Divizibilitate: criterii, numere prime, cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun

De bază

Numărul $b$ se divide cu $a$ (scriem $a\mid b$) dacă $b=a\cdot k$ pentru un număr natural $k$. Spunem că $a$ este divizor al lui $b$, iar $b$ este multiplu al lui $a$.

Criterii de divizibilitate: cu $2$ — ultima cifră este pară; cu $5$ — ultima cifră este $0$ sau $5$; cu $10$ — ultima cifră este $0$ (cu $10^n$ — ultimele $n$ cifre sunt $0$); cu $3$ — suma cifrelor se divide cu $3$; cu $9$ — suma cifrelor se divide cu $9$.

Exemplu: numărul $4572$. Ultima cifră, $2$, este pară, deci $2\mid 4572$. Suma cifrelor este $4+5+7+2=18$, care se divide cu $3$ și cu $9$, deci $3\mid 4572$ și $9\mid 4572$. Nu se divide cu $5$, pentru că nu se termină în $0$ sau $5$.

Un număr prim are exact doi divizori naturali: $1$ și el însuși. Numărul $1$ nu este prim (are un singur divizor), iar $2$ este singurul număr prim par. Un număr mai mare decât $1$ care nu este prim se numește compus.

Exemplul 2: numerele prime mai mici decât $30$ sunt $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ — zece numere. Un număr impar nu este neapărat prim: $91=7\cdot 13$.

Mediu

Orice număr compus se scrie ca produs de numere prime (descompunerea în factori primi). Cu ea se calculează cel mai mare divizor comun, notat $(a,b)$, și cel mai mic multiplu comun, notat $[a,b]$.

Pentru $(a,b)$ iei factorii COMUNI, fiecare la puterea cea MAI MICĂ. Pentru $[a,b]$ iei TOȚI factorii, fiecare la puterea cea MAI MARE. Două numere cu $(a,b)=1$ se numesc prime între ele. Pentru orice două numere, $(a,b)\cdot[a,b]=a\cdot b$.

Exemplu: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ și $84=2^2\cdot 3\cdot 7$. Factorii comuni sunt $2^2$ și $3$, deci $(60,84)=12$. Toți factorii: $[60,84]=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$. Verificare: $12\cdot 420=5040=60\cdot 84$.

Cum recunoști ce se cere: „cel mai mare număr de pachete identice”, „cea mai mare latură a plăcii” — cauți un divizor comun cât mai mare, adică c.m.m.d.c. „Când se vor întâlni din nou”, „cel mai mic număr care se împarte exact la” — cauți un multiplu comun cât mai mic, adică c.m.m.m.c.

Exemplul 2: cel mai mic număr natural de două cifre care, împărțit pe rând la $4$, la $6$ și la $10$, dă de fiecare dată restul $3$. Numărul micșorat cu $3$ se divide cu toate trei, deci este multiplu al lui $[4,6,10]=60$: numerele posibile sunt $3, 63, 123,\ldots$ Cel mai mic de două cifre este $60+3=63$. (Fără condiția „de două cifre”, răspunsul ar fi chiar $3$, pentru că $0$ este și el multiplu al lui $60$.)

Avansat

Ideile care deblochează problemele grele de divizibilitate: combini numerele ca să dispară necunoscuta, numeri divizorii din descompunere și numeri cu grijă elementele care se repetă.

Ideea 1 — dacă $d$ divide două numere, divide și orice sumă sau diferență a multiplilor lor. Așa arăți că o fracție cu litere este ireductibilă.

Exemplu: arată că fracția $\frac{n+2}{2n+5}$ este ireductibilă pentru orice număr natural $n$. Fie $d$ un divizor comun al numerelor $n+2$ și $2n+5$. Atunci $d\mid 2(n+2)=2n+4$ și $d\mid 2n+5$, deci $d$ divide diferența $(2n+5)-(2n+4)=1$. Așadar $d=1$, iar fracția este ireductibilă.

Ideea 2 — numărul divizorilor se citește din descompunere. Dacă $n=2^a\cdot 3^b\cdot 5^c$, fiecare divizor alege un exponent pentru fiecare factor, deci numărul divizorilor este $(a+1)(b+1)(c+1)$.

Exemplul 2: $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$, deci are $(3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24$ de divizori.

Ideea 3 — „cu $2$ sau cu $3$” se numără scăzând ce s-a numărat de două ori. De la $1$ la $100$ sunt $50$ de multipli ai lui $2$ și $33$ de multipli ai lui $3$; multiplii lui $6$, în număr de $16$, apar în ambele numărători.

Exemplul 3: câte numere de la $1$ la $100$ se divid cu $2$ sau cu $3$? Răspuns: $50+33-16=67$.

Ideea 4 — scrie numărul cu cifrele lui. $\overline{ab}+\overline{ba}=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$, deci suma se divide mereu cu $11$.