Inecuații în clasa a VIII-a: intervale de numere reale și inecuații ax + b ≥ 0

De bază

Din clasa a VI-a știi să rezolvi inecuații cu numere întregi. În clasa a VIII-a necunoscuta este un număr real, deci soluțiile umplu o bucată întreagă din axă — un interval.

Intervalele: $[a,b]$ conține numerele dintre $a$ și $b$, cu tot cu capete; $(a,b)$ le conține fără capete; $[a,b)$ include $a$, dar nu $b$. Un interval nemărginit se scrie cu $+\infty$ sau $-\infty$, iar acolo paranteza este mereu rotundă: $[3,+\infty)$ înseamnă $x\ge 3$, $(-\infty,2)$ înseamnă $x<2$. Pe axă, un capăt inclus se desenează cu punct plin, unul exclus cu punct gol.

Regulile sunt cele din clasa a VI-a: termenii trec dintr-un membru în altul cu semnul schimbat, iar la împărțirea cu un număr negativ sensul se schimbă.

Exemplu: $5x-10\ge 0$. Obținem $5x\ge 10$, deci $x\ge 2$. Mulțimea soluțiilor este $[2,+\infty)$.

Exemplul 2: $-3x+9>0$. Obținem $-3x>-9$ și, împărțind la $-3$, $x<3$. Mulțimea soluțiilor este $(-\infty,3)$.

Cazul $a=0$: dacă termenii cu $x$ se reduc, rămâne o inegalitate de forma $0\cdot x\ge c$, fără necunoscută. Nu poți împărți la $0$; o citești direct. Dacă este adevărată, orice număr real este soluție ($S=\mathbb{R}$); dacă este falsă, nu există nicio soluție ($S=\varnothing$).

Exemplul 3: $2(x+1)\ge 2x-5$ devine $2x+2-2x\ge -5$, adică $0\cdot x\ge -7$, adevărat pentru orice $x$: $S=\mathbb{R}$. În schimb, $3x-1>3x+4$ devine $0\cdot x>5$, fals pentru orice $x$: $S=\varnothing$.

Mediu

Intersecția a două intervale conține numerele aflate în AMBELE, reuniunea pe cele aflate în CEL PUȚIN UNUL. Cel mai sigur le afli desenând intervalele unul sub altul pe axă.

Exemplu: $A=[-1,4)$ și $B=(2,6]$. Partea comună începe după $2$ și se oprește înainte de $4$: $A\cap B=(2,4)$. Împreună, ele acoperă tot de la $-1$ la $6$: $A\cup B=[-1,6]$.

Exemplul 2: $\frac{x+1}{3}-\frac{x-2}{2}\ge 1$. Înmulțim toată inecuația cu $6$, număr pozitiv: $2(x+1)-3(x-2)\ge 6$, adică $2x+2-3x+6\ge 6$, deci $-x+8\ge 6$, $-x\ge -2$ și $x\le 2$. Soluția: $(-\infty,2]$.

Exemplul 3: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x-3<5\}$ și $B=\{x\in\mathbb{R}\mid 3-x\le 5\}$. Din $2x<8$ rezultă $A=(-\infty,4)$. Din $-x\le 2$ rezultă $x\ge -2$, deci $B=[-2,+\infty)$. Atunci $A\cap B=[-2,4)$, iar numerele întregi din el sunt $-2,-1,0,1,2,3$ — șase numere.

Avansat

Ideea 1 — coeficientul lui $x$ poate fi un număr irațional. Înainte să împarți, stabilește-i semnul.

Exemplu: $(1-\sqrt{2})x>1-\sqrt{2}$. Cum $\sqrt{2}>1$, numărul $1-\sqrt{2}$ este negativ, deci la împărțire sensul se schimbă: $x<1$. Soluția este $(-\infty,1)$, nu $(1,+\infty)$.

Ideea 2 — o inecuație care pare de gradul al doilea poate fi de gradul întâi. Desfă pătratele cu formulele de calcul prescurtat: termenii cu $x^2$ se reduc.

Exemplul 2: $(x-2)^2-x(x+1)<9$. Avem $x^2-4x+4-x^2-x=-5x+4$, deci $-5x+4<9$, $-5x<5$ și $x>-1$. Soluția: $(-1,+\infty)$.

Ideea 3 — dubla inegalitate, cu aceeași operație în toate cele trei părți.

Exemplul 3: $-1\le\frac{3x-1}{2}<4$. Înmulțim cu $2$: $-2\le 3x-1<8$. Adunăm $1$: $-1\le 3x<9$. Împărțim la $3$: $-\frac{1}{3}\le x<3$. Soluția este $\left[-\frac{1}{3},3\right)$, iar numerele întregi din ea sunt $0$, $1$ și $2$ — $-\frac{1}{3}$ este mai mare decât $-1$, deci $-1$ nu intră.

Ideea 4 — un parametru: pentru ce numere reale $a$ este $x=3$ soluție a inecuației $ax+2\ge 8$? Înlocuim: $3a+2\ge 8$, deci $a\ge 2$, adică $a\in[2,+\infty)$.