Teorie · E2 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a VII-a
Organizarea datelor în clasa a VII-a: dependențe funcționale în tabele și grafice, poligonul frecvențelor
Cum citești și interpretezi o dependență între două mărimi dintr-un tabel, o diagramă sau un grafic, cum se construiește poligonul frecvențelor și cum lucrezi cu date grupate pe intervale, cu exemple rezolvate pentru clasa a VII-a.
De unde vine
Un grafic așază fiecare pereche de numere ca un punct într-un sistem de axe. Ideea de a descrie punctele prin numere a fost publicată de francezul René Descartes în 1637, în lucrarea „La Géométrie”; Pierre de Fermat ajunsese independent la aceeași idee, dar nu a publicat-o. Numele de „coordonate carteziene” vine de la Descartes.
Folosirea graficelor pentru date reale a venit peste un secol și jumătate. Scoțianul William Playfair (1759–1823) a publicat în 1786 un atlas cu $43$ de grafice care arătau, an de an, cum se schimbă comerțul unor țări — o dependență între timp și o mărime economică, citită dintr-o linie frântă, exact ca un poligon al frecvențelor.
La ce folosește
Factura la curent este o dependență funcțională: plătești un abonament fix plus un preț pentru fiecare kilowatt-oră. Cu un abonament de $20$ de lei și $0{,}5$ lei pe kWh, $100$ kWh costă $70$ de lei, iar $200$ kWh costă $120$ de lei. Tabelul sau graficul îți arată dintr-o privire cât plătești.
Medicii de copii folosesc grafice de creștere: înălțimea și greutatea în funcție de vârstă. Punctul unui copil, pus pe grafic, arată dacă el crește în ritmul obișnuit.
Poligonul frecvențelor apare în rapoartele despre rezultatele la examene: câți elevi au luat fiecare notă. Forma liniei frânte arată imediat dacă cei mai mulți elevi au note mici, mijlocii sau mari.
De bază
Poligonul frecvențelor se construiește dintr-un tabel de frecvențe: pentru fiecare valoare pui punctul care are abscisa egală cu valoarea și ordonata egală cu frecvența ei, apoi unești punctele, în ordine, prin segmente.
Exemplu: la un test, notele sunt: $5$ — $2$ elevi, $6$ — $3$ elevi, $7$ — $5$ elevi, $8$ — $6$ elevi, $9$ — $3$ elevi, $10$ — $1$ elev. Punctele sunt $(5,2)$, $(6,3)$, $(7,5)$, $(8,6)$, $(9,3)$, $(10,1)$, iar poligonul lor este desenat mai jos. Vârful cel mai înalt, $(8,6)$, arată nota luată de cei mai mulți elevi. Clasa are $2+3+5+6+3+1=20$ de elevi.
O dependență funcțională leagă două mărimi: fiecărei valori a primei mărimi îi corespunde exact o valoare a celei de-a doua. Se poate da printr-un tabel, printr-o diagramă sau printr-un grafic.
Mediu
Când datele sunt multe și diferite (înălțimi, greutăți, timpi), se grupează pe intervale, iar pentru poligonul frecvențelor se folosește mijlocul fiecărui interval.
Exemplu: înălțimile a $40$ de elevi: între $140$ și $150$ cm — $6$ elevi, între $150$ și $160$ cm — $14$, între $160$ și $170$ cm — $16$, între $170$ și $180$ cm — $4$. Mijloacele intervalelor sunt $145$, $155$, $165$ și $175$, deci poligonul trece prin $(145,6)$, $(155,14)$, $(165,16)$, $(175,4)$. Cel puțin $160$ cm au $16+4=20$ de elevi, adică $\frac{20}{40}=50\%$. Media înălțimilor, estimată cu mijloacele, este $\frac{145\cdot 6+155\cdot 14+165\cdot 16+175\cdot 4}{40}=\frac{6380}{40}=159{,}5$ cm.
Exemplul 2: un taxi cere $5$ lei la pornire și $3$ lei pe kilometru. Tabelul dependenței: $1$ km — $8$ lei, $2$ km — $11$ lei, $4$ km — $17$ lei. O cursă de $29$ de lei a avut $(29-5):3=8$ km. Prețul NU este direct proporțional cu distanța: pentru $2$ km nu plătești dublu față de $1$ km, din cauza celor $5$ lei de pornire.
Avansat
Problemele grele cer să interpretezi graficul, nu doar să citești un punct.
Ideea 1 — pe graficul unei distanțe în funcție de timp, o porțiune orizontală înseamnă oprire, iar o porțiune mai abruptă înseamnă viteză mai mare.
Exemplu: distanța parcursă de un biciclist, citită din grafic din oră în oră, este $0$, $15$, $30$, $30$ și $50$ km. În prima și a doua oră a mers câte $15$ km, în a treia oră distanța nu s-a schimbat — s-a oprit —, iar în a patra a mers $20$ km, deci cel mai repede. Viteza medie pe toată călătoria este $\frac{50}{4}=12{,}5$ km/h.
Ideea 2 — o frecvență necunoscută se află din medie, scriind media ponderată cu necunoscuta în ea.
Exemplul 2: $3$ elevi au nota $6$, $x$ elevi nota $8$ și $5$ elevi nota $10$, iar media este $8{,}2$. Atunci $\frac{6\cdot 3+8x+10\cdot 5}{3+x+5}=8{,}2$, adică $68+8x=8{,}2(8+x)=65{,}6+8{,}2x$. Rezultă $0{,}2x=2{,}4$, deci $x=12$ elevi, iar vârful poligonului frecvențelor este punctul $(8,12)$.
Greșeli frecvente
Coordonatele puse invers: în poligonul frecvențelor, abscisa este valoarea (nota), iar ordonata este frecvența (numărul de elevi). Punctul pentru „$6$ elevi au nota $8$” este $(8,6)$, nu $(6,8)$.
Punctele unite în altă ordine decât a valorilor: poligonul se construiește de la valoarea cea mai mică la cea mai mare.
La date pe intervale, capătul intervalului folosit în loc de mijloc: pentru intervalul $150$–$160$ cm, punctul are abscisa $155$.
Porțiunea orizontală a unui grafic distanță–timp citită ca mers cu viteză constantă: dacă distanța nu crește, mobilul stă pe loc.
Orice dependență luată drept proporționalitate directă: la taxi, $4$ km nu costă de patru ori cât $1$ km ($17$ lei, nu $32$). Numărul total de elevi este suma frecvențelor, $2+3+5+6+3+1=20$, nu numărul de note diferite.
Surse pentru partea istorică
- René Descartes a publicat coordonatele carteziene în 1637, în La Géométrie; Pierre de Fermat le-a descoperit independent, fără să publice — en.wikipedia.org
- William Playfair (1759–1823), scoțian, a publicat în 1786 The Commercial and Political Atlas, cu 43 de grafice ale unor serii de date în timp — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.