Teorie · B6 Algebră · clasa a VI-a
Inecuații în clasa a VI-a: inecuații cu numere întregi și probleme
Cum rezolvi o inecuație când necunoscuta este un număr întreg sau natural: ce se poate face cu ambii membri, când se schimbă sensul, cum scrii mulțimea soluțiilor și cum folosești o inecuație într-o problemă, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Semnele $<$ și $>$ apar tipărite într-o carte de algebră a englezului Thomas Harriot (1560–1621), „Artis Analyticae Praxis”, publicată în 1631, la zece ani după moartea lui. Se spune adesea că Harriot le-a inventat, dar istoricii de la MacTutor arată că le-a introdus, cel mai probabil, editorul cărții; Harriot folosea alte semne.
Numerele negative, fără de care nu există inecuațiile din clasa a VI-a, au fost acceptate greu. În China, cartea „Nouă capitole despre arta matematică”, din perioada dinastiei Han, lucra deja cu ele: bețișoarele de numărat roșii însemnau numere pozitive, cele negre numere negative. În India, pe vremea lui Brahmagupta (în jurul anului 630), numerele negative erau folosite pentru datorii.
În Europa, progresul a fost lent: în secolul al XV-lea, Nicolas Chuquet le numea „numere absurde”, iar prima tratare mulțumitoare a lor a dat-o Gerolamo Cardano, în cartea „Ars Magna”, din 1545.
La ce folosește
Temperatura. Afară sunt $-3^\circ$C și se răcește cu $2$ grade pe oră. După câte ore întregi scade temperatura sub $-10^\circ$C? Condiția este $-3-2x<-10$. După $3$ ore sunt $-9^\circ$C, încă nu sub $-10$; după $4$ ore sunt $-11^\circ$C. Răspunsul: după $4$ ore.
Economiile. Ai $20$ de lei și pui deoparte $15$ lei pe săptămână. După câte săptămâni ai cel puțin $100$ de lei? Condiția este $20+15x\ge 100$. După $5$ săptămâni ai $95$ de lei, după $6$ ai $110$. Răspunsul: $6$ săptămâni. „Cel puțin”, „cel mult”, „mai puțin de” sunt semnul că problema ascunde o inecuație.
De bază
O inecuație seamănă cu o ecuație, dar în loc de $=$ are unul dintre semnele $<$ (mai mic), $>$ (mai mare), $\le$ (mai mic sau egal), $\ge$ (mai mare sau egal). În clasa a VI-a necunoscuta este un număr întreg sau natural, iar soluția nu mai este un singur număr, ci o mulțime de numere.
Reguli: poți aduna sau scădea același număr din ambii membri — de aici, un termen trece în celălalt membru cu semnul schimbat. Poți înmulți sau împărți ambii membri cu un număr POZITIV fără să schimbi sensul. Dacă înmulțești sau împarți cu un număr NEGATIV, sensul se schimbă: $<$ devine $>$, $\le$ devine $\ge$.
Exemplu: $x+5<3$, cu $x\in\mathbb{Z}$. Scădem $5$: $x<-2$. Soluțiile sunt numerele întregi mai mici decât $-2$: $\{\dots,-5,-4,-3\}$. Cea mai mare soluție este $-3$, iar $-2$ nu este soluție, pentru că $-2+5=3$, și $3<3$ este fals.
Exemplul 2: $x-4\le 2$, cu $x\in\mathbb{N}$. Adunăm $4$: $x\le 6$. Soluțiile sunt $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ — șapte numere; nu uita că $0$ este număr natural.
Exemplul 3: $-3x\ge 12$, cu $x\in\mathbb{Z}$. Împărțim la $-3$, număr negativ, deci schimbăm sensul: $x\le -4$. Verificare: pentru $x=-4$, $-3\cdot(-4)=12\ge 12$, adevărat; pentru $x=-3$, $-3\cdot(-3)=9$, iar $9\ge 12$ este fals.
Mediu
De obicei inecuația are necunoscuta în ambii membri, sau paranteze. Pașii: desfaci parantezele, aduci termenii cu $x$ în stânga și numerele în dreapta, apoi împarți la coeficientul lui $x$ — atent la semnul lui.
Exemplu: $3x+4>5x-8$, cu $x\in\mathbb{N}$. Trecem termenii: $3x-5x>-8-4$, adică $-2x>-12$. Împărțim la $-2$ și schimbăm sensul: $x<6$. Soluțiile naturale sunt $\{0,1,2,3,4,5\}$.
Exemplul 2: $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid -4(x-2)\ge x-12\}$ și $B=\{x\in\mathbb{Z}\mid x+3>1\}$. Pentru $A$: $-4x+8\ge x-12$, deci $-5x\ge -20$ și, împărțind la $-5$, $x\le 4$. Pentru $B$: $x>-2$. Intersecția conține numerele întregi care verifică ambele condiții: $A\cap B=\{-1,0,1,2,3,4\}$. Verificare pentru $x=4$: în stânga $-4\cdot 2=-8$, în dreapta $4-12=-8$, iar $-8\ge -8$ este adevărat.
Un sfat: după ce ai găsit soluția, încearcă un număr din ea și unul de lângă ea, din afara ei. Dacă primul verifică inecuația și al doilea nu, ai lucrat corect.
Avansat
Ideea 1 — împărțirea nu se face exact. Cu numere întregi, nu e nevoie de fracții: cauți cel mai mare (sau cel mai mic) număr întreg care încă verifică inecuația.
Exemplu: $4x-5\le 2x+8$, cu $x\in\mathbb{N}$. Obținem $2x\le 13$. Cum $2\cdot 6=12\le 13$, dar $2\cdot 7=14>13$, soluțiile sunt $\{0,1,2,3,4,5,6\}$.
Ideea 2 — o dublă inegalitate se rezolvă dintr-odată, făcând aceeași operație în toate cele trei părți.
Exemplul 2: $-3<2x+1\le 7$, cu $x\in\mathbb{Z}$. Scădem $1$ peste tot: $-4<2x\le 6$. Împărțim la $2$: $-2<x\le 3$. Soluțiile sunt $\{-1,0,1,2,3\}$ — $-2$ nu intră, pentru că inegalitatea din stânga este strictă.
Ideea 3 — într-o problemă, alegi necunoscuta, scrii condiția ca inecuație și citești atent dacă răspunsul trebuie să fie natural.
Exemplul 3: Ana are $50$ de lei. Cumpără un caiet de $8$ lei și vrea cât mai multe pixuri de câte $6$ lei. Condiția este $8+6x\le 50$, deci $6x\le 42$ și $x\le 7$. Poate cumpăra cel mult $7$ pixuri și plătește exact $50$ de lei.
Ideea 4 — modulul este distanța până la $0$ pe axă. Inecuația $|x|\le 2$, cu $x\in\mathbb{Z}$, cere numerele aflate la cel mult $2$ unități de $0$: $\{-2,-1,0,1,2\}$.
Greșeli frecvente
Împărțirea la un număr negativ fără schimbarea sensului: din $-2x>6$ rezultă $x<-3$, nu $x>-3$.
Schimbarea sensului când nu trebuie: sensul se schimbă doar la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, nu atunci când membrul drept este negativ. Din $5x\le -10$ rezultă $x\le -2$.
Compararea greșită a numerelor negative: $-5<-2$, pentru că $-5$ este mai la stânga pe axă. „Cea mai mare soluție mai mică decât $-2$” este $-3$, nu $-1$.
Capătul inclus sau nu: la $<$ și $>$ numărul de la capăt NU este soluție, la $\le$ și $\ge$ este. Verifică-l separat.
Rotunjirea în direcția greșită: din $3x<10$, cu $x$ natural, soluțiile sunt $0,1,2,3$, pentru că $3\cdot 4=12$ depășește deja $10$.
Uitarea lui $0$ la numere naturale și uitarea numerelor negative când $x\in\mathbb{Z}$.
Surse pentru partea istorică
- Thomas Harriot (1560–1621), Artis Analyticae Praxis publicată în 1631, la zece ani după moartea lui; semnele < și > au fost introduse de editorul cărții, Harriot folosea alte semne — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Cele nouă capitole (dinastia Han): bețișoare roșii pozitive, negre negative; Brahmagupta (c. 630) și datoriile; Chuquet le numea numere absurde; Cardano, Ars Magna (1545), prima tratare mulțumitoare în Europa — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.