Teorie · C2 Geometrie · clasa a V-a
Unghiuri în clasa a V-a: măsurarea cu raportorul, clasificare, grade și minute
Ce este un unghi și cum îl notezi, interiorul și exteriorul lui, măsurarea cu raportorul, unghiul nul, ascuțit, drept, obtuz și alungit, și calculele cu grade și minute, cu exemple rezolvate de la simplu la problemele cu ceasul.
De unde vine
De ce are un cerc întreg $360$ de grade nu se știe sigur. O explicație leagă numărul de Soare, care pare să înainteze pe cer cu aproximativ un grad pe zi, și de calendarele vechi de $360$ de zile. Alta pornește de la babilonieni, care numărau în baza $60$ și ar fi împărțit unghiul triunghiului echilateral în $60$ de părți. Primii greci despre care se știe că au împărțit cercul în $360$ de grade a câte $60$ de minute sunt astronomi precum Aristarh și Hiparh.
Cuvântul „minut” vine din latină, din „pars minuta prima” — „prima parte mică” —, iar „secundă” din „pars minuta secunda”, „a doua parte mică”. De aceea un grad are $60$ de minute: împărțirea în câte $60$ vine din baza de numerație a babilonienilor.
Clasificarea unghiurilor pe care o înveți acum este veche de peste două mii de ani: în „Elementele” lui Euclid, unghiul obtuz este definit ca mai mare decât unghiul drept, iar cel ascuțit ca mai mic decât el.
La ce folosește
Ceasul. Cadranul este împărțit în $12$ ore, iar o rotație completă a unui ac are $360^\circ$, deci între două cifre vecine sunt $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$. La ora $4{:}00$ acele formează un unghi de $4\cdot 30^\circ=120^\circ$ — un unghi obtuz. La $3{:}00$ unghiul este drept, la $6{:}00$ este alungit.
Busola. Direcțiile se dau în grade, pornind de la nord: estul este la $90^\circ$, sudul la $180^\circ$, vestul la $270^\circ$. Un pilot care schimbă direcția de la nord la est face o întoarcere de $90^\circ$, un unghi drept; o „întoarcere completă” de la nord la sud este un unghi alungit.
De bază
Un unghi este format din două semidrepte cu aceeași origine. Originea este vârful unghiului, iar semidreptele sunt laturile lui. Unghiul cu vârful $O$ și laturile $OA$ și $OB$ se notează $\sphericalangle AOB$ — vârful se scrie mereu la mijloc. Laturile împart planul în interiorul unghiului și exteriorul lui.
Unghiul se măsoară în grade cu raportorul: așezi centrul raportorului în vârf, gradația $0$ pe o latură și citești unde trece cealaltă latură. Două unghiuri cu aceeași măsură sunt congruente.
După măsură, unghiul este: nul ($0^\circ$, laturile se suprapun), ascuțit (între $0^\circ$ și $90^\circ$), drept ($90^\circ$), obtuz (între $90^\circ$ și $180^\circ$) sau alungit ($180^\circ$, laturile sunt semidrepte opuse).
Exemplu: un unghi de $35^\circ$ este ascuțit, unul de $90^\circ$ este drept, unul de $124^\circ$ este obtuz, iar unul de $180^\circ$ este alungit.
Un grad are $60$ de minute: $1^\circ=60'$.
Exemplul 2: $2^\circ30'=2\cdot 60'+30'=150'$. Invers, $135'=120'+15'=2^\circ15'$.
Mediu
Calculele cu grade și minute se fac separat pe grade și pe minute, apoi fiecare $60'$ se transformă în $1^\circ$.
Exemplu: $47^\circ38'+25^\circ45'=72^\circ83'$. Cum $83'=60'+23'$, rezultatul este $73^\circ23'$.
Exemplul 2 — scăderea cu „împrumut”: $90^\circ-36^\circ27'$. Scriem $90^\circ=89^\circ60'$, apoi $89^\circ60'-36^\circ27'=53^\circ33'$.
Exemplul 3 — înmulțirea: $3\cdot 24^\circ35'=72^\circ105'$. Cum $105'=60'+45'$, rezultatul este $73^\circ45'$.
Exemplul 4 — împărțirea: $125^\circ30':2$. Grade întregi: $125^\circ:2$ dă $62^\circ$, rest $1^\circ=60'$; minutele devin $60'+30'=90'$, iar $90':2=45'$. Rezultatul este $62^\circ45'$.
Avansat
Ideea 1 — o semidreaptă din interiorul unui unghi îl împarte în două unghiuri, iar măsurile lor se adună.
Exemplu: semidreapta $OB$ este în interiorul unghiului $AOC$, cu $m(\sphericalangle AOC)=118^\circ20'$ și $m(\sphericalangle AOB)=47^\circ45'$. Atunci $m(\sphericalangle BOC)=118^\circ20'-47^\circ45'=117^\circ80'-47^\circ45'=70^\circ35'$.
Ideea 2 — ceasul. Minutarul face o rotație de $360^\circ$ în $60$ de minute, deci $6^\circ$ pe minut. Orarul face $30^\circ$ într-o oră, deci $30'$ (o jumătate de grad) pe minut. Măsori ambele ace de la ora $12$ și scazi.
Exemplul 2: la ora $3{:}10$, minutarul este la $10\cdot 6^\circ=60^\circ$ de ora $12$, iar orarul la $3\cdot 30^\circ+10\cdot 30'=90^\circ+5^\circ=95^\circ$. Unghiul dintre ele are $95^\circ-60^\circ=35^\circ$ — nu $30^\circ$, cum ar părea dacă uiți că orarul s-a mișcat.
Exemplul 3: la ora $2{:}15$, minutarul este la $90^\circ$, iar orarul la $60^\circ+15\cdot 30'=67^\circ30'$. Unghiul dintre ele are $90^\circ-67^\circ30'=22^\circ30'$.
Ideea 3 — împărțirea în părți egale poate da minute. Un unghi de $100^\circ$ împărțit în trei unghiuri congruente dă câte $33^\circ20'$, pentru că $100^\circ=99^\circ60'$, iar $99^\circ:3=33^\circ$ și $60':3=20'$.
Greșeli frecvente
Citirea pe scara greșită a raportorului: raportorul are două scări, iar un unghi ascuțit citit pe scara cealaltă pare de $130^\circ$ în loc de $50^\circ$. Uită-te întâi la unghi: dacă e ascuțit, măsura trebuie să fie sub $90^\circ$.
Un grad nu are $100$ de minute, ci $60$: $1^\circ30'$ înseamnă un grad și jumătate, nu $1{,}3$ grade.
Rezultatul lăsat netransformat: $72^\circ83'$ trebuie scris $73^\circ23'$, pentru că minutele trebuie să fie mai puține decât $60$.
Scăderea fără împrumut: $90^\circ-36^\circ27'$ nu este $54^\circ27'$ și nici $54^\circ33'$, ci $53^\circ33'$.
Vârful scris greșit: în $\sphericalangle AOB$ vârful este $O$, litera din mijloc.
Confuzia dintre unghiul nul ($0^\circ$) și cel alungit ($180^\circ$): la cel alungit laturile sunt în prelungire, în sensuri opuse; la cel nul sunt suprapuse.
Surse pentru partea istorică
- Motivul alegerii lui 360 de grade nu este sigur (mersul Soarelui, calendarul de 360 de zile, baza 60 babiloniană); Timocharis, Aristarh, Aristillus, Arhimede și Hiparh, primii greci cunoscuți care au împărțit cercul în 360 de grade a câte 60 de minute — en.wikipedia.org
- Cuvântul minut vine din latinescul pars minuta prima, iar secundă din pars minuta secunda — en.wikipedia.org
- Elementele lui Euclid, Cartea I, definițiile 10–12: unghiul drept, unghiul obtuz (mai mare decât dreptul) și unghiul ascuțit (mai mic decât dreptul) — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.