Teorie · C11 Geometrie · clasele VI–VII
Cercul: coarde, arce, unghiuri, tangente, poligoane regulate, lungimea cercului și aria discului
Unghiul la centru și unghiul înscris, coarde și tangente, pozițiile relative a două cercuri, poligoanele regulate cu apotema lor, lungimea cercului și aria discului, cu exemple rezolvate pe trei niveluri.
De unde vine
Oamenii au căutat de foarte mult timp legătura dintre cerc și diametrul lui. Papirusul egiptean Rhind, copiat în jurul anilor 1650–1550 î.Hr. după un text mai vechi, calculează aria unui cerc ca și cum raportul pe care îl numim azi $\pi$ ar fi $\left(\frac{16}{9}\right)^2\approx 3{,}16$. O tăbliță babiloniană din aceeași perioadă folosește, în mod implicit, valoarea $\frac{25}{8}=3{,}125$.
Arhimede din Siracuza (287–212 î.Hr.) a încadrat numărul riguros: a înscris în cerc și a circumscris cercului poligoane regulate cu $96$ de laturi și, calculându-le perimetrele, a arătat că $3\frac{10}{71}<\pi<3\frac{1}{7}$. Litera $\pi$ pentru acest raport a apărut mult mai târziu: prima folosire cunoscută este la galezul William Jones, în 1706, iar Leonhard Euler a răspândit-o prin lucrările lui din 1736 și 1748.
Faptul că un unghi înscris într-un semicerc este drept este atribuit, după Diogene Laertios, lui Thales din Milet (secolul al VI-lea î.Hr.), deși alți autori antici îl atribuiau lui Pitagora. Iar împărțirea cercului în $360$ de grade are o origine necunoscută; una dintre explicațiile propuse este sistemul de numerație în baza $60$ al babilonienilor.
La ce folosește
O roată de bicicletă cu diametrul de $70$ cm parcurge la o rotație complet lungimea cercului, $70\pi\approx 219{,}9$ cm. Contorul de bicicletă numără rotațiile: $1\,000$ de rotații înseamnă aproximativ $2\,199$ m, deci cam $2{,}2$ km.
La pizzerie, aria contează, nu diametrul. O pizza cu diametrul de $30$ cm are aria $\pi\cdot 15^2\approx 706{,}9$ cm$^2$, iar două pizza de $20$ cm au împreună $2\cdot\pi\cdot 10^2\approx 628{,}3$ cm$^2$. O singură pizza mare îți dă mai mult decât două mici, deși $30<20+20$.
Hexagonul regulat apare peste tot unde ceva trebuie să se îmbine fără goluri: fagurii albinelor, piulițele, pavelele. Latura lui este egală cu raza cercului circumscris, așa că o piuliță se strânge cu o cheie a cărei deschidere este dublul apotemei.
De bază
Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor aflate la distanța $r$ de $O$. O coardă unește două puncte ale cercului; coarda care trece prin centru se numește diametru și are $d=2r$.
Lungimea cercului este $L=2\pi r$, iar aria discului este $A=\pi r^2$.
Exemplu: un cerc are raza de $5$ cm. Lungimea lui este $2\pi\cdot 5=10\pi$ cm. Un alt cerc are diametrul de $8$ cm, deci raza de $4$ cm și aria discului $\pi\cdot 4^2=16\pi$ cm$^2$.
Unghiul la centru (cu vârful în $O$) are aceeași măsură ca arcul cuprins între laturile lui. Unghiul înscris (cu vârful pe cerc) are jumătate din măsura arcului cuprins.
Exemplul 2: $A$, $B$, $C$ sunt pe cercul de centru $O$, $C$ fiind pe arcul mare $AB$, și $m(\sphericalangle AOB)=110^\circ$. Arcul mic $AB$ are $110^\circ$, deci unghiul înscris $ACB$ are $\frac{110^\circ}{2}=55^\circ$.
Un unghi înscris într-un semicerc este drept. Dacă $AB$ este diametru, $C$ este pe cerc și $m(\sphericalangle ABC)=35^\circ$, atunci $m(\sphericalangle ACB)=90^\circ$ și $m(\sphericalangle BAC)=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$.
Mediu
Multe probleme cu cercul se termină cu Pitagora, pentru că cercul ascunde unghiuri drepte.
Tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență.
Exemplu: $PA$ este tangentă în $A$ la cercul de centru $O$ și rază $6$ cm, iar $OP=10$ cm. Triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $OP$: $PA=\sqrt{10^2-6^2}=8$ cm.
Perpendiculara din centru pe o coardă o împarte în două jumătăți egale.
Exemplul 2: în cercul de rază $13$ cm, coarda $AB$ are $24$ cm, iar $M$ este mijlocul ei. Atunci $OM\perp AB$, $AM=12$ cm, iar distanța de la $O$ la coardă este $OM=\sqrt{13^2-12^2}=5$ cm.
Poligoanele regulate înscrise într-un cerc de rază $R$: latura hexagonului regulat este $R$, a pătratului $R\sqrt{2}$, a triunghiului echilateral $R\sqrt{3}$. Apotema este distanța de la centru la o latură.
Exemplul 3: hexagonul regulat înscris într-un cerc de rază $6$ cm are latura $6$ cm și perimetrul $36$ cm. Este format din șase triunghiuri echilaterale de latură $6$ cm, deci apotema este înălțimea unuia, $\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm, iar aria este $6\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4}=54\sqrt{3}$ cm$^2$.
Pozițiile a două cercuri se citesc din distanța $d$ dintre centre: cu razele de $5$ cm și $3$ cm și $d=8$ cm $=5+3$, cercurile sunt tangente exterior.
Avansat
Problemele grele cu cercul se deblochează aproape mereu desenând în minte o rază sau un diametru care lipsește din figură.
Ideea 1 — duci razele. Două raze către capetele unei coarde formează un triunghi isoscel; o rază către punctul de tangență formează un unghi drept.
Exemplu: $AP$ este tangentă în $A$ la cercul de centru $O$, iar coarda $AB$ face cu tangenta un unghi $m(\sphericalangle PAB)=50^\circ$. Cum $OA\perp AP$, $m(\sphericalangle OAB)=90^\circ-50^\circ=40^\circ$. Verificare pe altă cale: unghiul dintre tangentă și coardă are jumătate din arcul cuprins, deci $m(\sphericalangle AOB)=100^\circ$, iar în triunghiul isoscel $AOB$ fiecare unghi de la bază are $\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$.
Ideea 2 — diametrul aduce un unghi drept și o linie mijlocie. Dacă $C$ este diametral opus lui $A$, unghiul $ABC$ este înscris în semicerc, iar $O$ este mijlocul lui $AC$.
Exemplul 2: coarda $AB$ are $8$ cm într-un cerc de rază $5$ cm, $M$ este mijlocul ei, iar $C$ este diametral opus lui $A$. Întâi $OM=\sqrt{5^2-4^2}=3$ cm. În triunghiul $ABC$, $O$ și $M$ sunt mijloacele laturilor $AC$ și $AB$, deci $OM$ este linie mijlocie și $BC=2\cdot 3=6$ cm. Verificare: $AC=10$ cm este diametrul, iar $\sqrt{10^2-8^2}=6$ cm, pentru că unghiul $B$ este drept.
Ideea 3 — dintr-un punct exterior, cele două tangente la cerc sunt egale, iar $PO$ este bisectoarea unghiului dintre ele.
Greșeli frecvente
Lungimea cercului calculată cu $\pi r$ sau cu diametrul pus în locul razei: $L=2\pi r$. Pentru $r=5$ cm, $L=10\pi$ cm, nu $5\pi$ și nici $20\pi$.
Confuzia dintre lungime și arie: $2\pi r$ este lungimea cercului, $\pi r^2$ este aria discului. Aria are unitatea la pătrat, cm$^2$.
Diametrul folosit drept rază în formula ariei: dacă diametrul este $8$ cm, raza este $4$ cm și aria $16\pi$ cm$^2$, nu $64\pi$ cm$^2$.
Unghiul înscris luat egal cu unghiul la centru, sau suplementul lui: unghiul înscris are JUMĂTATE din arcul cuprins. La un unghi la centru de $110^\circ$, unghiul înscris este $55^\circ$, nu $110^\circ$ și nici $70^\circ$. Verifică și pe ce arc este vârful: pe arcul mic răspunsul ar fi $125^\circ$.
Lungimi scăzute sau adunate direct într-un triunghi dreptunghic: cu raza $6$ și $OP=10$, tangenta nu este $10-6=4$, ci $\sqrt{100-36}=8$. Raza este catetă, iar $OP$ este ipotenuza.
La coardă se lucrează cu JUMĂTATEA ei: cu coarda de $24$ cm, cateta din triunghiul $OMA$ este $12$ cm.
Surse pentru partea istorică
- Papirusul Rhind, copiat de scribul Ahmes, este datat în jurul anului 1550 î.Hr. (anul 33 al regelui Apophis) — en.wikipedia.org
- Papirusul Rhind, datat în jurul anului 1650 î.Hr. (copiat după un text mai vechi), aproximează π prin (16/9)² ≈ 3,16; o tăbliță babiloniană folosește implicit 25/8 — en.wikipedia.org
- Arhimede (287–212 î.Hr.), cu poligoane de 96 de laturi, a arătat că π este între 3 10/71 și 3 1/7 — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Litera π folosită prima dată de William Jones în 1706, răspândită de Euler (1736 și 1748) — en.wikipedia.org
- Unghiul înscris în semicerc atribuit lui Thales după Diogene Laertios, alții îl atribuiau lui Pitagora — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Originea împărțirii cercului în 360 de grade este necunoscută; o ipoteză este sistemul sexagesimal babilonian — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.