Divizibilitatea în clasa a V-a: divizori, multipli, criteriile cu 2, 5, 10, 3 și 9, numere prime

De bază

Numărul natural $b$ se divide cu $a$ dacă împărțirea lui $b$ la $a$ se face cu rest zero, adică $b=a\cdot k$ pentru un număr natural $k$. Spunem că $a$ este divizor al lui $b$, iar $b$ este multiplu al lui $a$. Scriem $a\mid b$ („$a$ divide $b$”).

Exemplu: divizorii lui $12$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — numerele la care $12$ se împarte exact. Multiplii lui $6$ sunt $0, 6, 12, 18, 24,\ldots$ — rezultatele înmulțirii lui $6$ cu $0, 1, 2, 3, 4,\ldots$ Un număr are un număr finit de divizori, dar o infinitate de multipli.

Criteriile de divizibilitate îți spun, fără să faci împărțirea, dacă restul este zero. Cu $2$: ultima cifră este pară ($0, 2, 4, 6, 8$). Cu $5$: ultima cifră este $0$ sau $5$. Cu $10$: ultima cifră este $0$; cu $100$: ultimele două cifre sunt $0$; în general, cu $10^n$: ultimele $n$ cifre sunt $0$.

Exemplul 2: $4570$ se termină în $0$, deci se divide și cu $2$, și cu $5$, și cu $10$. Numărul $37000$ se termină în trei zerouri, deci se divide cu $10^3=1000$.

Mediu

Criteriile cu $3$ și cu $9$ privesc suma cifrelor, nu ultima cifră. Cu $3$: suma cifrelor se divide cu $3$. Cu $9$: suma cifrelor se divide cu $9$.

Exemplu: la $4572$, suma cifrelor este $4+5+7+2=18$, care se divide și cu $3$, și cu $9$. Deci $3\mid 4572$ și $9\mid 4572$. La $1245$, suma cifrelor este $12$: se divide cu $3$, dar nu cu $9$. Orice număr divizibil cu $9$ este divizibil și cu $3$, dar nu invers.

Un număr prim are exact doi divizori: $1$ și el însuși. Un număr mai mare decât $1$ care are și alți divizori se numește compus. Numărul $1$ nu este nici prim, nici compus, iar $2$ este singurul număr prim par. Numerele prime mai mici decât $30$ sunt $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$. Un număr impar nu este neapărat prim: $91=7\cdot 13$.

Divizorii comuni a două numere sunt numerele care le divid pe amândouă; cel mai mare dintre ei se numește cel mai mare divizor comun. În clasa a V-a îl afli scriind divizorii.

Exemplul 2: divizorii lui $12$ sunt $1, 2, 3, 4, 6, 12$, iar ai lui $18$ sunt $1, 2, 3, 6, 9, 18$. Divizorii comuni sunt $1, 2, 3, 6$, deci cel mai mare divizor comun este $6$. Cu el simplifici fracția: $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$. La fel, multiplii nenuli ai lui $4$ sunt $4, 8, 12, 16, 20, 24,\ldots$, iar dintre ei $12$ și $24$ sunt și multipli ai lui $6$; cel mai mic multiplu comun nenul al lui $4$ și $6$ este $12$ — numitorul comun pentru $\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{6}$.

Avansat

Problemele grele de clasa a V-a cer de obicei să folosești un criteriu „invers”: știi că numărul se divide și cauți o cifră lipsă.

Exemplu: ce cifră $a$ face ca numărul $\overline{3a5}$ să se dividă cu $9$? Suma cifrelor este $3+a+5=8+a$ și trebuie să fie multiplu de $9$. Cum $a$ este o cifră ($0$–$9$), $8+a$ este între $8$ și $17$, iar singurul multiplu de $9$ de acolo este $9$. Deci $a=1$, iar numărul este $315$.

Exemplul 2: găsește numerele $\overline{2a4b}$ care se divid și cu $10$, și cu $9$. Din criteriul cu $10$, $b=0$. Suma cifrelor este $2+a+4+0=6+a$, între $6$ și $15$, deci trebuie să fie $9$: $a=3$. Singurul număr este $2340$.

Ca să numeri multiplii unui număr până la o limită, împarți limita la acel număr. Între $1$ și $50$ sunt $16$ multipli ai lui $3$, pentru că $50=3\cdot 16+2$: ultimul este $3\cdot 16=48$.

Exemplul 3: cel mai mic număr natural mai mare decât $1$ care, împărțit la $4$ și la $6$, dă de fiecare dată restul $1$. Numărul micșorat cu $1$ se împarte exact la $4$ și la $6$, deci este multiplu comun al lor: $0, 12, 24,\ldots$ Numărul este $1, 13, 25,\ldots$; cel mai mic mai mare decât $1$ este $13$. Verificare: $13=4\cdot 3+1=6\cdot 2+1$.