Teorie · B5 Algebră · clasa a VII-a
Ecuații de gradul I în clasa a VII-a: ax + b = 0 cu numere reale, ecuații echivalente, probleme
Ecuația ax + b = 0 cu coeficienți reali, mulțimea soluțiilor, ecuații echivalente și identități, ecuațiile cu paranteze, cu fracții și cu radicali, cazul în care coeficientul lui x este zero și problemele rezolvate cu ecuații — materia de clasa a VII-a.
De unde vine
Cuvântul „algebră” vine din titlul unei cărți scrise la Bagdad în jurul anului 820 de Muhammad al-Khwarizmi. „Al-jabr” („completarea”) însemna mutarea unui termen scăzut în celălalt membru, iar „al-muqabala” („echilibrarea”) reducerea termenilor egali din cei doi membri — exact pașii prin care transformi azi o ecuație într-una echivalentă. Al-Khwarizmi scria totul în cuvinte, chiar și numerele. Cartea a fost tradusă în latină de Robert de Chester în 1145.
Obiceiul de a nota necunoscuta cu $x$ este mult mai nou. În „La Géométrie” (1637), René Descartes a folosit literele de la sfârșitul alfabetului, $x, y, z$, pentru necunoscute, și pe cele de la început, $a, b, c$, pentru numerele cunoscute — convenția după care se scrie și azi $ax+b=0$.
La ce folosește
Alegerea unui abonament: abonamentul A costă $30$ de lei pe lună plus $0{,}10$ lei pe minut, iar B costă $0{,}25$ lei pe minut, fără sumă fixă. Cele două costă la fel când $30+0{,}1m=0{,}25m$, adică $0{,}15m=30$ și $m=200$ de minute (amândouă $50$ de lei). Cine vorbește mai mult de $200$ de minute pe lună câștigă cu A.
Întâlnirea a două vehicule: două mașini pleacă în același timp din două orașe aflate la $300$ km, una spre cealaltă, cu $70$ km/h și $80$ km/h. Se apropie cu $150$ km în fiecare oră, deci se întâlnesc după $t$ ore cu $150t=300$, adică $t=2$ ore — prima a parcurs $140$ km, a doua $160$ km.
Formulele se „întorc” cu aceeași tehnică: din $F=1{,}8\cdot C+32$ obții $C=\frac{F-32}{1{,}8}$, rezolvând o ecuație de gradul I în care necunoscuta este $C$.
De bază
Din clasa a VI-a știi ecuațiile $ax+b=c$ cu numere raționale. Anul acesta coeficienții pot fi orice numere reale. O ecuație de forma $ax+b=0$, cu $a\neq 0$, are o singură soluție, $x=-\frac{b}{a}$. Mulțimea soluțiilor se notează $S$.
Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții. Obții o ecuație echivalentă dacă aduni sau scazi același număr în ambii membri, sau dacă înmulțești ori împarți ambii membri la același număr diferit de $0$.
Exemplu: $2x-6=0$. Adunăm $6$: $2x=6$. Împărțim la $2$: $x=3$. Deci $S=\{3\}$.
Exemplul 2: $\sqrt{2}\,x-4=0$. Adunăm $4$ și împărțim la $\sqrt{2}$: $x=\frac{4}{\sqrt{2}}$. Raționalizăm numitorul: $x=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$. Verificare: $\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot 2=4$.
O egalitate adevărată pentru orice valoare a literei se numește identitate: $2(x+1)=2x+2$ este adevărată pentru orice $x$ real.
Mediu
Ecuațiile mai lungi au paranteze sau numitori. Pașii sunt mereu aceiași: scapi de numitori, desfaci parantezele, aduci termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, reduci, împarți la coeficient.
Exemplu: $3(x-2)-2(x+1)=4$. Desfacem: $3x-6-2x-2=4$, adică $x-8=4$, deci $x=12$. Atenție: $-2(x+1)=-2x-2$; factorul se înmulțește, cu semnul lui, cu fiecare termen.
Exemplul 2: $\frac{x+2}{3}-\frac{x-1}{4}=2$. Înmulțim TOȚI termenii, inclusiv membrul drept, cu numitorul comun $12$: $4(x+2)-3(x-1)=24$, adică $4x+8-3x+3=24$, deci $x+11=24$ și $x=13$.
Uneori coeficientul lui $x$ se anulează. Dacă ajungi la $0\cdot x=3$, ecuația nu are soluții: $S=\varnothing$. Dacă ajungi la $0\cdot x=0$, orice număr real este soluție: $S=\mathbb{R}$ — ecuația era de fapt o identitate.
Exemplul 3: Ana are de trei ori mai mulți bani decât Ion. Dacă Ana îi dă lui Ion $20$ de lei, vor avea sume egale. Cu $x$ banii lui Ion: $3x-20=x+20$, deci $2x=40$ și $x=20$. Ion are $20$ de lei, iar Ana $60$ de lei. Verificare: $60-20=40=20+20$.
Avansat
Ideea 1 — când coeficientul lui $x$ conține un parametru, el poate deveni $0$, și atunci ecuația se schimbă.
Exemplu: pentru ce număr real $m$ ecuația $(m+1)x=m-2$ nu are nicio soluție? Dacă $m\neq -1$, ecuația are soluția unică $x=\frac{m-2}{m+1}$. Pentru $m=-1$ ea devine $0\cdot x=-3$, imposibil. Deci $m=-1$.
Ideea 2 — cu radicali, dai factor comun și simplifici în loc să calculezi aproximativ.
Exemplul 2: $x\sqrt{3}+2=x+2\sqrt{3}$. Aducem termenii cu $x$ în stânga: $x\sqrt{3}-x=2\sqrt{3}-2$, adică $x\left(\sqrt{3}-1\right)=2\left(\sqrt{3}-1\right)$. Cum $\sqrt{3}-1\neq 0$, împărțim: $x=2$. Verificare: ambii membri sunt $2\sqrt{3}+2$.
Ideea 3 — la probleme de mișcare, scrii o singură ecuație pentru mărimea care se adună.
Exemplul 3: două mașini pleacă simultan din două orașe aflate la $300$ km, una spre cealaltă, cu $70$ km/h și $80$ km/h. După $t$ ore au parcurs împreună $70t+80t=150t$ km, iar la întâlnire $150t=300$, deci $t=2$ ore.
Ideea 4 — ecuațiile echivalente nu se obțin înmulțind cu $0$ sau cu o expresie care poate fi $0$. Iar $x^2=9$ NU este echivalentă cu $x=3$: prima are și soluția $-3$.
Greșeli frecvente
Termenul trecut în celălalt membru fără schimbarea semnului: din $2x-7=11$ rezultă $2x=11+7=18$, nu $2x=11-7$.
Înmulțirea cu numitorul comun doar a unui membru: în $\frac{x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=2$ și membrul drept se înmulțește cu $6$, deci devine $12$.
Semnele la desfacerea parantezelor: $-3(x+1)=-3x-3$ și $-2(x-1)=-2x+2$.
Radicalul lăsat la numitor sau aproximat: $x=\frac{4}{\sqrt{2}}$ se scrie $2\sqrt{2}$, nu $2{,}83$ — un răspuns exact nu se rotunjește.
Împărțirea la o expresie care poate fi $0$: în $(m+1)x=m-2$ nu poți scrie direct $x=\frac{m-2}{m+1}$; întâi tratezi separat $m=-1$.
„Nu are soluție” confundat cu „soluția este $0$”: $0\cdot x=3$ nu are nicio soluție ($S=\varnothing$), în timp ce $3x=0$ are soluția $x=0$.
Surse pentru partea istorică
- Cartea al-jabr a lui al-Khwarizmi, scrisă la Bagdad în jurul anului 820; al-jabr (completarea), al-muqabala (echilibrarea); algebră scrisă numai în cuvinte, chiar și numerele; tradusă în latină de Robert de Chester în 1145 — en.wikipedia.org
- Descartes, La Géométrie (1637): literele de la sfârșitul alfabetului (x, y, z) pentru necunoscute, cele de la început (a, b, c) pentru constante — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.