Teorie · E2 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a VI-a
Date și probabilități în clasa a VI-a: diagrame în contextul proporționalității, probabilitatea ca raport
Cum reprezinți date în diagrame folosind rapoarte și procente, cum citești o diagramă circulară și cum calculezi probabilitatea unui eveniment ca raport între cazurile favorabile și cele posibile, cu exemple pentru clasa a VI-a.
De unde vine
Probabilitățile s-au născut la masa de joc. Medicul și matematicianul italian Gerolamo Cardano (1501–1576), care se întreținea în bună parte din jocuri de noroc, a scris în jurul anului 1564 o carte despre jocurile cu zaruri. Ea conține primul studiu sistematic al probabilităților, dar a fost tipărită abia în 1663.
Începutul teoriei probabilităților este pus de obicei în vara anului 1654, când francezii Blaise Pascal și Pierre de Fermat și-au scris cinci scrisori despre probleme de joc. Una era „problema punctelor”: cum se împart corect banii puși în joc dacă partida se oprește înainte de final. Problema îi fusese pusă lui Pascal de un pasionat de jocuri, cavalerul de Méré.
Diagrama circulară a fost inventată ca să arate proporții. Scoțianul William Playfair a publicat-o în 1801, ca să arate cât de mari erau, unele față de altele, popoarele europene, asiatice și africane din Imperiul Otoman.
La ce folosește
Probabilitățile arată de ce la loterie câștigă de fapt organizatorii. La jocul „$6$ din $49$” există $13\,983\,816$ variante de bilet, deci un bilet are o șansă din aproape $14$ milioane să nimerească toate cele șase numere.
În sport, raportul reușitelor este o probabilitate estimată. Un baschetbalist care a înscris $45$ de aruncări libere din $60$ are raportul $\frac{45}{60}=0{,}75$, adică $75\%$. Antrenorul îl alege pe el pentru aruncările din final.
Diagramele circulare apar în știri și în facturi: bugetul unei țări, rezultatele unor alegeri, felul în care se împarte factura la curent. Fiecare felie este proporțională cu partea pe care o reprezintă.
De bază
Probabilitatea unui eveniment, când toate cazurile sunt la fel de probabile, este raportul $P=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$. Ea este un număr între $0$ (evenimentul imposibil) și $1$ (evenimentul sigur) și se poate scrie și ca procent.
Exemplu: se aruncă un zar. Cazurile posibile sunt $6$. Numerele prime de pe zar sunt $2$, $3$ și $5$, deci probabilitatea de a obține un număr prim este $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, adică $50\%$.
Exemplul 2: o cutie are $5$ bile roșii, $7$ albastre și $8$ verzi. Probabilitatea ca o bilă extrasă la întâmplare să fie albastră este $\frac{7}{5+7+8}=\frac{7}{20}$.
Într-o diagramă circulară, cercul întreg ($360^\circ$) reprezintă totul, iar fiecare sector are unghiul proporțional cu partea lui. Un sfert din date, adică $25\%$, ocupă $\frac{25}{100}\cdot 360^\circ=90^\circ$.
Mediu
La nivel mediu transformi date între cele trei forme: număr de cazuri, procent și unghi în diagramă.
Exemplu: dintre $40$ de elevi, $14$ preferă fotbalul. Raportul este $\frac{14}{40}=\frac{35}{100}$, adică $35\%$, iar în diagrama circulară sectorul fotbalului are $\frac{35}{100}\cdot 360^\circ=126^\circ$.
La probabilități, pasul greu este numărarea corectă a cazurilor posibile. Numerele de două cifre sunt de la $10$ la $99$, adică $90$, nu $99$.
Exemplul 2: se alege la întâmplare un număr de două cifre. Care este probabilitatea ca suma cifrelor lui să fie $5$? Cazurile favorabile sunt $14$, $23$, $32$, $41$ și $50$ — cinci numere (nu uita de $50$). Probabilitatea este $\frac{5}{90}=\frac{1}{18}$.
Avansat
Problemele grele nu cer formule noi, ci o numărare atentă sau o proporție scrisă cu necunoscută.
Ideea 1 — „sau” se numără cu reuniunea de mulțimi: numeri fiecare mulțime, apoi scazi elementele din intersecție, care au fost numărate de două ori.
Exemplu: se alege la întâmplare un număr de la $1$ la $60$. Care este probabilitatea să fie divizibil cu $4$ sau cu $6$? Multiplii de $4$ sunt $15$, multiplii de $6$ sunt $10$, iar multiplii de $12$, aflați în ambele mulțimi, sunt $5$. Cazurile favorabile sunt $15+10-5=20$, deci $P=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$.
Ideea 2 — la două zaruri, cazurile sunt perechi ordonate: $(4,6)$ și $(6,4)$ sunt cazuri diferite. Sunt $6\cdot 6=36$ de cazuri posibile.
Exemplul 2: probabilitatea ca suma a două zaruri să fie cel puțin $10$: cazurile favorabile sunt $(4,6)$, $(6,4)$, $(5,5)$, $(5,6)$, $(6,5)$, $(6,6)$, deci $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Ideea 3 — o probabilitate dorită se scrie ca proporție.
Exemplul 3: o cutie are $3$ bile roșii și $5$ albastre. Câte bile roșii trebuie adăugate ca probabilitatea de a extrage una roșie să fie $\frac{1}{2}$? Cu $x$ bile adăugate, $\frac{3+x}{8+x}=\frac{1}{2}$, deci $6+2x=8+x$ și $x=2$. Verificare: $5$ roșii din $10$ bile.
Greșeli frecvente
Cazurile favorabile împărțite la celelalte cazuri, nu la toate: cu $5$ bile roșii, $7$ albastre și $8$ verzi, probabilitatea unei bile albastre este $\frac{7}{20}$, nu $\frac{7}{13}$.
Culorile socotite la fel de probabile: nu fiecare culoare are șansa $\frac{1}{3}$ — contează câte bile are fiecare.
Perechile de zaruri numărate fără ordine: suma $7$ se obține în $6$ cazuri din $36$, nu în $3$.
O probabilitate mai mare decât $1$: dacă ai obținut, de exemplu, $\frac{9}{7}$, ai împărțit invers. Cazurile favorabile sunt cel mult cât cele posibile.
În diagrama circulară, procentul folosit direct ca unghi: $35\%$ nu înseamnă $35^\circ$, ci $35\%$ din $360^\circ$, adică $126^\circ$. Toate sectoarele împreună fac $100\%$, adică $360^\circ$.
Surse pentru partea istorică
- Gerolamo Cardano (1501–1576), jucător de noroc, a scris Liber de ludo aleae în jurul anului 1564, publicată în 1663, primul studiu sistematic al probabilităților — en.wikipedia.org
- Corespondența Pascal–Fermat din vara anului 1654, cinci scrisori, pune bazele teoriei probabilităților; problema punctelor — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Problema punctelor i-a fost pusă lui Pascal în jurul anului 1654 de cavalerul de Méré (Antoine Gombaud) — en.wikipedia.org
- William Playfair a publicat în 1801, în The Statistical Breviary, diagrama circulară, ca să arate proporțiile popoarelor europene, asiatice și africane din Imperiul Otoman — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.