Formule — clasa a V-a

Ce trebuie să știi pe de rost, pe clase. Fiecare clasă are doar ce se învață nou în acel an; la Evaluarea Națională intră toate. Lângă fiecare temă, un link duce la teoria ei, cu exemple.

Numere și algebră

Numere naturaleteorie

Împărțirea cu rest: $\displaystyle D = \text{Î} \cdot C + R, \quad R < \text{Î}$; D – deîmpărțitul, Î – împărțitorul, C – câtul, R – restul. Restul este mai mic decât împărțitorul.
Puterea: $\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ factori}}$; $a$ – baza, $n$ – exponentul. De exemplu, $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Puteri de reținut: $\displaystyle a^1 = a, \quad a^0 = 1 \ (a \neq 0)$$\displaystyle 1^n = 1, \quad 10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n \text{ zerouri}}$
Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; Exponenții se adună.
Împărțirea puterilor cu aceeași bază: $\displaystyle a^m : a^n = a^{m-n}$; Pentru $a \neq 0$ și $m \geq n$. Exponenții se scad.
Puterea unei puteri: $\displaystyle \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$; Exponenții se înmulțesc.
Puterea unui produs: $\displaystyle (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$; De exemplu, $2^5 \cdot 5^5 = 10^5 = 100\,000$.
Scrierea în baza 10: $\displaystyle \overline{abcd} = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10 + d$; De exemplu, $4507 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 7$.
Scrierea în baza 2: $\displaystyle 1011_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2 + 1$$\displaystyle = 11$; În baza $2$ se folosesc doar cifrele $0$ și $1$; locurile valorează $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, …
Compararea puterilor: $\displaystyle a^m < a^n \iff m < n \ (a > 1)$$\displaystyle a^n < b^n \iff a < b \ (n \neq 0)$; Aduci întâi la aceeași bază sau la același exponent: $2^{60} = 8^{20}$ și $3^{40} = 9^{20}$, deci $2^{60} < 3^{40}$.
Pătratele perfecte: $\displaystyle \text{ultima cifră: } 0, 1, 4, 5, 6 \text{ sau } 9$$\displaystyle n^2 < a < (n + 1)^2$$\displaystyle \Rightarrow a \text{ nu e pătrat perfect}$; Un număr care se termină în $2$, $3$, $7$ sau $8$ nu este pătrat perfect. $40$ nu este: $36 < 40 < 49$.
Ultima cifră a unei puteri: $\displaystyle 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5 \to 3, 9, 7, 1, 3$; Ultima cifră se repetă din $4$ în $4$: te uiți la restul împărțirii exponentului la $4$. $3^{2026}$ se termină ca $3^2$, în $9$, pentru că $2026 = 4 \cdot 506 + 2$.
Factorul comun: $\displaystyle a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
Suma lui Gauss: $\displaystyle 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$; Primul și ultimul număr au aceeași sumă ca al doilea și penultimul: $1 + 100 = 2 + 99 = \ldots = 101$, deci $1 + 2 + \ldots + 100 = 50 \cdot 101 = 5050$.
Ordinea operațiilor: $\displaystyle (\ ) \;\rightarrow\; [\ ] \;\rightarrow\; \{\ \}$; Parantezele se rezolvă din interior spre exterior. În fiecare: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile.

Divizibilitateteorie

Divizor și multiplu: $\displaystyle a \mid b \iff b = a \cdot k$; $k$ este un număr natural. $a$ este divizor al lui $b$, iar $b$ este multiplu al lui $a$.
Divizibilitatea cu 2: $\displaystyle 2 \mid n \iff \text{ultima cifră e pară}$; Ultima cifră este $0$, $2$, $4$, $6$ sau $8$.
Divizibilitatea cu 5: $\displaystyle 5 \mid n \iff \text{ultima cifră e } 0 \text{ sau } 5$
Divizibilitatea cu 10, 100, 1000: $\displaystyle 10^k \mid n$$\displaystyle \iff \text{ultimele } k \text{ cifre sunt } 0$
Divizibilitatea cu 3: $\displaystyle 3 \mid n \iff 3 \mid \text{suma cifrelor}$
Divizibilitatea cu 9: $\displaystyle 9 \mid n \iff 9 \mid \text{suma cifrelor}$
Numerele prime mai mici decât 30: $\displaystyle 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29$; Un număr prim are exact doi divizori: $1$ și el însuși. $1$ nu este prim, iar $2$ este singurul număr prim par.

Fracții ordinareteorie

Amplificarea: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$; $n \neq 0$. Fracția nu își schimbă valoarea.
Simplificarea: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$; $n$ divide și pe $a$, și pe $b$. Dacă $n$ este cel mai mare divizor comun, fracția obținută este ireductibilă.
Compararea fracțiilor: $\displaystyle \frac{a}{n} < \frac{b}{n} \iff a < b$$\displaystyle \frac{n}{a} < \frac{n}{b} \iff a > b$; La același numitor, mai mare este fracția cu numărătorul mai mare. La același numărător, mai mare este fracția cu numitorul mai mic.
Scoaterea întregilor: $\displaystyle \frac{a}{b} = q\,\frac{r}{b}$$\displaystyle \text{unde } a = b \cdot q + r$; $q$ și $r$ sunt câtul și restul împărțirii lui $a$ la $b$. De exemplu, $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
Adunarea și scăderea: $\displaystyle \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}$$\displaystyle \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}$; La numitori diferiți, aduci întâi fracțiile la un numitor comun, amplificându-le.
Înmulțirea: $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$; Numărător cu numărător, numitor cu numitor. „Din” înseamnă înmulțire: $\frac{3}{4}$ din $\frac{8}{9}$ este $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3}$.
Împărțirea: $\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$; $c \neq 0$: înmulțești cu fracția răsturnată. La un număr natural: $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$.
Puterea unei fracții: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Fracții zecimaleteorie

Zecimi, sutimi, miimi: $\displaystyle 0{,}1 = \frac{1}{10}$$\displaystyle 0{,}01 = \frac{1}{100}$$\displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000}$; De exemplu, $\frac{47}{100} = 0{,}47$ și $3{,}07 = 3 + \frac{7}{100}$.
Înmulțirea și împărțirea cu 10, 100, 1000: $\displaystyle 2{,}35 \cdot 100 = 235$$\displaystyle 2{,}35 : 100 = 0{,}0235$; La înmulțirea cu $10$, $100$, $1000$ virgula se mută la dreapta cu $1$, $2$, $3$ locuri; la împărțire, la stânga.
Înmulțirea fracțiilor zecimale: $\displaystyle 2{,}5 \cdot 0{,}12 = 0{,}300 = 0{,}3$; Înmulțești ca și cum n-ar avea virgulă ($25 \cdot 12 = 300$), apoi rezultatul primește atâtea zecimale câte au factorii împreună: $1 + 2 = 3$.
Rotunjirea: $\displaystyle 3{,}47 \approx 3{,}5, \qquad 3{,}44 \approx 3{,}4$; Te uiți la prima cifră pe care o tai: dacă este $5$ sau mai mare, ultima cifră păstrată crește cu $1$; altfel rămâne.
Fracția periodică simplă: $\displaystyle 0{,}(a) = \frac{a}{9}$$\displaystyle 0{,}(ab) = \frac{\overline{ab}}{99}$; La numărător, perioada; la numitor, câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei.
Fracția periodică mixtă: $\displaystyle 0{,}a(b) = \frac{\overline{ab} - a}{90}$; La numărător, cifrele de după virgulă minus partea care nu se repetă; la numitor, câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei și câte un 0 pentru fiecare cifră neperiodică.

Mediiteorie

Media aritmetică a două numere: $\displaystyle m_a = \frac{a + b}{2}$; Media se află exact la mijloc: media lui $4$ și $10$ este $7$.
Media aritmetică a mai multor numere: $\displaystyle m_a = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$; De aici, suma numerelor este $n \cdot m_a$ — așa se află un număr care lipsește.

Rapoarte, proporții, procente; mărimi direct și invers proporționale; regula de trei simplăteorie

Fracție dintr-un număr: $\displaystyle \frac{a}{b} \text{ din } N = \frac{a}{b} \cdot N$; Împarți numărul la numitor și înmulțești cu numărătorul: $\frac{3}{5}$ din $40$ este $40 : 5 \cdot 3 = 24$.
Procentul: $\displaystyle p\% = \frac{p}{100}$$\displaystyle p\% \text{ din } N = \frac{p}{100} \cdot N$
Procente de știut pe de rost: $\displaystyle 100\% = \text{tot}, \quad 50\% = \frac{1}{2}$$\displaystyle 25\% = \frac{1}{4}, \quad 10\% = \frac{1}{10}$
Cât la sută reprezintă: $\displaystyle p = \frac{\text{partea}}{\text{întregul}} \cdot 100$; Sau aduci fracția, prin amplificare sau simplificare, la numitorul $100$: $\frac{8}{25} = \frac{32}{100}$, adică $32\%$.
După o reducere de p%: $\displaystyle P_{\text{nou}} = \frac{100 - p}{100} \cdot P_{\text{inițial}}$; După o reducere de $15\%$ rămâne de plătit $85\%$. O a doua reducere se calculează din prețul NOU.

Geometrie

Noțiuni fundamentaleteorie

Mijlocul unui segment: $\displaystyle AM = MB = \frac{AB}{2}$; $M$ este pe segmentul $AB$.
Simetricul unui punct: $\displaystyle OA' = OA, \quad AA' = 2 \cdot OA$; $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$: punctul $O$ este mijlocul segmentului $AA'$.

Unghiuriteorie

Felurile unghiurilor: $\displaystyle 0^\circ < \text{ascuțit} < 90^\circ$$\displaystyle \text{drept} = 90^\circ$$\displaystyle 90^\circ < \text{obtuz} < 180^\circ$$\displaystyle \text{alungit} = 180^\circ$; Unghiul nul are $0^\circ$. Două unghiuri cu aceeași măsură sunt congruente.
Grade și minute: $\displaystyle 1^\circ = 60'$; Calculezi separat gradele și minutele, apoi fiecare $60'$ devine $1^\circ$: $100^\circ : 3 = 33^\circ 20'$.
Unghiurile acelor ceasului: $\displaystyle \text{minutarul: } 6^\circ \text{ pe minut}$$\displaystyle \text{orarul: } 30^\circ \text{ pe oră} = 30' \text{ pe minut}$

Arii și perimetre ale figurilor planeteorie

Perimetrul: $\displaystyle P_{\text{dreptunghi}} = 2 \cdot (L + l)$$\displaystyle P_{\text{pătrat}} = 4 \cdot l$; Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor. $L$ – lungimea, $l$ – lățimea sau latura.
Semiperimetrul dreptunghiului: $\displaystyle L + l = \frac{P}{2}$; Din perimetru afli suma unei lungimi și a unei lățimi.
Aria: $\displaystyle \mathcal{A}_{\text{dreptunghi}} = L \cdot l$$\displaystyle \mathcal{A}_{\text{pătrat}} = l \cdot l = l^2$; Lungimile se aduc întâi la aceeași unitate. Același perimetru nu înseamnă aceeași arie.

Unități de măsură și transformăriteorie

Unități de lungime: $\displaystyle 1\ \text{km} = 1000\ \text{m}$$\displaystyle 1\ \text{m} = 10\ \text{dm} = 100\ \text{cm}$$\displaystyle 1\ \text{m} = 1000\ \text{mm}$; Între două unități vecine (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) se înmulțește sau se împarte cu 10.
Unități de arie: $\displaystyle 1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$; Între două unități vecine se înmulțește cu $100$: un pătrat de $1$ dm conține $10 \cdot 10$ pătrate de $1$ cm.
Arul și hectarul: $\displaystyle 1\ \text{ar} = 100\ \text{m}^2$$\displaystyle 1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2$; Un ar este un pătrat cu latura de $10$ m, un hectar unul cu latura de $100$ m.
Volumul cubului și al paralelipipedului: $\displaystyle V_{\text{cub}} = l \cdot l \cdot l = l^3$$\displaystyle V_{\text{paralelipiped}} = L \cdot l \cdot h$; Paralelipipedul dreptunghic este o cutie cu lungimea $L$, lățimea $l$ și înălțimea $h$.
Unități de volum și capacitate: $\displaystyle 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3$$\displaystyle 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$$\displaystyle 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} = 1000\ \text{ml}$; Între două unități de volum vecine se înmulțește cu $1000$. Un cub cu latura de $1$ dm are volumul $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\ \text{cm}^3$.
Unități de masă și de timp: $\displaystyle 1\ \text{kg} = 1000\ \text{g}$$\displaystyle 1\ \text{zi} = 24\ \text{h}, \quad 1\ \text{h} = 60\ \text{min}$$\displaystyle 1\ \text{min} = 60\ \text{s}$; La o fracție dintr-o durată, treci întâi totul în minute. Pentru bani: 1 leu = 100 de bani.

Date și probabilități

Dateteorie

Media datelor dintr-un tabel de frecvențe: $\displaystyle m = \frac{x_1 \cdot f_1 + \ldots + x_k \cdot f_k}{f_1 + \ldots + f_k}$; $x$ – valorile, $f$ – frecvența fiecăreia, adică de câte ori apare. Fiecare valoare se adună de atâtea ori câtă este frecvența ei.
Ce parte din total, în procente: $\displaystyle \frac{f}{n} \cdot 100\%$; $f$ – frecvența valorii, $n$ – numărul tuturor datelor. $8$ elevi din $25$: $\frac{8}{25} = \frac{32}{100} = 32\%$.