Inecuații de forma ax + b ≥ 0: reguli, intervale și probleme

De bază

O inecuație seamănă cu o ecuație, dar în loc de $=$ are unul dintre semnele $<$, $>$, $\le$, $\ge$. Soluțiile ei nu mai sunt de obicei un singur număr, ci o mulțime întreagă de numere, pe care o scriem ca interval.

Regulile de rezolvare sunt aceleași ca la ecuații, cu o singură excepție:

• un termen trece în celălalt membru cu semnul schimbat;

• dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr POZITIV, sensul inegalității rămâne același;

• dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu un număr NEGATIV, sensul se schimbă: $<$ devine $>$, iar $\le$ devine $\ge$.

Scrierea ca interval: la $\le$ și $\ge$ capătul face parte din soluție și se pune paranteză dreaptă, $[\,]$; la $<$ și $>$ capătul nu face parte și se pune paranteză rotundă, $(\,)$. La $+\infty$ și $-\infty$ paranteza este mereu rotundă.

Exemplu: $4x-12\ge 0$. Trecem $-12$ în dreapta: $4x\ge 12$. Împărțim la $4$, număr pozitiv, deci sensul rămâne: $x\ge 3$. Mulțimea soluțiilor este $[3,+\infty)$; $3$ este inclus, pentru că $4\cdot 3-12=0\ge 0$.

Exemplul 2: $-2x+8>0$. Obținem $-2x>-8$. Împărțim la $-2$, număr negativ, deci sensul se schimbă: $x<4$. Mulțimea soluțiilor este $(-\infty,4)$.

Mediu

La examen, inecuația nu vine direct sub forma $ax+b\ge 0$: are paranteze, fracții, sau se cer doar soluțiile naturale ori întregi. Pașii sunt mereu aceiași: desfaci parantezele, elimini numitorii, aduci termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, împarți la coeficientul lui $x$ — atent la semnul lui.

Exemplu: $3(x-2)+1\le 5x-9$. Desfacem paranteza: $3x-6+1\le 5x-9$, adică $3x-5\le 5x-9$. Trecem termenii: $3x-5x\le -9+5$, deci $-2x\le -4$. Împărțim la $-2$ și schimbăm sensul: $x\ge 2$. Soluția: $[2,+\infty)$. Verificare pentru $x=2$: în stânga $1$, în dreapta $1$, iar $1\le 1$ este adevărat.

Exemplul 2: cel mai mare număr natural care verifică $\frac{x-1}{2}-\frac{x+1}{3}<1$. Înmulțim toată inecuația cu $6$, număr pozitiv, inclusiv membrul drept: $3(x-1)-2(x+1)<6$, adică $3x-3-2x-2<6$, deci $x<11$. Cel mai mare număr natural mai mic decât $11$ este $10$. Numerele naturale care verifică inecuația sunt $0,1,\dots,10$, adică $11$ numere — nu uita că $0$ este număr natural.

Exemplul 3: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x-1\le 7\}$ și $B=\{x\in\mathbb{R}\mid 5-x<3\}$. Din $2x\le 8$ rezultă $A=(-\infty,4]$. Din $-x<-2$ rezultă $x>2$, deci $B=(2,+\infty)$. Intersecția este $A\cap B=(2,4]$, iar numerele întregi din ea sunt $3$ și $4$.

Avansat

Ideea 1 — o inecuație care pare de gradul al doilea poate fi, de fapt, de gradul întâi. Când apar pătrate de binoame, desfă-le: termenii cu $x^2$ se pot reduce.

Exemplu: $(x+3)^2-(x-1)^2\ge 24$. Avem $(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)=8x+8$, deci inecuația devine $8x+8\ge 24$, adică $8x\ge 16$ și $x\ge 2$. Soluția: $[2,+\infty)$. Atenție la paranteza din fața lui $(x-1)^2$: minusul schimbă semnul fiecărui termen.

Ideea 2 — o dublă inegalitate se rezolvă dintr-odată, făcând aceeași operație în toate cele trei părți.

Exemplul 2: $-3\le 2x+1<7$. Scădem $1$ peste tot: $-4\le 2x<6$. Împărțim la $2$: $-2\le x<3$. Soluția este $[-2,3)$, iar numerele întregi din ea sunt $-2,-1,0,1,2$ — cinci numere.

Ideea 3 — într-o problemă cu text, egalitatea îți arată pragul, iar inecuația îți spune de care parte a lui te afli. Apoi citești atent dacă răspunsul trebuie să fie număr natural.

Exemplul 3: firma A de taxi cere $40$ de lei la pornire și $3$ lei pe kilometru, firma B cere $5$ lei pe kilometru, fără taxă de pornire. De la câți kilometri întregi este A strict mai ieftină? Condiția este $40+3x<5x$, adică $40<2x$, deci $x>20$. La $20$ km ambele costă $100$ de lei, deci răspunsul este $21$ km: A cere $103$ lei, B cere $105$ lei.

Ideea 4 — când inecuația are un parametru, pui condiția pe capătul intervalului. De exemplu, inecuația $2x-a\ge 0$ are soluția $x\ge\frac{a}{2}$; ca mulțimea soluțiilor să fie $[3,+\infty)$ trebuie $\frac{a}{2}=3$, deci $a=6$.