Teorie · C12 Geometrie · clasa a V-a
Perimetre și arii în clasa a V-a: perimetrul, aria pătratului și a dreptunghiului, unități de măsură
Ce înveți în clasa a V-a despre perimetre și arii: perimetrul oricărui poligon, aria pătratului și a dreptunghiului, unitățile de măsură pentru lungime și arie și transformările dintre ele, cu exemple rezolvate pe trei niveluri.
De unde vine
Cuvântul „geometrie” vine din greacă și înseamnă, literal, „măsurarea pământului” (gē, „pământ”, și metria, „măsurare”). Proclus, un filozof grec din secolul al V-lea d.Hr., povestește că geometria s-a născut la egipteni: revărsările Nilului ștergeau hotarele dintre câmpuri, iar terenurile trebuiau măsurate din nou. Tot el spune că Thales a adus acest studiu în Grecia, după o călătorie în Egipt.
Papirusul Rhind, un manual egiptean de probleme copiat de scribul Ahmes în jurul anilor 1650–1550 î.Hr. după un text mai vechi, conține chiar o asemenea problemă: problema 49 calculează aria unui teren dreptunghiular.
Unitățile pe care le folosești sunt mult mai noi. Metrul a fost definit în Franța, în 1791, ca a zece milioana parte din distanța de la Polul Nord la Ecuator, iar în 1799 a fost păstrat sub forma unei bare de platină la Paris. Centimetrul, kilometrul, metrul pătrat și celelalte unități se obțin din el prin înmulțiri și împărțiri cu $10$, $100$, $1\,000$.
La ce folosește
Gardul se cumpără după perimetru, iar grădina se lucrează după arie. O grădină dreptunghiulară de $20$ m pe $12$ m cere $2\cdot(20+12)=64$ m de gard și are $240$ m$^2$. Cu aceiași $64$ m de gard poți închide un pătrat cu latura de $16$ m, adică $256$ m$^2$ — mai mult decât dreptunghiul.
Pentru o cameră de $5$ m pe $4$ m, cu plăci de gresie pătrate cu latura de $50$ cm: pe lungime încap $500:50=10$ plăci, pe lățime $400:50=8$ plăci, deci sunt necesare $10\cdot 8=80$ de plăci.
Terenurile agricole se măsoară în ari și hectare: $1$ ar are $100$ m$^2$ (un pătrat cu latura de $10$ m), iar $1$ hectar are $10\,000$ m$^2$ (un pătrat cu latura de $100$ m).
De bază
Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor. Se măsoară în unități de lungime: mm, cm, dm, m, km.
Exemplu: un patrulater are laturile de $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm și $6$ cm. Perimetrul lui este $3+4+5+6=18$ cm.
La dreptunghiul cu lungimea $L$ și lățimea $l$, perimetrul este $P=2\cdot(L+l)$, iar la pătratul cu latura $l$, $P=4\cdot l$.
Aria măsoară cât loc ocupă o figură, adică de câte ori încape în ea pătratul-unitate. Se măsoară în unități de arie: cm$^2$, m$^2$. Dreptunghiul are aria $A=L\cdot l$, iar pătratul $A=l\cdot l=l^2$.
Exemplul 2: dreptunghiul are $8$ cm și $5$ cm. Perimetrul este $2\cdot(8+5)=26$ cm, iar aria este $8\cdot 5=40$ cm$^2$.
Exemplul 3: pătratul are latura de $7$ cm. Perimetrul este $4\cdot 7=28$ cm, iar aria este $7\cdot 7=49$ cm$^2$.
Mediu
Înainte de orice calcul, toate lungimile trebuie să fie în aceeași unitate. La lungimi, între două unități vecine se înmulțește cu $10$ ($1$ m $=10$ dm $=100$ cm). La arii se înmulțește cu $100$ ($1$ m$^2=100$ dm$^2=10\,000$ cm$^2$), pentru că un pătrat de $1$ m pe $1$ m conține $100\cdot 100$ pătrățele de $1$ cm pe $1$ cm.
Exemplu: un dreptunghi are $2$ m și $35$ cm. Transformăm: $2$ m $=200$ cm. Perimetrul este $2\cdot(200+35)=470$ cm $=4{,}7$ m, iar aria este $200\cdot 35=7\,000$ cm$^2=0{,}7$ m$^2$.
Exemplul 2: un teren are $250$ m pe $80$ m. Aria lui este $250\cdot 80=20\,000$ m$^2$, adică $200$ de ari sau $2$ hectare.
Uneori se dă perimetrul și se cere o latură. Semiperimetrul (jumătate din perimetru) este suma unei lungimi și a unei lățimi.
Exemplul 3: un dreptunghi are perimetrul de $30$ cm și lungimea de $9$ cm. Semiperimetrul este $15$ cm, deci lățimea este $15-9=6$ cm, iar aria este $9\cdot 6=54$ cm$^2$.
Avansat
La problemele grele, figura nu este un dreptunghi, sau nu se dau direct laturile. Trei idei ajută aproape mereu.
Ideea 1 — împarți figura în dreptunghiuri, sau o completezi până la un dreptunghi și scazi ce lipsește.
Exemplu: o cameră are forma din desen: un dreptunghi de $10$ m pe $8$ m din care lipsește, într-un colț, un dreptunghi de $4$ m pe $3$ m. Aria camerei este $10\cdot 8-4\cdot 3=80-12=68$ m$^2$. Perimetrul are șase laturi: $10+5+4+3+6+8=36$ m — exact cât perimetrul dreptunghiului mare, $2\cdot(10+8)=36$ m, pentru că laturile de $4$ m și $3$ m ale colțului înlocuiesc exact bucățile de contur care au fost tăiate.
Ideea 2 — același perimetru nu înseamnă aceeași arie.
Exemplul 2: dreptunghiurile cu laturi numere naturale și perimetrul de $20$ cm au semiperimetrul $10$ cm: $1$ și $9$ (aria $9$ cm$^2$), $2$ și $8$ ($16$ cm$^2$), $3$ și $7$ ($21$ cm$^2$), $4$ și $6$ ($24$ cm$^2$), $5$ și $5$ ($25$ cm$^2$). Cea mai mare arie o are pătratul.
Ideea 3 — din aria unui pătrat afli latura, căutând numărul al cărui pătrat este aria.
Exemplul 3: un pătrat are aria de $64$ cm$^2$. Cum $8\cdot 8=64$, latura este $8$ cm, iar perimetrul este $4\cdot 8=32$ cm.
Greșeli frecvente
Confuzia dintre arie și perimetru: la dreptunghiul de $8$ cm pe $5$ cm, $40$ cm$^2$ este aria, iar perimetrul este $26$ cm. Uită-te la unitatea de măsură cerută.
Perimetrul dreptunghiului scris $L+l$: dreptunghiul are patru laturi, deci $2\cdot(8+5)=26$, nu $8+5=13$.
Laturi în unități diferite: la $2$ m și $35$ cm nu se calculează $2\cdot 35$. Întâi $2$ m $=200$ cm.
La arii, transformarea cu $10$ în loc de $100$: $1$ m$^2$ are $10\,000$ cm$^2$, nu $100$ cm$^2$.
Aria pătratului scrisă $4\cdot l$: aceea este perimetrul. Aria este $l\cdot l$.
Aria scrisă în cm în loc de cm$^2$: aria are întotdeauna unitate „la pătrat”.
Surse pentru partea istorică
- Papirusul Rhind a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. de Ahmes, care copia un document cu 200 de ani mai vechi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Cuvântul geometrie vine din grecescul gē (pământ) și metria (măsurare) — www.etymonline.com
- Proclus relatează că geometria a fost descoperită la egipteni din măsurarea terenurilor după revărsările Nilului și că Thales a adus-o în Grecia — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Papirusul Rhind, copiat de Ahmes în jurul anului 1550 î.Hr.; problema 49 calculează aria unui teren dreptunghiular — en.wikipedia.org
- Metrul, definit în 1791 ca a zece milioana parte din distanța de la Ecuator la Polul Nord; din 1799, bara de platină Mètre des Archives — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.