Cercul în clasa a VII-a: unghiul înscris, coarde și tangente, poligoane regulate, lungimea cercului și aria discului

De bază

Din clasa a VI-a știi elementele cercului și unghiul la centru, care are aceeași măsură ca arcul cuprins. În clasa a VII-a apare unghiul înscris, cu vârful pe cerc: el are JUMĂTATE din măsura arcului cuprins între laturile lui.

Exemplu: $A$, $B$, $C$ sunt pe cercul de centru $O$, $C$ fiind pe arcul mare $AB$, și $m(\sphericalangle AOB)=130^\circ$. Arcul mic $AB$ are $130^\circ$, deci unghiul înscris $ACB$ are $\frac{130^\circ}{2}=65^\circ$.

Un unghi înscris într-un semicerc este drept, pentru că semicercul are $180^\circ$.

Exemplul 2: $AB$ este diametru, $C$ este pe cerc și $m(\sphericalangle ABC)=35^\circ$. Atunci $m(\sphericalangle ACB)=90^\circ$ și $m(\sphericalangle BAC)=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$.

Lungimea cercului de rază $r$ este $L=2\pi r$, iar aria discului este $A=\pi r^2$.

Exemplul 3: un cerc are raza de $5$ cm, deci lungimea $2\pi\cdot 5=10\pi$ cm. Un alt cerc are diametrul de $8$ cm, deci raza de $4$ cm și aria discului $\pi\cdot 4^2=16\pi$ cm$^2$.

Un arc de $n^\circ$ este a $\frac{n}{360}$-a parte din cerc, deci are lungimea $\frac{2\pi R\cdot n}{360}$. La fel, sectorul de disc cuprins într-un unghi la centru de $n^\circ$ are aria $\frac{\pi R^2\cdot n}{360}$.

Exemplul 4: în cercul de rază $6$ cm, arcul de $60^\circ$ are lungimea $\frac{2\pi\cdot 6\cdot 60}{360}=2\pi$ cm, iar sectorul corespunzător are aria $\frac{\pi\cdot 36\cdot 60}{360}=6\pi$ cm$^2$ — a șasea parte din aria discului, $36\pi$ cm$^2$.

Mediu

Proprietățile coardelor: arce congruente au coarde congruente și invers; diametrul perpendicular pe o coardă o împarte în două jumătăți egale (și îi înjumătățește arcul); arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente; coardele egal depărtate de centru sunt congruente.

Exemplu: în cercul de rază $13$ cm, coarda $AB$ are $24$ cm, iar $M$ este mijlocul ei. Atunci $OM\perp AB$, $AM=12$ cm, iar distanța de la $O$ la coardă este $OM=\sqrt{13^2-12^2}=5$ cm.

Tangente dintr-un punct exterior: din $P$ se pot duce două tangente la cerc, $PA$ și $PB$, și ele sunt egale, $PA=PB$. Raza în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.

Exemplul 2: raza este $6$ cm și $OP=10$ cm. În triunghiul dreptunghic $OAP$, $PA=\sqrt{10^2-6^2}=8$ cm, deci și $PB=8$ cm.

Poligon regulat cu $n$ laturi înscris în cerc: fiecare unghi la centru care cuprinde o latură are $\frac{360^\circ}{n}$, iar fiecare unghi al poligonului are $\frac{180^\circ\cdot(n-2)}{n}$.

Exemplul 3: la hexagonul regulat, unghiul la centru are $\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$ și unghiul poligonului $120^\circ$. La octogonul regulat, $45^\circ$ și $135^\circ$. La pătrat unghiul la centru are $90^\circ$, la triunghiul echilateral $120^\circ$. Laturile poligoanelor înscrise în cercul de rază $R$: hexagonul are latura $R$, pătratul $R\sqrt{2}$, triunghiul echilateral $R\sqrt{3}$.

Construcția cu rigla și compasul: pentru hexagonul regulat se ia compasul cu deschiderea egală cu raza și se marchează pe cerc, pornind dintr-un punct, șase arce la rând. Se revine exact în punctul de plecare, pentru că fiecare triunghi $OAB$ are $OA=OB=R$ și unghiul la centru de $60^\circ$, deci este echilateral — de aici $l_6=R$. Unind vârfurile hexagonului din două în două se obține triunghiul echilateral înscris. Pătratul înscris are ca diagonale două diametre perpendiculare.

Apotema unui poligon regulat este distanța de la centru la o latură; piciorul ei este mijlocul laturii, deci se află cu Pitagora din $R$ și jumătatea laturii: $a_6=\frac{R\sqrt{3}}{2}$, $a_4=\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{l_4}{2}$, $a_3=\frac{R}{2}$.

La triunghiul echilateral cu latura $l$, centrul cercului circumscris este și centrul de greutate, deci împarte înălțimea $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$ în două treimi și o treime: $R=\frac{2}{3}h=\frac{l\sqrt{3}}{3}$ și $a=\frac{1}{3}h=\frac{l\sqrt{3}}{6}$.

Exemplul 4: în cercul de rază $6$ cm, hexagonul regulat înscris are latura $6$ cm și apotema $3\sqrt{3}$ cm, pătratul are latura $6\sqrt{2}$ cm și apotema $3\sqrt{2}$ cm, iar triunghiul echilateral are latura $6\sqrt{3}$ cm și apotema $3$ cm. Invers, triunghiul echilateral cu latura de $9$ cm are $R=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$ cm și apotema $\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm.

Avansat

Problemele grele cu cercul se deblochează aproape mereu cu o rază sau un diametru care lipsește din desen.

Ideea 1 — duci raza în punctul de tangență și razele la capetele coardei.

Exemplu: $AP$ este tangentă în $A$ la cercul de centru $O$, iar coarda $AB$ face cu tangenta un unghi $m(\sphericalangle PAB)=50^\circ$. Cum $OA\perp AP$, $m(\sphericalangle OAB)=90^\circ-50^\circ=40^\circ$. Triunghiul $AOB$ este isoscel, deci și $m(\sphericalangle OBA)=40^\circ$, iar $m(\sphericalangle AOB)=100^\circ$.

Ideea 2 — diametrul aduce un unghi drept și o linie mijlocie.

Exemplul 2: coarda $AB$ are $8$ cm într-un cerc de rază $5$ cm, $M$ este mijlocul ei, iar $C$ este diametral opus lui $A$. Întâi $OM=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm. În triunghiul $ABC$, $O$ și $M$ sunt mijloacele laturilor $AC$ și $AB$, deci $OM$ este linie mijlocie și $BC=2\cdot 3=6$ cm. Verificare: unghiul $ABC$ este înscris în semicerc, deci drept, iar $\sqrt{10^2-8^2}=6$ cm.

Ideea 3 — la două cercuri concentrice, aria coroanei circulare este diferența ariilor, iar o coardă a cercului mare tangentă la cel mic dă un triunghi dreptunghic.

Exemplul 3: cercurile concentrice au razele de $5$ cm și $3$ cm, iar coarda $AB$ a cercului mare este tangentă în $T$ la cercul mic. Cum $OT\perp AB$, $AT=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm, deci $AB=8$ cm. Aria coroanei este $\pi\cdot 5^2-\pi\cdot 3^2=16\pi$ cm$^2$ — exact $\pi\cdot AT^2$.