Date statistice și probabilități: tabele, diagrame, frecvență, mediană, mod, amplitudine

De bază

Frecvența unei valori este de câte ori apare ea în date. Media aritmetică este suma valorilor împărțită la numărul lor. Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare. Amplitudinea este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare. Mediana este valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător; dacă sunt un număr par de date, mediana este media celor două valori din mijloc.

Exemplu: notele $4$, $9$, $6$, $9$, $7$, $10$, $5$. Ordonate crescător: $4$, $5$, $6$, $7$, $9$, $9$, $10$. Sunt $7$ note, deci mediana este a patra, $7$. Modul este $9$, care apare de două ori. Amplitudinea este $10-4=6$.

Probabilitatea unui eveniment, când toate cazurile sunt la fel de probabile, este $P=\frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$. Ea este un număr între $0$ și $1$.

Exemplul 2: se aruncă un zar. Cazurile posibile sunt $6$. Numerele prime de pe zar sunt $2$, $3$ și $5$, deci $3$ cazuri favorabile, iar probabilitatea de a obține un număr prim este $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Mediu

La nivel mediu, datele vin într-un tabel de frecvențe sau într-o diagramă cu bare, iar tu trebuie să le „desfaci”: fiecare valoare apare de atâtea ori câtă este frecvența ei.

Exemplu: la un test, notele elevilor unei clase sunt: nota $5$ — $2$ elevi, nota $6$ — $3$ elevi, nota $7$ — $5$ elevi, nota $8$ — $6$ elevi, nota $9$ — $3$ elevi, nota $10$ — $1$ elev. Clasa are $2+3+5+6+3+1=20$ de elevi. Suma notelor este $5\cdot 2+6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 6+9\cdot 3+10\cdot 1=148$, deci media este $\frac{148}{20}=7{,}4$. Modul este $8$, nota celor mai mulți elevi. Pentru mediană numeri: $20$ de note, deci contează a $10$-a și a $11$-a. Primii $2+3+5=10$ elevi au cel mult nota $7$, deci a $10$-a notă este $7$, iar a $11$-a este $8$. Mediana este $\frac{7+8}{2}=7{,}5$.

La probabilități, pasul greu este numărarea corectă a cazurilor posibile. Numerele de două cifre sunt de la $10$ la $99$, adică $90$, nu $99$.

Exemplul 2: se alege la întâmplare un număr de două cifre. Care este probabilitatea ca suma cifrelor lui să fie $5$? Cazurile favorabile sunt $14$, $23$, $32$, $41$ și $50$ — cinci numere (nu uita de $50$). Probabilitatea este $\frac{5}{90}=\frac{1}{18}$.

Avansat

Problemele grele de probabilitate și statistică nu cer formule noi, ci o numărare atentă.

Ideea 1 — „sau” cere grijă la numerele numărate de două ori. Numeri separat fiecare condiție, apoi scazi ce se află în amândouă.

Exemplu: se alege la întâmplare un număr de la $1$ la $60$. Care este probabilitatea ca el să fie divizibil cu $4$ sau cu $6$? Multiplii de $4$ sunt $15$, multiplii de $6$ sunt $10$, dar multiplii de $12$ (divizibili cu amândouă) au fost numărați de două ori: sunt $5$. Cazurile favorabile sunt $15+10-5=20$, deci $P=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}$.

Ideea 2 — la două zaruri (sau două monede, două extrageri), cazurile sunt perechi ORDONATE. Zarul roșu cu $4$ și zarul albastru cu $6$ este alt caz decât roșu $6$ și albastru $4$. Sunt $6\cdot 6=36$ de cazuri posibile, toate la fel de probabile.

Exemplul 2: care este probabilitatea ca suma a două zaruri să fie cel puțin $10$? Cazurile favorabile sunt $(4,6)$, $(6,4)$, $(5,5)$, $(5,6)$, $(6,5)$, $(6,6)$ — șase. Deci $P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Ideea 3 — o frecvență necunoscută se află dintr-o ecuație. Dacă știi media, scrii definiția mediei cu necunoscuta în ea.

Exemplul 3: $4$ elevi au luat nota $6$, $x$ elevi nota $8$ și $2$ elevi nota $10$, iar media clasei este $7{,}6$. Atunci $\frac{6\cdot 4+8x+10\cdot 2}{4+x+2}=7{,}6$, adică $44+8x=7{,}6(6+x)=45{,}6+7{,}6x$. Rezultă $0{,}4x=1{,}6$, deci $x=4$ elevi.