Teorie · A3 Mulțimi. Numere · clasa a VI-a
Divizibilitatea în clasa a VI-a: descompunerea în factori primi, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c., proprietăți
Descompunerea unui număr în produs de puteri de numere prime, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. calculate din descompunere, numere prime între ele și proprietățile divizibilității din clasa a VI-a, cu exemple rezolvate de la regulă la problemele care cer o idee.
De unde vine
Faptul că orice număr se scrie ca produs de numere prime are rădăcini în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.). Cartea a VII-a arată că orice număr compus are un divizor prim (propoziția 31) și că, dacă un număr prim divide un produs, divide unul dintre factori (propoziția 30, numită azi „lema lui Euclid”). Euclid nu a enunțat însă teorema completă.
Primul enunț complet al teoremei — că descompunerea există și este unică — îi este atribuit matematicianului Kamal al-Din al-Farisi, din lumea islamică medievală. Prima demonstrație riguroasă a unicității a dat-o Carl Friedrich Gauss, în „Disquisitiones Arithmeticae” (1801).
Proprietatea „dacă $a$ divide $b\cdot c$ și $a$ este prim cu $b$, atunci $a$ divide $c$” — pe care o înveți anul acesta — este o generalizare a lemei lui Euclid. Ea apare în manualul francez „Nouveaux Elémens de Mathématiques” al lui Jean Prestet, din 1689.
La ce folosește
Cel mai mare divizor comun apare la pavaje. O cameră de $360$ cm pe $480$ cm trebuie acoperită cu plăci pătrate cât mai mari, fără să tai vreuna. Latura plăcii trebuie să dividă și $360$, și $480$, deci cea mai mare este $(360,480)=120$ cm, și sunt necesare $3\cdot 4=12$ plăci.
La pachete: dintr-un stoc de $48$ de pixuri și $72$ de caiete se fac pachete identice, folosind tot stocul. Cel mai mare număr de pachete este $(48,72)=24$, fiecare cu $2$ pixuri și $3$ caiete.
Numerele prime protejează plățile pe internet. Criptarea folosită de bănci se bazează pe faptul că este ușor să înmulțești două numere prime ($17\cdot 23=391$), dar foarte greu să afli factorii unui produs cu sute de cifre — adică să-i faci descompunerea.
De bază
Din clasa a V-a știi criteriile de divizibilitate și ce este un număr prim. Anul acesta, orice număr compus se scrie ca produs de puteri de numere prime — descompunerea în factori primi. Împarți pe rând la cel mai mic număr prim posibil, până ajungi la $1$.
Exemplu: $360:2=180$, $180:2=90$, $90:2=45$, $45:3=15$, $15:3=5$, $5:5=1$. Deci $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Descompunerea este aceeași indiferent de ordinea împărțirilor.
Proprietăți ale divizibilității, pentru numere naturale $a, b, c$: $a\mid a$ (orice număr se divide cu el însuși); dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci $a\mid c$; dacă $a\mid b$ și $a\mid c$, atunci $a\mid (b+c)$ și $a\mid (b-c)$ (când $b\ge c$).
Exemplul 2: $7\mid 35$ și $7\mid 14$, deci $7$ divide și suma $49$, și diferența $21$ — fără să mai faci împărțirile. Și pentru că $3\mid 9$ și $9\mid 72$, rezultă $3\mid 72$.
Mediu
Din descompuneri afli repede cel mai mare divizor comun, notat $(a,b)$, și cel mai mic multiplu comun, notat $[a,b]$. Pentru $(a,b)$ iei factorii COMUNI, fiecare la puterea cea MAI MICĂ. Pentru $[a,b]$ iei TOȚI factorii, fiecare la puterea cea MAI MARE. Pentru orice două numere nenule, $(a,b)\cdot[a,b]=a\cdot b$.
Exemplu: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ și $84=2^2\cdot 3\cdot 7$. Factorii comuni sunt $2^2$ și $3$, deci $(60,84)=12$. Toți factorii: $[60,84]=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$. Verificare: $12\cdot 420=5040=60\cdot 84$.
Două numere cu $(a,b)=1$ se numesc prime între ele: $8=2^3$ și $15=3\cdot 5$ nu au niciun factor prim comun, deci $(8,15)=1$, deși niciunul nu este prim. Pentru ele există o proprietate importantă: dacă $a\mid b\cdot c$ și $(a,b)=1$, atunci $a\mid c$. De aceea un număr se divide cu $6$ exact când se divide cu $2$ și cu $3$, care sunt prime între ele.
Cum recunoști ce se cere: „cel mai mare număr de pachete identice”, „cea mai mare latură a plăcii” — c.m.m.d.c. „Când se întâlnesc din nou”, „cel mai mic număr care se împarte exact la” — c.m.m.m.c.
Exemplul 2: cel mai mic număr natural de două cifre care, împărțit pe rând la $4$, la $6$ și la $10$, dă de fiecare dată restul $3$. Numărul micșorat cu $3$ se divide cu toate trei, deci este multiplu al lui $[4,6,10]=2^2\cdot 3\cdot 5=60$. Numerele posibile sunt $3, 63, 123,\ldots$, iar cel mai mic de două cifre este $63$.
Avansat
Ideea 1 — dacă $d$ divide două numere, divide și orice diferență a multiplilor lor. Așa faci să dispară necunoscuta.
Exemplu: arată că fracția $\frac{n+2}{2n+5}$ este ireductibilă pentru orice număr natural $n$. Fie $d$ un divizor comun al numerelor $n+2$ și $2n+5$. Atunci $d\mid 2(n+2)=2n+4$ și $d\mid 2n+5$, deci $d$ divide diferența $(2n+5)-(2n+4)=1$. Așadar $d=1$, iar fracția este ireductibilă.
Exemplul 2: pentru ce numere naturale $n$ se divide $2n+7$ cu $n+1$? Cum $n+1\mid 2n+2$, din $n+1\mid 2n+7$ rezultă $n+1\mid (2n+7)-(2n+2)=5$. Deci $n+1$ este $1$ sau $5$, adică $n=0$ sau $n=4$. Verificare: $1\mid 7$ și $5\mid 15$.
Ideea 2 — numărul divizorilor se citește din descompunere. Dacă $n=2^a\cdot 3^b\cdot 5^c$, un divizor alege pentru $2$ unul dintre exponenții $0, 1,\ldots, a$ (adică $a+1$ variante), la fel pentru $3$ și pentru $5$.
Exemplul 3: $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$, deci are $(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24$ de divizori.
Greșeli frecvente
Descompunerea cu factori care nu sunt primi: $360=4\cdot 9\cdot 10$ este un produs, dar nu descompunerea în factori primi. Continuă până rămân doar numere prime: $2^3\cdot 3^2\cdot 5$.
Regulile inversate: pentru $(24,36)$ se iau factorii comuni la puterea cea mai MICĂ, $2^2\cdot 3=12$; puterea cea mai mare dă $[24,36]=72$. Produsul $24\cdot 36$ este un multiplu comun, nu cel mai mic.
„Prime între ele” confundat cu „prime”: $8$ și $15$ sunt prime între ele, deși niciunul nu este prim; $6$ și $9$ nu sunt, pentru că au divizorul comun $3$.
Proprietatea cu produsul folosită fără condiție: din $6\mid 4\cdot 3$ nu rezultă $6\mid 3$, pentru că $6$ și $4$ nu sunt prime între ele. Condiția $(a,b)=1$ este obligatorie.
Adunarea intervalelor în loc de c.m.m.m.c.: autobuze care pleacă la $12$, $15$ și $20$ de minute se reîntâlnesc după $[12,15,20]=60$ de minute, nu după $12+15+20$.
Surse pentru partea istorică
- Elementele lui Euclid, propozițiile VII.30 (lema lui Euclid), VII.31 și IX.14; primul enunț complet la Kamal al-Din al-Farisi; prima demonstrație riguroasă a unicității, Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801) — en.wikipedia.org
- Generalizarea lemei lui Euclid (n divide ab și este prim cu a, deci divide b) apare la Jean Prestet, Nouveaux Elémens de Mathématiques (1689) — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.