Teorie · E2 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a VIII-a
Elemente de statistică în clasa a VIII-a: frecvență, medie, mediană, mod și amplitudine
Indicatorii tendinței centrale ai unui set de date: frecvența, media, mediana, modul și amplitudinea — cum se calculează din liste și din tabele de frecvențe și ce spune fiecare despre date, cu exemple rezolvate pentru clasa a VIII-a.
De unde vine
Mediana are o istorie lungă și nesigură la început. Ideea ei ar fi apărut pentru prima dată în 1599, într-o carte despre navigație a englezului Edward Wright. În 1774, francezul Pierre-Simon Laplace a propus explicit folosirea ei, iar numele de „valoare mediană” l-a folosit primul Antoine Augustin Cournot, în 1843. Englezul Francis Galton a folosit cuvântul „median” în 1881.
Cuvântul „mod” pentru valoarea cea mai frecventă este și mai nou: l-a introdus statisticianul englez Karl Pearson în 1895, într-un articol despre distribuțiile datelor.
La ce folosește
Media și mediana spun lucruri diferite despre venituri. Dacă cinci persoane câștigă $3000$, $3200$, $3500$, $4000$ și $20\,000$ de lei pe lună, media este $\frac{33\,700}{5}=6740$ de lei, deși patru dintre cei cinci câștigă mult mai puțin. Mediana, $3500$ de lei, descrie mai bine persoana „obișnuită”; de aceea statisticile oficiale dau des venitul median.
Magazinele se uită la mod: mărimea de pantofi vândută cel mai des este cea din care comandă cele mai multe perechi. Media mărimilor nu ajută — poate fi un număr pe care nu-l poartă nimeni.
Amplitudinea măsoară cât de împrăștiate sunt datele: două clase pot avea aceeași medie, dar una cu note între $7$ și $9$, alta între $3$ și $10$.
De bază
Pentru un set de date: frecvența unei valori este de câte ori apare ea; media este suma valorilor împărțită la numărul lor; modul este valoarea cu frecvența cea mai mare; amplitudinea este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare; mediana este valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător — iar dacă numărul datelor este par, media celor două valori din mijloc.
Exemplu: notele $4$, $9$, $6$, $9$, $7$, $10$, $5$. Ordonate: $4$, $5$, $6$, $7$, $9$, $9$, $10$. Sunt $7$ note, deci mediana este a patra, $7$. Modul este $9$, care apare de două ori. Amplitudinea este $10-4=6$. Suma este $50$, deci media este $\frac{50}{7}\approx 7{,}14$.
Mediu
La nivel mediu, datele vin într-un tabel de frecvențe și trebuie „desfăcute”: fiecare valoare apare de atâtea ori câtă este frecvența ei.
Exemplu: notele unei clase: $5$ — $2$ elevi, $6$ — $3$, $7$ — $5$, $8$ — $6$, $9$ — $3$, $10$ — $1$. Sunt $20$ de elevi. Suma notelor este $5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 6+9\cdot 3+10\cdot 1=148$, deci media este $\frac{148}{20}=7{,}4$. Modul este $8$. Pentru mediană: $20$ de note, deci contează a $10$-a și a $11$-a. Primii $2+3+5=10$ elevi au cel mult nota $7$, deci a $10$-a notă este $7$ și a $11$-a este $8$; mediana este $\frac{7+8}{2}=7{,}5$. Amplitudinea este $10-5=5$.
Observă că cei trei indicatori — $7{,}4$, $7{,}5$ și $8$ — sunt apropiați, dar nu egali: fiecare răspunde la altă întrebare.
Frecvența relativă a unei valori este frecvența ei împărțită la numărul total de date. Se scrie ca fracție sau ca procent și spune ce parte din date are acea valoare; frecvențele relative ale tuturor valorilor au împreună suma $1$, adică $100\%$.
Exemplul 2: în tabelul de mai sus, nota $8$ are frecvența $6$ din $20$ de elevi, deci frecvența relativă $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\%$. Nota $10$ are frecvența relativă $\frac{1}{20}=5\%$.
Avansat
Problemele grele dau indicatorii și cer datele, sau întreabă cum se schimbă un indicator.
Ideea 1 — pui datele în ordine și scrii fiecare condiție pe rând.
Exemplu: cinci numere naturale au media $6$, mediana $5$, modul $4$ (singurul) și amplitudinea $7$. Care sunt? Ordonate, $a\le b\le 5\le d\le e$. Modul $4$ cere ca $4$ să apară de cel puțin două ori, și poate fi doar înaintea medianei, deci $a=b=4$. Suma este $5\cdot 6=30$, deci $d+e=30-4-4-5=17$. Amplitudinea dă $e=4+7=11$, deci $d=17-11=6$. Numerele sunt $4$, $4$, $5$, $6$, $11$.
Ideea 2 — o valoare foarte mare schimbă mult media, dar puțin mediana.
Exemplul 2: datele $3$, $5$, $8$, $9$, $12$ au mediana $8$ și media $7{,}4$. Dacă se adaugă valoarea $20$, sunt șase date, iar mediana devine $\frac{8+9}{2}=8{,}5$ — a crescut doar cu $0{,}5$ —, în timp ce media devine $\frac{57}{6}=9{,}5$.
Greșeli frecvente
Mediana citită din lista neordonată: pentru $12$, $7$, $15$, $9$, $20$, $11$, $10$, mediana este $11$, nu $9$ (a patra valoare așa cum e scrisă). Întâi ordonezi.
Modul confundat cu frecvența lui: dacă $9$ elevi au luat nota $7$ și aceasta e nota cea mai des întâlnită, modul este $7$, nu $9$.
Media făcută fără frecvențe: dacă $3$ elevi au $8$ și $2$ elevi au $10$, media este $\frac{3\cdot 8+2\cdot 10}{5}=8{,}8$, nu $9$.
Mediana unui număr par de date: cu $20$ de elevi nu există un singur elev „din mijloc”; mediana este media notelor al $10$-lea și al $11$-lea.
Amplitudinea luată ca cea mai mare valoare: amplitudinea este o diferență, cea mai mare valoare minus cea mai mică.
Surse pentru partea istorică
- Mediana: poate apărea prima dată la Edward Wright (1599), propusă de Laplace în 1774, termenul valeur médiane folosit primul de Cournot (1843), median folosit de Galton în 1881 — en.wikipedia.org
- Termenul mode (mod) a fost introdus de Karl Pearson în 1895 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.