Teorie · C12 Geometrie · clasele V–VII
Arii și perimetre ale figurilor plane
Perimetrul și aria pentru pătrat, dreptunghi, triunghi, paralelogram, romb și trapez, cum afli înălțimea care lipsește și cum calculezi o arie prin descompunere, cu exemple rezolvate pe trei niveluri.
De unde vine
Cuvântul „geometrie” vine din greacă și înseamnă, literal, „măsurarea pământului” (gē, „pământ”, și metria, „măsurare”). Numele spune de unde a pornit totul: din nevoia de a măsura terenuri.
Proclus, un filozof grec din secolul al V-lea d.Hr. (aproximativ 411–485), a scris un comentariu la „Elementele” lui Euclid care este principala noastră sursă despre istoria geometriei grecești. El relatează părerea, răspândită în antichitate, că geometria a fost descoperită de egipteni, pentru că revărsările Nilului ștergeau în fiecare an hotarele dintre câmpuri și terenurile trebuiau măsurate din nou. Tot el spune că Thales a adus acest studiu în Grecia, după o călătorie în Egipt.
Papirusul Rhind, un manual egiptean de probleme, arată cum se calculau ariile: problema 51 află aria unui triunghi ca jumătate din produsul dintre bază și înălțime, iar problema 50 aproximează un câmp rotund cu diametrul de $9$ unități printr-un pătrat cu latura de $8$. Mult mai târziu, Heron din Alexandria (secolul I d.Hr.) a strâns în lucrarea „Metrica” regulile pentru ariile triunghiurilor, patrulaterelor și poligoanelor regulate, inclusiv o formulă care dă aria unui triunghi doar din lungimile laturilor.
La ce folosește
Când zugrăvești o cameră, cumperi vopsea după arie. Un perete de $4$ m pe $2{,}5$ m are $10$ m$^2$; dacă are o fereastră de $1{,}2$ m pe $1$ m, rămân de vopsit $10-1{,}2=8{,}8$ m$^2$.
Gardul se cumpără după perimetru, iar pământul se lucrează după arie. O grădină dreptunghiulară de $20$ m pe $12$ m cere $2(20+12)=64$ m de gard și are $240$ m$^2$. Cu aceiași $64$ m de gard poți închide un pătrat cu latura de $16$ m, adică $256$ m$^2$: la același perimetru, pătratul are aria mai mare decât dreptunghiul.
Pentru o cameră de $5$ m pe $4$ m, adică $20$ m$^2$, cu plăci de gresie de $50$ cm pe $50$ cm (fiecare de $0{,}25$ m$^2$), sunt necesare $\frac{20}{0{,}25}=80$ de plăci, plus câteva de rezervă pentru tăieturi.
De bază
Perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor și se măsoară în cm, m. Aria măsoară suprafața și se măsoară în cm$^2$, m$^2$.
Formulele de bază: dreptunghi $A=L\cdot l$; pătrat $A=l^2$; triunghi $A=\frac{b\cdot h}{2}$; paralelogram $A=b\cdot h$; romb $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$; trapez $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$; triunghi echilateral $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.
Exemplu: dreptunghiul are $8$ cm și $5$ cm. Perimetrul este $2(8+5)=26$ cm, iar aria $8\cdot 5=40$ cm$^2$.
Exemplul 2: triunghiul are baza de $10$ cm și înălțimea corespunzătoare ei de $6$ cm. Aria este $\frac{10\cdot 6}{2}=30$ cm$^2$.
Exemplul 3: trapezul are bazele de $10$ cm și $6$ cm și înălțimea de $4$ cm. Aria este $\frac{(10+6)\cdot 4}{2}=32$ cm$^2$.
Mediu
La nivel mediu, formula este cunoscută, dar un element din ea — de obicei înălțimea sau o latură — trebuie aflat întâi, cel mai des cu teorema lui Pitagora sau cu unghiul de $30^\circ$.
Exemplu: dreptunghiul $ABCD$ are $BC=6$ cm și diagonala $AC=10$ cm. În triunghiul dreptunghic $ABC$, $AB=\sqrt{100-36}=8$ cm, deci aria este $8\cdot 6=48$ cm$^2$.
Exemplul 2: paralelogramul $MNPQ$ are $MN=10$ cm, $MQ=6$ cm și $m(\sphericalangle QMN)=30^\circ$. Înălțimea din $Q$ pe $MN$ este cateta opusă unghiului de $30^\circ$, deci $\frac{6}{2}=3$ cm, iar aria este $10\cdot 3=30$ cm$^2$.
Exemplul 3: trapezul isoscel are bazele de $16$ cm și $8$ cm și laturile neparalele de $5$ cm. Proiecția unei laturi neparalele pe baza mare este $\frac{16-8}{2}=4$ cm, deci înălțimea este $\sqrt{25-16}=3$ cm. Aria este $\frac{(16+8)\cdot 3}{2}=36$ cm$^2$, iar perimetrul $16+8+5+5=34$ cm.
Triunghiul echilateral cu latura de $6$ cm are aria $\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm$^2$ — înălțimea lui nu este latura, ci $\frac{l\sqrt{3}}{2}$.
Avansat
Problemele grele de arii rareori se rezolvă cu o singură formulă. Trei idei acoperă aproape toate cazurile.
Ideea 1 — aria prin scădere. Când figura cerută este „ce rămâne”, calculezi aria figurii mari și scazi bucățile simple.
Exemplu: pătratul $ABCD$ are latura de $8$ cm, iar $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $BC$. Aria triunghiului $DEF$ se obține scăzând din aria pătratului, $64$ cm$^2$, triunghiurile dreptunghice $DAE$ (cu aria $\frac{8\cdot 4}{2}=16$ cm$^2$), $EBF$ (cu aria $\frac{4\cdot 4}{2}=8$ cm$^2$) și $FCD$ (cu aria $16$ cm$^2$). Rămân $64-16-8-16=24$ cm$^2$.
Ideea 2 — aceeași bază și aceeași înălțime înseamnă aceeași arie. Înălțimea este distanța până la dreapta bazei, nu o latură a figurii.
Exemplul 2: pătratul $ABCD$ are latura de $6$ cm, iar $M$ este orice punct de pe $BC$. Triunghiul $AMD$ are baza $AD=6$ cm și înălțimea egală cu distanța dintre $BC$ și $AD$, adică $6$ cm. Aria lui este $\frac{6\cdot 6}{2}=18$ cm$^2$ — jumătate din pătrat, oriunde ar fi $M$.
Ideea 3 — aria scrisă în două feluri dă o înălțime greu de aflat altfel.
Exemplul 3: rombul are diagonalele de $16$ cm și $12$ cm. Aria lui este $\frac{16\cdot 12}{2}=96$ cm$^2$. Diagonalele se înjumătățesc perpendicular, deci latura este $\sqrt{8^2+6^2}=10$ cm. Rombul este și paralelogram, deci aria este și latura ori înălțimea: $10\cdot h=96$, adică $h=9{,}6$ cm.
Greșeli frecvente
Confuzia dintre arie și perimetru: la dreptunghiul de $8$ cm pe $5$ cm, $40$ este aria (în cm$^2$), iar perimetrul este $26$ cm. Uită-te la unitatea de măsură cerută.
Perimetrul cu laturi lipsă: dreptunghiul are patru laturi, deci $2(8+5)$, nu $8+5$ și nici $8+8+5$.
Uitarea împărțirii la $2$: la triunghi, $10\cdot 6=60$ este aria dreptunghiului cu aceleași dimensiuni; triunghiul are $30$. La fel la trapez, $(B+b)\cdot h$ trebuie împărțit la $2$.
Latura luată drept înălțime: la paralelogram și la triunghiul echilateral, înălțimea este perpendiculara pe bază, mai scurtă decât latura oblică. Aria paralelogramului nu este produsul a două laturi vecine.
Diagonala luată drept latură: la dreptunghiul cu $BC=6$ și $AC=10$, latura $AB$ se află cu Pitagora ($8$ cm), nu este $10$.
La aria prin scădere, o bucată uitată: dacă din pătrat scazi doar unul dintre triunghiuri, rezultatul iese prea mare. Numără toate bucățile care nu fac parte din figura cerută.
Surse pentru partea istorică
- Cuvântul geometrie vine din grecescul gē (pământ) și metria (măsurare) — www.etymonline.com
- Proclus relatează că geometria a fost descoperită la egipteni din măsurarea terenurilor după revărsările Nilului și că Thales a adus-o în Grecia — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Proclus (aproximativ 411–485 d.Hr.), comentariul la Elementele lui Euclid, principala sursă despre istoria timpurie a geometriei grecești — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Papirusul Rhind: problema 51, aria triunghiului; problema 50, câmpul rotund de diametru 9 aproximat printr-un pătrat de latură 8 — en.wikipedia.org
- Heron din Alexandria (aproximativ 10–75 d.Hr.), Metrica: arii de triunghiuri, patrulatere, poligoane regulate și formula ariei din cele trei laturi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.