Teorie · B5 Algebră · clasa a VI-a
Ecuații în clasa a VI-a: x + a = b, a · x = b, x : a = b și ax + b = c cu numere întregi și raționale
Ecuațiile de tipul x + a = b, x · a = b, x : a = b și ax + b = c cu numere întregi și raționale, cum le rezolvi prin operația inversă și cum transformi o problemă cu enunț într-o ecuație — materia de clasa a VI-a, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Ecuațiile de acest fel sunt printre cele mai vechi probleme scrise. Papirusul Rhind, copiat de scribul egiptean Ahmes în jurul anilor 1650–1550 î.Hr. după un text mai vechi, și păstrat azi la British Museum, conține probleme în care se caută o cantitate necunoscută.
Problema 26 din papirus cere, scrisă azi, soluția ecuației $x+\frac{x}{4}=15$. Scribul folosește metoda falsei ipoteze, pe care ai învățat-o în clasa a V-a: încearcă $x=4$ și obține $4+1=5$, de trei ori prea puțin, deci răspunsul este $4\cdot 3=12$. Verificare: $12+3=15$.
Semnul egal, fără de care nu am scrie nicio ecuație, l-a inventat galezul Robert Recorde, în cartea „The Whetstone of Witte” (1557). A ales două linii paralele de aceeași lungime pentru că, spunea el, nu există două lucruri mai egale decât ele.
La ce folosește
Taxiul: o cursă costă $8$ lei pornirea plus $3$ lei pe kilometru. Dacă ai plătit $38$ de lei, distanța $k$ verifică $3k+8=38$, deci $3k=30$ și $k=10$ km.
Temperatura: în țările care folosesc grade Fahrenheit, $F=1{,}8\cdot C+32$. Dacă termometrul arată $77$ °F, ecuația $1{,}8\cdot C+32=77$ dă $1{,}8\cdot C=45$, deci $C=25$ °C.
Rețetele: dacă pentru $3$ porții îți trebuie $\frac{3}{4}$ dintr-un pachet de unt și vrei să afli cât revine unei porții, rezolvi $3\cdot x=\frac{3}{4}$, deci $x=\frac{1}{4}$ de pachet.
De bază
O ecuație este o egalitate în care un număr este necunoscut, notat de obicei cu $x$. A o rezolva înseamnă a găsi numărul care o face adevărată. Pentru ecuațiile simple folosești operația inversă: $x+a=b$ dă $x=b-a$; $x\cdot a=b$ dă $x=b:a$ (cu $a\neq 0$); $x:a=b$ dă $x=b\cdot a$.
Exemplu: $x+7=3$, deci $x=3-7=-4$. Verificare: $-4+7=3$.
Exemplul 2: $-3\cdot x=12$, deci $x=12:(-3)=-4$. Verificare: $(-3)\cdot(-4)=12$. Atenție la regula semnelor: împărțirea unui număr pozitiv la unul negativ dă un rezultat negativ.
Exemplul 3: $x:(-2)=5$, deci $x=5\cdot(-2)=-10$. Verificare: $(-10):(-2)=5$.
Mediu
Ecuația $ax+b=c$ se rezolvă în doi pași: întâi scapi de termenul $b$ (îl scazi din ambii membri), apoi împarți la $a$.
Exemplu: $3x+5=-10$. Scădem $5$: $3x=-15$. Împărțim la $3$: $x=-5$. Verificare: $3\cdot(-5)+5=-15+5=-10$.
La fel cu fracții: $\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$. Adunăm $\frac{1}{2}$: $\frac{2}{3}x=\frac{5}{6}+\frac{3}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Împărțim la $\frac{2}{3}$, adică înmulțim cu $\frac{3}{2}$: $x=\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}=2$.
Exemplul 2: $0{,}5x+1{,}2=3{,}7$. Scădem $1{,}2$: $0{,}5x=2{,}5$. Împărțim la $0{,}5$: $x=5$.
Problemele cu enunț: alegi necunoscuta (spui ce reprezintă), traduci enunțul într-o ecuație, o rezolvi, verifici în enunț și răspunzi la ce se cere.
Exemplul 3: „Mă gândesc la un număr, îl înmulțesc cu $4$, scad $7$ și obțin $25$.” Ecuația este $4x-7=25$, deci $4x=32$ și $x=8$. Verificare: $4\cdot 8-7=25$.
Avansat
Ideea 1 — când necunoscuta apare de mai multe ori, aduni termenii cu $x$ ca să ajungi la forma $ax+b=c$.
Exemplu: problema 26 din papirusul Rhind, $x+\frac{x}{4}=15$. Cum $x+\frac{x}{4}=\frac{5}{4}x$, ecuația devine $\frac{5}{4}x=15$, deci $x=15\cdot\frac{4}{5}=12$. Același rezultat ca prin falsa ipoteză, dar fără încercări.
Exemplul 2: suma a trei numere naturale consecutive este $48$. Cu $x$ cel mai mic, numerele sunt $x$, $x+1$, $x+2$, iar suma lor este $3x+3=48$. Deci $3x=45$ și $x=15$: numerele sunt $15$, $16$ și $17$.
Ideea 2 — în problemele cu „ce a rămas”, notezi cu o literă întregul și scrii fiecare parte cu ea.
Exemplul 3: un elev citește o carte în trei zile: în prima zi un sfert din carte, în a doua o treime din paginile rămase, iar în a treia ultimele $90$ de pagini. Cu $N$ paginile cărții, după prima zi rămân $\frac{3}{4}N$; a doua zi citește o treime din ele, deci rămân $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}N=\frac{1}{2}N$. Acestea sunt $90$ de pagini: $\frac{1}{2}N=90$, deci $N=180$. Verificare: $45$ de pagini în prima zi, rămân $135$; $45$ în a doua, rămân $90$.
Ideea 3 — soluția trebuie să aibă sens în enunț. Un număr de elevi sau de pagini trebuie să fie natural; dacă ecuația dă altceva, verifică din nou traducerea enunțului.
Greșeli frecvente
Operația inversă greșită: din $x+5=3$ rezultă $x=3-5=-2$, nu $3+5$. Din $x:4=3$ rezultă $x=12$ (înmulțești), nu $\frac{3}{4}$.
Semnele la împărțire: din $-2x=8$ rezultă $x=8:(-2)=-4$, nu $4$. Din $2x+5=-3$ rezultă $2x=-8$, deci $x=-4$.
Ordinea pașilor la $ax+b=c$: în $2x-7=11$ se adună întâi $7$ ($2x=18$), apoi se împarte la $2$ ($x=9$). Dacă împarți întâi doar pe $2x$ la $2$, uiți să împarți și ceilalți termeni.
Împărțirea la o fracție: din $\frac{3}{4}x=3$ rezultă $x=3\cdot\frac{4}{3}=4$, nu $3\cdot\frac{3}{4}$.
Răspuns la altă întrebare decât cea pusă: dacă se cere cel mai mare dintre trei numere consecutive, după ce afli $x=15$ răspunsul este $17$. Și nu sări verificarea: ea prinde aproape toate greșelile de semn.
Surse pentru partea istorică
- Papirusul Rhind a fost scris în jurul anului 1650 î.Hr. de Ahmes, care copia un document cu 200 de ani mai vechi — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Papirusul Rhind, copiat de Ahmes în jurul anului 1550 î.Hr. după un text mai vechi, păstrat la British Museum, conține probleme algebrice de tip „aha” — en.wikipedia.org
- Problema 26 din papirusul Rhind, x + x/4 = 15, rezolvată prin falsa ipoteză: încercarea x = 4 dă 5, de trei ori prea puțin, deci x = 12 — en.wikipedia.org
- Robert Recorde a inventat semnul egal în The Whetstone of Witte (1557): două linii paralele de aceeași lungime — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.