Teorie · C11 Geometrie · clasa a VI-a
Cercul în clasa a VI-a: elemente, unghiul la centru, pozițiile unei drepte și a două cercuri
Ce înveți în clasa a VI-a despre cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc, unghiul la centru și măsura arcului, pozițiile unei drepte față de un cerc și pozițiile relative a două cercuri, cu exemple rezolvate pe trei niveluri.
De unde vine
Definiția cercului pe care o înveți este practic cea din „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.): cercul este o figură pentru care toate segmentele duse dintr-un punct din interior, centrul, până la linia care o mărginește sunt egale. Tot Euclid definește diametrul ca segmentul care trece prin centru și are capetele pe cerc și observă că el împarte cercul în două părți egale. Printre regulile de la care pornește toată geometria lui se află și aceasta: se poate construi un cerc cu orice centru și orice rază — exact ce faci cu compasul.
Faptul că diametrul împarte cercul în două părți egale este atribuit de Proclus, citându-l pe Eudemos din Rodos, lui Thales din Milet, unul dintre primii matematicieni greci cunoscuți. Istoricii se îndoiesc însă de multe dintre aceste atribuiri.
Măsurarea unghiurilor în grade, cu cercul întreg de $360^\circ$, are o origine necunoscută. Una dintre explicațiile propuse este că babilonienii împărțeau unghiul triunghiului echilateral în $60$ de părți, după sistemul lor de numerație în baza $60$; alta, că soarele pare să înainteze pe cer cam un grad pe zi.
La ce folosește
Cadranul unui ceas este un cerc împărțit în $12$ părți egale, deci între două numere vecine unghiul la centru are $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$. La ora $3$ fix, acele formează un unghi de $3\cdot 30^\circ=90^\circ$.
O roată are toate spițele egale pentru că toate sunt raze ale aceluiași cerc. O roată de bicicletă cu raza de $35$ cm are diametrul de $70$ cm.
Un releu de telefonie acoperă, aproximativ, un disc în jurul lui. O șosea care trece la o distanță mai mică decât raza de acoperire taie discul (dreaptă secantă) și are semnal pe o porțiune; una care trece mai departe decât raza (dreaptă exterioară) nu are semnal deloc.
De bază
Cercul de centru $O$ și rază $r$ este mulțimea punctelor aflate la distanța $r$ de $O$. Se construiește cu compasul: vârful în $O$, deschiderea egală cu $r$.
Elementele cercului: raza unește centrul cu un punct al cercului; coarda unește două puncte ale cercului; diametrul este coarda care trece prin centru și are $d=2r$; arcul este porțiunea de cerc dintre două puncte ale lui.
Exemplu: un cerc are raza de $4$ cm. Diametrul lui are $2\cdot 4=8$ cm, și este cea mai lungă coardă a cercului.
Unghiul la centru are vârful în centrul cercului. Măsura arcului mic cuprins între laturile lui este egală cu măsura unghiului la centru; arcul mare are restul până la $360^\circ$.
Exemplul 2: $A$ și $B$ sunt pe cercul de centru $O$, iar $m(\sphericalangle AOB)=70^\circ$. Arcul mic $AB$ are $70^\circ$, iar arcul mare $AB$ are $360^\circ-70^\circ=290^\circ$. Un diametru împarte cercul în două semicercuri de câte $180^\circ$.
Poziția unui punct $P$ față de cerc se citește din $OP$: dacă $OP<r$, punctul este în interior; dacă $OP=r$, este pe cerc; dacă $OP>r$, este în exterior.
Mediu
Poziția unei drepte față de un cerc se citește din distanța $d$ de la centru la dreaptă (lungimea perpendicularei din $O$ pe dreaptă). Dacă $d>r$, dreapta este exterioară (nu are puncte comune cu cercul); dacă $d=r$, este tangentă (un singur punct comun); dacă $d<r$, este secantă (două puncte comune).
Exemplu: cercul are raza de $5$ cm. O dreaptă aflată la $3$ cm de centru este secantă, una la $5$ cm este tangentă, iar una la $7$ cm este exterioară.
Pozițiile a două cercuri, cu razele $r_1>r_2$, se citesc din distanța $d$ dintre centre, comparată cu suma și cu diferența razelor. Dacă $d>r_1+r_2$, cercurile sunt exterioare; dacă $d=r_1+r_2$, tangente exterior; dacă $r_1-r_2<d<r_1+r_2$, secante; dacă $d=r_1-r_2$, tangente interior; dacă $d<r_1-r_2$, unul este în interiorul celuilalt (iar dacă $d=0$, sunt concentrice).
Exemplul 2: razele sunt $5$ cm și $3$ cm, deci suma este $8$ cm și diferența $2$ cm. Pentru $d=10$ cm cercurile sunt exterioare, pentru $d=8$ cm tangente exterior, pentru $d=4$ cm secante, pentru $d=2$ cm tangente interior, iar pentru $d=1$ cm cercul mic este în interiorul celui mare.
Două raze duse la capetele unei coarde formează un triunghi isoscel, pentru că $OA=OB=r$.
Exemplul 3: în cercul de rază $6$ cm, $m(\sphericalangle AOB)=60^\circ$. Triunghiul $AOB$ este isoscel cu unghiul din vârf de $60^\circ$, deci unghiurile de la bază au $\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$: triunghiul este echilateral, iar coarda $AB$ are $6$ cm, cât raza.
Avansat
Problemele grele cu cercul se deblochează aproape mereu cu un segment care lipsește din desen: o rază.
Ideea 1 — razele duse la capetele unei coarde dau un triunghi isoscel, iar cu suma unghiurilor afli tot.
Exemplu: $m(\sphericalangle AOB)=100^\circ$. În triunghiul isoscel $AOB$, $m(\sphericalangle OAB)=m(\sphericalangle OBA)=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$.
Ideea 2 — raza dusă în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă. Motivul: dreapta este tangentă când distanța de la centru la ea este egală cu raza, iar distanța se măsoară pe perpendiculară — deci perpendiculara din $O$ cade exact în punctul de tangență $A$.
Exemplul 2: dreapta $PA$ este tangentă în $A$ la cercul de centru $O$ și rază $6$ cm, iar $OP=10$ cm. Triunghiul $OAP$ este dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $OP$, deci $PA^2=100-36=64$ și $PA=8$ cm. Dacă în schimb raza ar fi $5$ cm și $OP=10$ cm, cateta $OA$ ar fi jumătate din ipotenuză, deci $m(\sphericalangle APO)=30^\circ$ și $m(\sphericalangle AOP)=60^\circ$.
Ideea 3 — la două cercuri tangente, centrele și punctul de tangență sunt coliniare, deci distanța dintre centre este suma razelor (tangente exterior) sau diferența lor (tangente interior).
Exemplul 3: trei cercuri cu razele de $2$ cm, $3$ cm și $4$ cm sunt tangente exterior două câte două. Centrele lor formează un triunghi cu laturile $2+3=5$ cm, $3+4=7$ cm și $2+4=6$ cm, deci cu perimetrul de $18$ cm.
Greșeli frecvente
Raza confundată cu diametrul: diametrul este DUBLUL razei. La un cerc cu diametrul de $8$ cm, raza este $4$ cm.
Orice coardă numită diametru: doar coarda care trece prin centru este diametru.
Arcul mare uitat: între două puncte ale cercului sunt două arce. La un unghi la centru de $70^\circ$, arcul mic are $70^\circ$, dar arcul mare are $290^\circ$.
Distanța de la centru la dreaptă măsurată oblic: distanța se măsoară pe perpendiculară, nu pe orice segment dus din $O$ până la dreaptă.
Comparații inversate: $d<r$ înseamnă dreaptă SECANTĂ (dreapta trece prin interiorul cercului), nu exterioară.
La două cercuri, distanța dintre centre comparată doar cu suma razelor: pentru poziția interioară trebuie comparată și cu diferența lor.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, cartea I: definițiile 15–18 (cerc, centru, diametru care împarte cercul în două, semicerc) și postulatul 3 (construcția unui cerc cu orice centru și rază) — mathcs.clarku.edu
- Proclus, citându-l pe Eudemos din Rodos, îi atribuie lui Thales faptul că diametrul împarte cercul în două; atribuirile sunt puse la îndoială — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Originea împărțirii cercului în 360 de grade este necunoscută; ipotezele babiloniană (baza 60) și a mersului anual al Soarelui — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.