Ecuații de gradul I: rezolvare, ecuații cu paranteze și cu fracții, probleme cu enunț

De bază

O ecuație de gradul I cu necunoscuta $x$ se poate aduce la forma $ax+b=0$, cu $a\neq 0$. Ea are o singură soluție, $x=-\frac{b}{a}$.

Ecuația rămâne echivalentă (are aceleași soluții) dacă aduni sau scazi același număr în ambii membri, sau dacă înmulțești ori împarți ambii membri la același număr diferit de $0$. „Trecerea unui termen în celălalt membru cu semn schimbat” este tocmai scăderea lui din ambii membri.

Exemplu: $3x+5=20$. Scădem $5$: $3x=15$. Împărțim la $3$: $x=5$. Verificare: $3\cdot 5+5=20$.

Exemplul 2: $\frac{x}{4}-1=2$. Adunăm $1$: $\frac{x}{4}=3$. Înmulțim cu $4$: $x=12$.

Mediu

Ecuațiile de la examen au de obicei paranteze sau numitori. Pașii sunt mereu aceiași: scapi de numitori, desfaci parantezele, aduci termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, reduci, împarți la coeficient.

Exemplu: $3(x-2)-2(x+1)=4$. Desfacem: $3x-6-2x-2=4$, adică $x-8=4$, deci $x=12$. Atenție: $-2(x+1)=-2x-2$; factorul cu semnul lui se înmulțește cu fiecare termen.

Exemplul 2: $\frac{x+2}{3}-\frac{x-1}{4}=2$. Înmulțim TOȚI termenii, inclusiv membrul drept, cu numitorul comun $12$: $4(x+2)-3(x-1)=24$, adică $4x+8-3x+3=24$, deci $x+11=24$ și $x=13$.

Problemele cu enunț: alegi necunoscuta (scrii ce reprezintă), traduci enunțul într-o ecuație, o rezolvi, verifici în enunț și răspunzi exact la ce se cere.

Exemplul 3: Ana are de trei ori mai mulți bani decât Ion. Dacă Ana îi dă lui Ion $20$ de lei, vor avea sume egale. Cu $x$ banii lui Ion: $3x-20=x+20$, deci $2x=40$ și $x=20$. Ion are $20$ de lei, iar Ana $60$ de lei. Verificare: $60-20=40=20+20$.

Avansat

Ideea 1 — când coeficientul necunoscutei conține un parametru, poate deveni $0$. Atunci ecuația $ax=b$ nu mai este de gradul I: dacă $a=0$ și $b\neq 0$, nu are nicio soluție; dacă $a=0$ și $b=0$, orice număr este soluție.

Exemplu: pentru ce număr real $m$ ecuația $(m+1)x=m-2$ nu are nicio soluție? Dacă $m\neq -1$, ecuația are soluția unică $x=\frac{m-2}{m+1}$. Pentru $m=-1$ ea devine $0\cdot x=-3$, imposibil. Deci $m=-1$.

Ideea 2 — în problemele cu „ce a rămas”, notezi cu $x$ întregul și scrii fiecare parte cu el; nu număra pe rând din coadă decât dacă se cere.

Exemplul 2: un elev citește o carte în trei zile: în prima zi un sfert din carte, în a doua o treime din paginile rămase, iar în a treia ultimele $90$ de pagini. Câte pagini are cartea? Cu $N$ pagini, după prima zi rămân $\frac{3N}{4}$; a doua zi citește o treime din ele, deci rămân $\frac{2}{3}\cdot\frac{3N}{4}=\frac{N}{2}$. Acestea sunt cele $90$ de pagini, deci $N=180$. Verificare: $45$ de pagini în prima zi, rămân $135$; $45$ în a doua, rămân $90$.

Ideea 3 — soluția trebuie să aibă sens în enunț. Un număr de persoane sau de pagini trebuie să fie natural; dacă ecuația dă altceva, fie ai greșit, fie problema cere să arăți că situația este imposibilă.