Formule — clasa a VI-a

Ce trebuie să știi pe de rost, pe clase. Fiecare clasă are doar ce se învață nou în acel an; la Evaluarea Națională intră toate. Lângă fiecare temă, un link duce la teoria ei, cu exemple.

Numere și algebră

Mulțimiteorie

Reuniunea, intersecția, diferența: $\displaystyle A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\}$$\displaystyle A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \in B\}$$\displaystyle A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \notin B\}$; „Sau” cere reuniunea, „și” cere intersecția, „dar nu” cere diferența.
Incluziunea: $\displaystyle A \subseteq B, \qquad \emptyset \subseteq A$; $A \subseteq B$: orice element al lui $A$ este și în $B$. Mulțimea vidă, $\emptyset$, este inclusă în orice mulțime. $\operatorname{card} A$ este numărul de elemente al mulțimii finite $A$.

Divizibilitateteorie

Proprietăți ale divizibilității: $\displaystyle a \mid b \text{ și } b \mid c \Rightarrow a \mid c$$\displaystyle a \mid b \text{ și } a \mid c \Rightarrow a \mid (b + c)$; La fel $a \mid (b - c)$, când $b \geq c$.
C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. din descompunere: $\displaystyle 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 18 = 2 \cdot 3^2$$\displaystyle (12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$$\displaystyle [12, 18] = 2^2 \cdot 3^2 = 36$; Pentru $(a, b)$ iei factorii comuni, fiecare la puterea cea mai mică. Pentru $[a, b]$ iei toți factorii, fiecare la puterea cea mai mare.
Legătura dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.: $\displaystyle (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$; Pentru orice două numere nenule.
Numărul divizorilor: $\displaystyle n = p^a \cdot q^b \cdot r^c \Rightarrow$$\displaystyle (a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) \text{ divizori}$; $p$, $q$, $r$ sunt numere prime diferite. $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ are $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ de divizori.
Numere prime între ele: $\displaystyle (a, b) = 1$$\displaystyle a \mid b \cdot c \text{ și } (a, b) = 1 \Rightarrow a \mid c$; De aceea $6 \mid n$ exact când $2 \mid n$ și $3 \mid n$. Nu trebuie să fie numere prime: $(8, 15) = 1$.

Numere întregiteorie

Regula semnelor: $\displaystyle (+) \cdot (+) = (+), \quad (-) \cdot (-) = (+)$$\displaystyle (+) \cdot (-) = (-), \quad (-) \cdot (+) = (-)$; La fel la împărțire: $(-35) : 7 = -5$, $(-35) : (-7) = 5$.
Adunarea și scăderea: $\displaystyle a + (-b) = a - b$$\displaystyle a - (-b) = a + b$; Pe axă, $a + b$ înseamnă să pleci din $a$ și să mergi $|b|$ pași: la dreapta dacă $b > 0$, la stânga dacă $b < 0$. $3 - 5 = -2$.
Puterea unui număr negativ: $\displaystyle (-a)^{n} = a^n, \text{ dacă } n \text{ este par}$$\displaystyle (-a)^{n} = -a^n, \text{ dacă } n \text{ este impar}$; Regulile de calcul cu puteri din clasa a V-a rămân aceleași.

Modul, intervale de numere realeteorie

Modulul: $\displaystyle |a| \geq 0, \qquad |a| = |-a|$; Modulul este distanța de la $a$ la $0$ pe axă: $|5| = 5$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$. Dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic.
Ecuația cu modul: $\displaystyle |x| = a \iff x \in \{-a, a\}$; Pentru $a > 0$. $|x| = 0$ dă $x = 0$, iar $|x| = -3$ nu are soluții: o distanță nu este negativă.

Numere raționaleteorie

Mulțimile de numere: $\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$; Un număr rațional se scrie $\frac{a}{b}$, cu $a$, $b$ întregi și $b \neq 0$.
Puterea cu exponent negativ: $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$; Pentru $a \neq 0$, $b \neq 0$. Exponentul negativ răstoarnă fracția: $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

Ecuații de gradul Iteorie

Ecuații cu operația inversă: $\displaystyle x + a = b \Rightarrow x = b - a$$\displaystyle x \cdot a = b \Rightarrow x = b : a \ (a \neq 0)$$\displaystyle x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a$
Ecuația a · x + b = c: $\displaystyle a \cdot x + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}$; Pentru $a \neq 0$: întâi scazi $b$ din ambii membri, apoi împarți la $a$.

Inecuații de forma ax + b ≥ 0teorie

Regulile inecuațiilor: $\displaystyle a < b \Rightarrow a + c < b + c$$\displaystyle a < b,\ c > 0 \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c$$\displaystyle a < b,\ c < 0 \Rightarrow a \cdot c > b \cdot c$; La înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.

Rapoarte, proporții, procente; mărimi direct și invers proporționale; regula de trei simplăteorie

Proprietatea fundamentală a proporției: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$; Produsul extremilor ($a$, $d$) este egal cu produsul mezilor ($b$, $c$). Așa afli un termen necunoscut: $\frac{x}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{d}$.
Proporții derivate: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$; Comodă atunci când se cunoaște suma.
Șirul de rapoarte egale: $\displaystyle \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = k$$\displaystyle \Rightarrow a = m \cdot k, \quad b = n \cdot k$; Numerele $a$ și $b$ sunt direct proporționale cu $m$ și $n$.
Suma rapoartelor egale: $\displaystyle \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{a + b}{m + n}$; Comodă când se cunoaște suma: $a + b = 40$ și $\frac{a}{3} = \frac{b}{5}$ dau $\frac{40}{8} = 5$, deci $a = 15$, $b = 25$.
Numere invers proporționale: $\displaystyle a \cdot m = b \cdot n = c \cdot p$; Așa se scrie că $a$, $b$, $c$ sunt invers proporționale cu $m$, $n$, $p$. Invers proporționale cu $2$, $3$, $4$ înseamnă $2a = 3b = 4c = k$.
Scara unei hărți: $\displaystyle \text{scara } 1 : n \Rightarrow$$\displaystyle d_{\text{reală}} = d_{\text{pe hartă}} \cdot n$; La scara $1 : 50\,000$, $3$ cm pe hartă înseamnă $150\,000$ cm $= 1{,}5$ km în realitate.
Mărimi direct și invers proporționale: $\displaystyle \text{direct: } \frac{y}{x} = k \text{ constant}$$\displaystyle \text{invers: } x \cdot y = k \text{ constant}$; Mai mulți muncitori termină mai repede: produsul „muncitori · zile” rămâne același.

Geometrie

Unghiuriteorie

Unghiuri complementare și suplementare: $\displaystyle \text{complementare: } \hat{A} + \hat{B} = 90^\circ$$\displaystyle \text{suplementare: } \hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$
Unghiuri opuse la vârf și în jurul unui punct: $\displaystyle \text{opuse la vârf: congruente}$$\displaystyle \text{în jurul unui punct: } 360^\circ$; Două drepte care se taie formează patru unghiuri; două alăturate sunt suplementare.
Bisectoarea unui unghi: $\displaystyle \sphericalangle AOC \equiv \sphericalangle COB$$\displaystyle m(\sphericalangle AOC) = \frac{m(\sphericalangle AOB)}{2}$; $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$.

Paralelism și perpendicularitate în planteorie

Două paralele tăiate de o secantă: $\displaystyle \text{alterne interne: congruente}$$\displaystyle \text{corespondente: congruente}$$\displaystyle \text{interne de aceeași parte: suma } 180^\circ$; Merge și invers: dacă o astfel de pereche de unghiuri este congruentă (sau are suma 180°), dreptele sunt paralele.
Distanța de la un punct la o dreaptă: $\displaystyle d(P, d) = PA, \quad PA \perp d, \ A \in d$; Perpendiculara este cel mai scurt segment de la punct la dreaptă; orice oblică este mai lungă.

Proprietăți ale triunghiurilorteorie

Suma unghiurilor unui triunghi: $\displaystyle \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$; În triunghiul echilateral, fiecare unghi are $60^\circ$. În triunghiul dreptunghic, unghiurile ascuțite au împreună $90^\circ$.
Unghiul exterior: $\displaystyle \text{unghiul exterior din } A = \hat{B} + \hat{C}$; Unghiul exterior este suplementul unghiului interior din același vârf.
Inegalitatea triunghiului: $\displaystyle a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b$; Cea mai lungă latură este mai mică decât suma celorlalte două. $3$, $4$ și $8$ nu pot fi laturile unui triunghi: $3 + 4 < 8$.
Latura mare și unghiul mare: $\displaystyle AB > AC \iff \hat{C} > \hat{B}$; În fața unghiului mai mare stă latura mai mare, și invers. În triunghiul dreptunghic, ipotenuza este latura cea mai lungă.
Mediatoarea unui segment: $\displaystyle P \text{ pe mediatoarea lui } AB$$\displaystyle \iff PA = PB$; Mediatoarea este perpendiculara pe $AB$ prin mijlocul lui. Simetricul lui $A$ față de dreapta $d$ este $A'$ pentru care $d$ este mediatoarea lui $AA'$.
Bisectoarea unui unghi — proprietatea punctelor: $\displaystyle P \text{ pe bisectoare} \iff$$\displaystyle P \text{ egal depărtat de laturi}$
Liniile importante în triunghi: $\displaystyle \text{bisectoarele} \to I$$\displaystyle \text{mediatoarele} \to O$; Se întâlnesc într-un punct: bisectoarele în I, centrul cercului înscris; mediatoarele în O, centrul cercului circumscris. Și medianele, și înălțimile sunt concurente. Centrul cercului circumscris este în interiorul unui triunghi ascuțitunghic, pe ipotenuză la unul dreptunghic și în exteriorul unui obtuzunghic.
Triunghiul isoscel: $\displaystyle AB = AC \iff \hat{B} = \hat{C}$; Bisectoarea din vârf, mediana și înălțimea din vârf sunt pe aceeași dreaptă: axa de simetrie.

Congruența triunghiurilorteorie

Cazurile de congruență: $\displaystyle \text{LUL}, \quad \text{ULU}, \quad \text{LLL}$$\displaystyle \text{CC}, \quad \text{CU}, \quad \text{IC}, \quad \text{IU}$; L – latură, U – unghi (cel dintre laturi, la LUL; cele alăturate laturii, la ULU). Al doilea rând e pentru triunghiurile dreptunghice: C – catetă, I – ipotenuză.

Triunghiul dreptunghicteorie

Teorema lui Pitagora: $\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2$$\displaystyle AB^2 = BC^2 - AC^2$; Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$; $BC$ este ipotenuza. În clasa a VI-a lucrezi cu numere naturale: afli $BC^2$, apoi numărul al cărui pătrat este acela.
Triplete pitagoreice: $\displaystyle (3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (8, 15, 17)$; Înmulțite cu același număr rămân triplete: $(6, 8, 10)$, $(15, 20, 25)$.
Cateta opusă unghiului de 30°: $\displaystyle m(\sphericalangle B) = 30^\circ \Rightarrow AC = \frac{BC}{2}$; În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză. Și invers.
Mediana din unghiul drept: $\displaystyle AM = \frac{BC}{2}$; $AM$ este mediana din vârful unghiului drept, $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$. Și invers: dacă mediana este jumătate din latura pe care cade, unghiul este drept.

Cerculteorie

Diametrul: $\displaystyle d = 2 \cdot r$; Diametrul este coarda care trece prin centru.
Unghiul la centru: $\displaystyle m(\sphericalangle AOB) = m(\overset{\frown}{AB})$; Arcul mic are măsura unghiului la centru; arcul mare, restul până la $360^\circ$.
Poziția unui punct față de cerc: $\displaystyle OP < r: \text{ interior}$$\displaystyle OP = r: \text{ pe cerc}$$\displaystyle OP > r: \text{ exterior}$
Poziția unei drepte față de cerc: $\displaystyle d > r: \text{ exterioară}$$\displaystyle d = r: \text{ tangentă}$$\displaystyle d < r: \text{ secantă}$; $d$ este distanța de la centru la dreaptă. Tangenta are un singur punct comun cu cercul, secanta două.
Pozițiile a două cercuri: $\displaystyle d > r_1 + r_2: \text{ exterioare}$$\displaystyle d = r_1 + r_2: \text{ tangente exterior}$$\displaystyle r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2: \text{ secante}$$\displaystyle d = r_1 - r_2: \text{ tangente interior}$$\displaystyle d < r_1 - r_2: \text{ interioare}$; $d$ este distanța dintre centre, $r_1 > r_2$. Pentru $d = 0$, cercurile sunt concentrice.

Arii și perimetre ale figurilor planeteorie

Perimetrul triunghiului: $\displaystyle P = a + b + c$$\displaystyle P_{\text{isoscel}} = 2 \cdot l + b$$\displaystyle P_{\text{echilateral}} = 3 \cdot l$; La triunghiul isoscel, $l$ este latura egală și $b$ baza.

Date și probabilități

Dateteorie

Probabilitatea: $\displaystyle P = \frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$; $0 \leq P \leq 1$: $0$ pentru evenimentul imposibil, $1$ pentru cel sigur. Numerele de două cifre sunt $90$, de la $10$ la $99$.
Diagrama circulară: $\displaystyle \text{unghiul sectorului} = \frac{p}{100} \cdot 360^\circ$; $p\%$ este partea din total. Un sfert din date, $25\%$, ocupă $90^\circ$.