Teorie · C2 Geometrie · clasele V–VI
Unghiuri: măsurare, complementare, suplementare, opuse la vârf, bisectoare
Cum se măsoară și se clasifică unghiurile, unghiurile complementare, suplementare și opuse la vârf, bisectoarea și unghiurile în jurul unui punct, cu exemple rezolvate de la simplu la greu.
De unde vine
Împărțirea cercului în $360$ de grade este foarte veche, dar de ce s-a ales tocmai $360$ nu se știe sigur. O explicație leagă numărul de mișcarea Soarelui, care pare să înainteze pe cer cu aproximativ un grad pe zi, și de calendarele vechi de $360$ de zile. Alta leagă alegerea de babilonieni, care numărau în baza $60$ — iar o ipoteză spune că au împărțit cercul după unghiul triunghiului echilateral, fiecare în $60$ de părți. Oricum ar fi, $360$ este un număr comod: se împarte exact la $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ și la multe altele.
Teorema că unghiurile opuse la vârf sunt egale este una dintre cele mai vechi teoreme cunoscute. Proclus, un filozof grec din secolul al V-lea d.Hr., scrie, citând o istorie a geometriei pierdută azi, a lui Eudem, că Thales din Milet (aproximativ 624–547 î.Hr.) ar fi descoperit-o. Istoricii spun însă că despre Thales se știe foarte puțin sigur, deci atribuirea trebuie luată cu prudență.
Demonstrația care s-a păstrat este în „Elementele” lui Euclid (în jurul anului 300 î.Hr.), Cartea I, propoziția 15: dacă două drepte se taie, unghiurile opuse la vârf sunt egale.
La ce folosește
Cadranul unui ceas este un cerc împărțit în $12$ ore, deci între două cifre vecine sunt $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$. La ora $4{:}00$ acele formează un unghi de $4\cdot 30^\circ=120^\circ$. Minutarul parcurge $6^\circ$ pe minut, iar orarul se mișcă și el: la $2{:}30$ orarul este la jumătatea dintre $2$ și $3$, adică la $75^\circ$ de ora $12$, minutarul la $180^\circ$, deci unghiul dintre ele este $105^\circ$.
Când o pizza rotundă este tăiată în $8$ felii egale, fiecare felie are la vârf un unghi de $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$ — unghiurile din jurul centrului au împreună $360^\circ$.
Piloții, marinarii și busola măsoară direcția în grade: nordul este $0^\circ$, estul $90^\circ$, sudul $180^\circ$, vestul $270^\circ$. A face „stânga-împrejur” înseamnă o rotație de $180^\circ$ — un unghi alungit.
De bază
Un unghi este format din două semidrepte cu aceeași origine, numită vârful unghiului. Se măsoară în grade, cu raportorul. După măsură, unghiul este ascuțit (sub $90^\circ$), drept ($90^\circ$), obtuz (între $90^\circ$ și $180^\circ$) sau alungit ($180^\circ$), când laturile sunt semidrepte opuse.
Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este $90^\circ$ și suplementare dacă suma este $180^\circ$.
Exemplu: complementul unui unghi de $38^\circ$ are $90^\circ-38^\circ=52^\circ$, iar suplementul lui are $180^\circ-38^\circ=142^\circ$.
Unghiurile opuse la vârf, formate de două drepte care se taie, sunt congruente (au aceeași măsură). Unghiurile alăturate formate de aceleași drepte sunt suplementare.
Bisectoarea unui unghi este semidreapta care îl împarte în două unghiuri congruente.
Exemplul 2: dacă $m(\sphericalangle AOB)=124^\circ$ și $OC$ este bisectoarea lui, atunci $m(\sphericalangle AOC)=\frac{124^\circ}{2}=62^\circ$.
Suma unghiurilor în jurul unui punct, fără puncte interioare comune, este $360^\circ$.
Mediu
La nivelul mediu apar unghiuri adiacente — cu același vârf, o latură comună și interioarele fără puncte comune — și bisectoarele lor. Recunoști problema după cuvintele „puncte coliniare” sau „drepte care se intersectează”: ele îți dau o sumă de $180^\circ$.
Exemplu: punctele $A$, $O$, $B$ sunt coliniare, $m(\sphericalangle AOC)=64^\circ$, $OM$ este bisectoarea lui $AOC$, iar $ON$ bisectoarea lui $COB$. Unghiurile $AOC$ și $COB$ sunt adiacente suplementare, deci $m(\sphericalangle COB)=180^\circ-64^\circ=116^\circ$. Atunci $m(\sphericalangle MOC)=32^\circ$, $m(\sphericalangle CON)=58^\circ$ și $m(\sphericalangle MON)=32^\circ+58^\circ=90^\circ$. Rezultatul nu depinde de cele $64^\circ$: bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt mereu perpendiculare, pentru că $\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$.
Când măsurile sunt date printr-un raport, scrie-le cu o necunoscută.
Exemplul 2: dreptele $AB$ și $CD$ se taie în $O$, iar $m(\sphericalangle AOC)=2\cdot m(\sphericalangle BOC)$. Unghiurile sunt adiacente suplementare, deci $3\cdot m(\sphericalangle BOC)=180^\circ$ și $m(\sphericalangle BOC)=60^\circ$, iar $m(\sphericalangle AOC)=120^\circ$. Unghiul $AOD$ este opus la vârf lui $BOC$, deci are tot $60^\circ$.
Avansat
Ideea 1 — unghiuri care se suprapun. Când două unghiuri au o parte comună, suma lor acoperă unghiul mare și încă o dată partea comună.
Exemplu: semidreptele $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ sunt în această ordine, cu $m(\sphericalangle AOC)=100^\circ$, $m(\sphericalangle BOD)=110^\circ$ și $m(\sphericalangle AOD)=150^\circ$. Unghiurile $AOC$ și $BOD$ acoperă împreună unghiul $AOD$, iar unghiul $BOC$ este numărat în amândouă. Deci $100^\circ+110^\circ=150^\circ+m(\sphericalangle BOC)$ și $m(\sphericalangle BOC)=60^\circ$.
Ideea 2 — necunoscuta. Dacă unghiurile sunt date ca $2x$, $3x$, $4x$, scrii o ecuație din suma cunoscută ($90^\circ$, $180^\circ$ sau $360^\circ$) și afli $x$.
Exemplul 2: unghiurile $AOB$, $BOC$, $COA$ sunt în jurul punctului $O$, fără puncte interioare comune, cu măsurile $2x$, $3x$ și $4x$. Atunci $9x=360^\circ$, deci $x=40^\circ$, iar unghiurile au $80^\circ$, $120^\circ$ și $160^\circ$.
Ideea 3 — la două drepte care se taie, e suficient un singur unghi: celelalte trei sunt fie egale cu el (opusul la vârf), fie suplementul lui. De exemplu, dacă un unghi are $70^\circ$, celelalte au $110^\circ$, $70^\circ$ și $110^\circ$ — și împreună $360^\circ$, pentru că $360^\circ-2\cdot 70^\circ=220^\circ=2\cdot 110^\circ$.
Greșeli frecvente
Confuzia dintre complement și suplement: complementul completează până la $90^\circ$, suplementul până la $180^\circ$. Suplementul lui $38^\circ$ este $142^\circ$, nu $52^\circ$.
Unghiurile opuse la vârf luate drept suplementare: ele sunt congruente. Suplementare sunt unghiurile ALĂTURATE formate de aceleași două drepte.
La bisectoare, înmulțirea cu $2$ în loc de împărțire, sau răspunsul cu tot unghiul: bisectoarea unui unghi de $124^\circ$ formează două unghiuri de $62^\circ$.
Folosirea sumei de $360^\circ$ unde este $180^\circ$: $360^\circ$ au toate unghiurile din jurul unui punct; două unghiuri adiacente pe o dreaptă au împreună $180^\circ$.
Împărțirea în părți egale când raportul nu este $1:1$: dacă un unghi este dublul celuilalt și suma lor este $180^\circ$, se împarte $180^\circ$ în $3$ părți, nu în $2$.
La unghiuri suprapuse, adunarea lor și oprirea acolo: suma $AOC+BOD$ numără de două ori partea comună $BOC$, care trebuie scăzută.
Surse pentru partea istorică
- Motivul alegerii lui 360 de grade nu este cunoscut sigur; ipotezele cu mersul Soarelui, calendarul de 360 de zile și baza 60 a babilonienilor — en.wikipedia.org
- Thales (c. 624–547 î.Hr.) și teorema unghiurilor opuse la vârf, atribuită lui de Proclus după Eudem; atribuirile sunt nesigure — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Elementele lui Euclid, Cartea I, propoziția 15: unghiurile opuse la vârf sunt egale — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.