului, laturi aflate din proprietăți și cu Pitagora
Ce înveți în clasa a VI-a despre perimetre: perimetrul triunghiului oarecare, isoscel și echilateral, când trei lungimi pot fi laturile unui triunghi și cum afli laturile lipsă cu proprietățile triunghiurilor și cu teorema lui Pitagora, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Cuvântul „perimetru” vine din greacă: peri înseamnă „în jur”, iar metron, „măsură” — perimetrul este măsura de jur împrejurul unei figuri.
În „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), cartea I, propoziția 20 spune că în orice triunghi suma a două laturi este mai mare decât a treia. De aceea nu orice trei lungimi pot forma un triunghi, și de aceea drumul direct între două puncte este mai scurt decât ocolul prin al treilea.
Cel mai faimos „perimetru” măsurat în antichitate este cel al Pământului. Eratostene (276–194 î.Hr.) a comparat umbra de la amiază a soarelui la Syene (azi Assuan) și la Alexandria, a găsit între ele un unghi de a cincizecea parte dintr-un cerc — adică $\frac{360^\circ}{50}=7^\circ 12'$ — și, din distanța dintre cele două orașe, a dat pentru circumferința Pământului $250\,000$ de stadii.
La ce folosește
Într-un parc, două alei perpendiculare au $30$ m și $40$ m, iar o a treia alee le unește capetele. Cine merge pe diagonală parcurge $50$ m (pentru că $30^2+40^2=2\,500=50^2$), în loc de $30+40=70$ m, deci economisește $20$ m. Turul complet al parcului triunghiular are $120$ m.
Plinta (șipca de la baza pereților) se cumpără după perimetru. O cameră de $5$ m pe $4$ m are perimetrul $2\cdot(5+4)=18$ m; scăzând ușa de $1$ m, sunt necesari $17$ m de plintă.
O ramă pentru o fotografie, o panglică pusă de jur împrejurul unei cutii, gardul unei grădini triunghiulare: toate se socotesc după perimetru, nu după arie.
De bază
Perimetrul unui triunghi este suma celor trei laturi: $P=a+b+c$. La triunghiul isoscel, cu laturile egale $l$ și baza $b$, $P=2\cdot l+b$. La triunghiul echilateral cu latura $l$, $P=3\cdot l$.
Exemplu: un triunghi isoscel are laturile egale de $7$ cm și baza de $4$ cm. Perimetrul lui este $7+7+4=18$ cm.
Exemplul 2: un triunghi echilateral are perimetrul de $27$ cm. Toate laturile sunt egale, deci fiecare are $\frac{27}{3}=9$ cm.
Nu orice trei lungimi formează un triunghi: suma oricăror două laturi trebuie să fie mai mare decât a treia. Lungimile $3$ cm, $4$ cm și $8$ cm nu pot fi laturile unui triunghi, pentru că $3+4=7<8$.
Triunghiurile congruente au laturile respectiv egale, deci au și perimetre egale.
Mediu
La nivel mediu, nu se dau toate laturile: o latură se află dintr-o proprietate a triunghiului.
Exemplu: un triunghi isoscel are perimetrul de $32$ cm și baza de $10$ cm. Cele două laturi egale au împreună $32-10=22$ cm, deci fiecare are $11$ cm.
Exemplul 2: un triunghi isoscel are două laturi de $4$ cm și $9$ cm. Dacă laturile egale ar avea $4$ cm, triunghiul ar fi $4$, $4$, $9$, imposibil, pentru că $4+4<9$. Deci laturile sunt $9$, $9$ și $4$ cm, iar perimetrul este $22$ cm.
În triunghiul dreptunghic, latura lipsă se află cu teorema lui Pitagora.
Exemplul 3: un triunghi dreptunghic are catetele de $5$ cm și $12$ cm. Ipotenuza verifică $c^2=25+144=169=13^2$, deci are $13$ cm, iar perimetrul este $5+12+13=30$ cm.
Exemplul 4: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\sphericalangle C)=30^\circ$ și ipotenuza $BC=16$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $BC$. Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este $AB=8$ cm, iar mediana $AM=8$ cm. Triunghiul $ABM$ are laturile $8$, $8$, $8$ cm și perimetrul de $24$ cm.
Avansat
Problemele grele cer să vezi o figură ascunsă sau să compari două perimetre.
Ideea 1 — diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice.
Exemplu: un dreptunghi are o latură de $6$ cm și diagonala de $10$ cm. În triunghiul dreptunghic format de două laturi și diagonală, cealaltă latură verifică $x^2=100-36=64$, deci are $8$ cm. Perimetrul dreptunghiului este $2\cdot(8+6)=28$ cm, iar aria (din clasa a V-a) este $8\cdot 6=48$ cm$^2$.
Ideea 2 — când o mediană împarte un triunghi în două, perimetrele celor două bucăți diferă exact prin diferența a două laturi, pentru că mediana și cele două jumătăți ale bazei sunt comune sau egale.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$, $AM$ este mediană. Perimetrul triunghiului $ABM$ este $30$ cm, al triunghiului $ACM$ este $26$ cm, iar $AB=12$ cm. Cum $BM=MC$ și $AM$ apare în ambele, $P_{ABM}-P_{ACM}=AB-AC$, deci $30-26=12-AC$ și $AC=8$ cm.
Ideea 3 — într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf cade în mijlocul bazei.
Exemplul 3: triunghiul $ABC$ are $AB=AC=13$ cm și $BC=10$ cm, iar $AM\perp BC$. Atunci $BM=5$ cm, iar în triunghiul dreptunghic $ABM$, $AM^2=169-25=144$, deci $AM=12$ cm. Perimetrul triunghiului $ABM$ este $13+5+12=30$ cm, iar al triunghiului $ABC$ este $13+13+10=36$ cm.
Greșeli frecvente
O latură numărată o singură dată: la triunghiul isoscel cu laturile egale de $7$ cm și baza de $4$ cm, perimetrul este $7+7+4=18$ cm, nu $7+4=11$ cm.
Triunghi imposibil acceptat: la un triunghi isoscel cu laturile de $4$ și $9$ cm, varianta $4$, $4$, $9$ nu există, pentru că $4+4<9$.
Ipotenuza calculată ca sumă a catetelor: la catetele de $5$ și $12$ cm, ipotenuza este $13$ cm, nu $17$ cm.
Perimetrul unei bucăți în care intră tot perimetrul mare: la triunghiul $ABM$, laturile sunt $AB$, $BM$ și mediana $AM$ — nu $BC$ întreagă.
Perimetrul scris în cm$^2$: perimetrul este o lungime, se măsoară în cm, m.
Surse pentru partea istorică
- Cuvântul perimetru vine din grecescul perimetron, din peri (în jur) și metron (măsură) — www.etymonline.com
- Elementele lui Euclid, cartea I, propoziția 20: în orice triunghi suma a două laturi este mai mare decât a treia — mathcs.clarku.edu
- Eratostene (276–194 î.Hr.) a comparat umbra de la Syene și Alexandria, a găsit a cincizecea parte dintr-un cerc și a dat circumferința Pământului de 250 000 de stadii — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.