Teorie · C2 Geometrie · clasa a VI-a
Unghiuri în clasa a VI-a: opuse la vârf, complementare, suplementare, adiacente, bisectoare
Unghiurile opuse la vârf, unghiurile din jurul unui punct, unghiurile complementare și suplementare, unghiurile adiacente și bisectoarea, cu exemple rezolvate de la regula de bază la problemele care se rezolvă cu o ecuație.
De unde vine
Teorema că unghiurile opuse la vârf sunt egale este una dintre cele mai vechi teoreme cunoscute. Proclus, un filozof grec din secolul al V-lea d.Hr., scrie, citând o istorie a geometriei pierdută azi, a lui Eudem din Rodos, că Thales din Milet (aproximativ 624–547 î.Hr.) ar fi descoperit-o. Istoricii avertizează însă că despre Thales se știe foarte puțin sigur și că e posibil să i se atribuie prea mult.
Demonstrațiile care s-au păstrat sunt în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), Cartea I. Propoziția 13 arată că două unghiuri alăturate pe o dreaptă au împreună cât două unghiuri drepte — adică $180^\circ$ —, propoziția 15 că unghiurile opuse la vârf sunt egale, iar propoziția 9 arată cum se împarte un unghi în două părți egale, adică cum se construiește bisectoarea.
La ce folosește
Foarfeca. Cele două lame se încrucișează într-un punct ca două drepte: unghiul dintre mânere este opus la vârf unghiului dintre lame, deci cât de mult deschizi mânerele, atât de mult se deschid și lamele.
Intersecțiile. Două străzi drepte care se taie formează patru unghiuri. Dacă unul are $65^\circ$, celelalte au $115^\circ$, $65^\circ$ și $115^\circ$ — arhitecții și cei care fac marcajele rutiere pornesc de la un singur unghi măsurat.
Pizza. O pizza tăiată în $8$ felii egale are în jurul centrului $8$ unghiuri congruente, care au împreună $360^\circ$, deci fiecare are $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$.
De bază
Din clasa a V-a știi să măsori unghiuri și să calculezi cu grade și minute. Acum apar relații între unghiuri.
Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este $90^\circ$ și suplementare dacă suma este $180^\circ$.
Exemplu: complementul unui unghi de $27^\circ40'$ are $90^\circ-27^\circ40'=62^\circ20'$, iar suplementul lui are $180^\circ-27^\circ40'=152^\circ20'$.
Două drepte care se taie formează patru unghiuri. Cele opuse la vârf sunt congruente; două alăturate sunt suplementare. Unghiurile din jurul unui punct, fără puncte interioare comune, au împreună $360^\circ$.
Exemplul 2: dreptele $AB$ și $CD$ se taie în $O$, iar $m(\sphericalangle AOC)=58^\circ$. Opusul la vârf, $\sphericalangle BOD$, are tot $58^\circ$; celelalte două au câte $180^\circ-58^\circ=122^\circ$. Verificare: $58^\circ+122^\circ+58^\circ+122^\circ=360^\circ$.
Două unghiuri sunt adiacente dacă au același vârf, o latură comună și interioarele fără puncte comune. Bisectoarea unui unghi este semidreapta din interiorul lui care îl împarte în două unghiuri congruente.
Bisectoarea unghiului $AOB$ se construiește cu compasul și rigla, fără raportor. Pașii: cu vârful compasului în $O$ se face un arc care taie latura $OA$ în $P$ și latura $OB$ în $Q$. Apoi, cu aceeași deschidere, se face un arc cu vârful compasului în $P$ și încă unul cu vârful în $Q$, în interiorul unghiului; cele două arce se taie într-un punct $R$. Cu rigla se unește $O$ cu $R$: semidreapta $OR$ este bisectoarea. Motivul: triunghiurile $OPR$ și $OQR$ sunt congruente (cazul LLL, pentru că $OP=OQ$, $PR=QR$ și $OR$ este latură comună), deci $\sphericalangle POR\equiv\sphericalangle QOR$.
Exemplul 3: construită așa pe un unghi de $70^\circ$, bisectoarea îl împarte în două unghiuri de câte $70^\circ:2=35^\circ$ — le poți verifica apoi cu raportorul.
Mediu
Când punctele $A$, $O$, $B$ sunt coliniare și semidreapta $OC$ este de o parte a dreptei, unghiurile $AOC$ și $COB$ sunt adiacente suplementare: au împreună $180^\circ$.
Exemplu (figura de mai jos): $m(\sphericalangle AOC)=72^\circ$, $OM$ este bisectoarea unghiului $AOC$, iar $ON$ bisectoarea unghiului $COB$. Atunci $m(\sphericalangle COB)=180^\circ-72^\circ=108^\circ$, $m(\sphericalangle MOC)=36^\circ$, $m(\sphericalangle CON)=54^\circ$ și $m(\sphericalangle MON)=36^\circ+54^\circ=90^\circ$. Rezultatul nu depinde de cele $72^\circ$: bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt mereu perpendiculare, pentru că jumătate din $180^\circ$ este $90^\circ$.
Când se dă o relație între unghiuri, notezi unul cu $x$ și scrii o ecuație.
Exemplul 2: două unghiuri complementare diferă prin $20^\circ$. Notăm cu $x$ unghiul mai mic; celălalt are $x+20^\circ$. Atunci $x+x+20^\circ=90^\circ$, deci $2x=70^\circ$ și $x=35^\circ$. Unghiurile au $35^\circ$ și $55^\circ$.
Avansat
Ideea 1 — unghiuri în jurul unui punct date prin expresii: suma lor este $360^\circ$, deci obții o ecuație.
Exemplu: trei unghiuri în jurul unui punct, fără puncte interioare comune, au măsurile $x+10^\circ$, $2x$ și $3x-40^\circ$. Atunci $6x-30^\circ=360^\circ$, deci $6x=390^\circ$ și $x=65^\circ$. Unghiurile au $75^\circ$, $130^\circ$ și $155^\circ$; verificare: $75^\circ+130^\circ+155^\circ=360^\circ$.
Ideea 2 — bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt în prelungire. Dreptele $AB$ și $CD$ se taie în $O$, $OM$ este bisectoarea lui $AOC$, iar $ON$ bisectoarea lui $BOD$.
Exemplul 2: dacă $m(\sphericalangle AOC)=50^\circ$, atunci $m(\sphericalangle BOD)=50^\circ$ și $m(\sphericalangle COB)=130^\circ$. Mergând de la $OM$ la $ON$ treci pe rând pe lângă $OC$ și $OB$, deci $m(\sphericalangle MOC)+m(\sphericalangle COB)+m(\sphericalangle BON)=25^\circ+130^\circ+25^\circ=180^\circ$. Deci $M$, $O$, $N$ sunt coliniare — și la fel pentru orice alt unghi, pentru că jumătățile a două unghiuri egale adunate cu suplementul lor dau mereu $180^\circ$.
Ideea 3 — complementul și suplementul aceluiași unghi diferă mereu prin $90^\circ$. Problemele le leagă printr-o relație.
Exemplul 3: suplementul unui unghi este de $4$ ori mai mare decât complementul lui. Notăm unghiul cu $x$: $180^\circ-x=4(90^\circ-x)=360^\circ-4x$, deci $3x=180^\circ$ și $x=60^\circ$. Verificare: suplementul are $120^\circ$, complementul $30^\circ$, iar $120^\circ=4\cdot 30^\circ$.
Greșeli frecvente
Confuzia dintre complement și suplement: complementul completează până la $90^\circ$, suplementul până la $180^\circ$. Un unghi obtuz nu are complement.
Unghiurile opuse la vârf luate drept suplementare: ele sunt congruente. Suplementare sunt unghiurile ALĂTURATE formate de aceleași două drepte.
Unghiuri suplementare crezute neapărat adiacente: două unghiuri de $70^\circ$ și $110^\circ$ desenate în locuri diferite sunt suplementare, dar nu adiacente — adiacente înseamnă același vârf și o latură comună.
La bisectoare, înmulțirea cu $2$ în loc de împărțire: bisectoarea unui unghi de $124^\circ$ formează două unghiuri de $62^\circ$.
Suma greșită: $360^\circ$ au unghiurile din jurul unui punct; $180^\circ$ au două unghiuri adiacente cu laturile necomune în prelungire.
La ecuații, uitarea verificării: după ce afli $x$, calculează fiecare unghi și verifică suma. Un unghi cu măsura negativă înseamnă o greșeală de calcul.
Surse pentru partea istorică
- Thales (c. 624–547 î.Hr.) și teorema unghiurilor opuse la vârf, atribuită lui de Proclus după Eudem; atribuirile sunt nesigure și s-ar putea să-i dea prea mult — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Elementele lui Euclid, Cartea I: propoziția 9 (bisectoarea unui unghi), propoziția 13 (unghiurile alăturate pe o dreaptă fac cât două unghiuri drepte), propoziția 15 (unghiurile opuse la vârf sunt egale) — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.