Teorie · E1 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a V-a
Fracții și procente dintr-un număr în clasa a V-a: procentul, metoda reducerii la unitate
Ce înseamnă un procent, cum afli o fracție sau un procent dintr-un număr, cât la sută reprezintă o parte, reduceri și scumpiri, și metoda reducerii la unitate, cu exemple rezolvate pentru clasa a V-a.
De unde vine
Oamenii socoteau în sutimi cu mult înainte să existe scrierea cu virgulă. În Roma antică, multe calcule se făceau cu fracții având numitorul $100$, iar împăratul Augustus a pus o taxă de o sutime pe bunurile vândute la licitație.
Cuvintele „la sută” vin din italianul „per cento”, adică „pentru o sută”. Până în jurul anului 1425 nu se cunoaște niciun semn special pentru procent: se scria „per 100” sau „p cento”. Copiștii au prescurtat tot mai mult aceste cuvinte, iar pe la 1650 din ele rămăsese un semn cu o linie orizontală, ca de fracție. Forma de azi, $\%$, cu linia oblică, este mult mai nouă.
Între sfârșitul secolului al XV-lea și începutul secolului al XVI-lea, cărțile de aritmetică includeau deja calcule cu numitorul $100$, iar în secolul al XVII-lea dobânzile se exprimau obișnuit în sutimi — exact ca pe afișele băncilor de astăzi.
La ce folosește
La cumpărături, reducerile sunt procente. O geacă de $240$ de lei, redusă cu $25\%$, se ieftinește cu $\frac{25}{100}\cdot 240=60$ de lei, deci costă $180$ de lei.
În bucătărie folosești metoda reducerii la unitate. O rețetă pentru $4$ persoane cere $300$ g de făină. Pentru o persoană îți trebuie $300:4=75$ g, deci pentru $6$ persoane îți trebuie $75\cdot 6=450$ g.
La școală, dacă dintr-o clasă de $25$ de elevi lipsesc $20\%$, lipsesc $\frac{20}{100}\cdot 25=5$ elevi, iar la ore sunt $20$.
De bază
Ca să afli o fracție dintr-un număr, împarți numărul la numitor și înmulțești cu numărătorul: $\frac{a}{b}$ din $N$ este $\frac{a}{b}\cdot N$.
Exemplu: $\frac{3}{4}$ din $120$ este $120:4\cdot 3=30\cdot 3=90$.
Un procent este o fracție cu numitorul $100$: $p\%=\frac{p}{100}$. Așadar $p\%$ din $N$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot N$. Câteva procente merită știute pe de rost: $50\%=\frac{1}{2}$, $25\%=\frac{1}{4}$, $10\%=\frac{1}{10}$, iar $100\%$ înseamnă tot numărul.
Exemplul 2: $30\%$ din $120$ este $\frac{30}{100}\cdot 120=36$.
Metoda reducerii la unitate: afli întâi cât îi corespunde unei singure unități, apoi înmulțești.
Exemplul 3: $5$ caiete costă $35$ de lei. Un caiet costă $35:5=7$ lei, deci $8$ caiete costă $7\cdot 8=56$ de lei.
Mediu
La nivel mediu, întrebarea se întoarce sau se pun două procente unul după altul.
„Cât la sută reprezintă?” — scrii partea ca fracție din întreg și o aduci, prin amplificare sau simplificare, la numitorul $100$.
Exemplu: dintr-o clasă de $40$ de elevi, $12$ merg la cercul de șah. Fracția este $\frac{12}{40}=\frac{3}{10}=\frac{30}{100}$, deci $30\%$ dintre elevi merg la șah.
O fracție se poate lua și dintr-o altă fracție: „din” înseamnă înmulțire.
Exemplul 2: $\frac{2}{3}$ din $\frac{9}{10}$ este $\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$.
Procente una după alta: a doua modificare se calculează din prețul NOU.
Exemplul 3: un preț de $400$ de lei crește cu $10\%$, adică cu $40$ de lei, și ajunge la $440$ de lei. Apoi scade cu $10\%$, dar $10\%$ din $440$ înseamnă $44$ de lei, deci prețul final este $396$ de lei, nu $400$.
Avansat
Problemele grele îți dau rezultatul și îți cer numărul de la început. Ideea este să vezi cât la sută (sau ce fracție) reprezintă numărul pe care îl știi.
Ideea 1 — procentul „invers”, cu reducerea la unitate. După o reducere de $15\%$ rămâne de plătit $100\%-15\%=85\%$ din prețul inițial.
Exemplu: după o reducere de $15\%$, un produs costă $340$ de lei. Cei $340$ de lei reprezintă $85\%$ din preț, deci $1\%$ înseamnă $340:85=4$ lei, iar $100\%$ înseamnă $4\cdot 100=400$ de lei. Prețul inițial era $400$ de lei.
Ideea 2 — mersul invers, pas cu pas, când „restul” se schimbă de la o zi la alta.
Exemplul 2: Ana citește în prima zi $\frac{1}{3}$ dintr-o carte, iar a doua zi $25\%$ din pagini rămase. Mai are de citit $60$ de pagini. Câte pagini are cartea? Pornești de la sfârșit. A doua zi a citit $\frac{1}{4}$ din rest, deci cele $60$ de pagini sunt $\frac{3}{4}$ din rest: restul era $60:3\cdot 4=80$ de pagini. Acest rest înseamnă $\frac{2}{3}$ din carte, deci cartea are $80:2\cdot 3=120$ de pagini. Verificare: $\frac{1}{3}$ din $120$ este $40$, rămân $80$; $25\%$ din $80$ este $20$, rămân $60$.
Greșeli frecvente
Procentul scăzut ca număr: $15\%$ din $80$ nu este $80-15$, ci $\frac{15}{100}\cdot 80=12$. Și se împarte la $100$, nu la $10$.
A doua modificare calculată din prețul inițial: după o reducere de $20\%$, $250$ de lei devin $200$ de lei, iar o scumpire de $10\%$ înseamnă acum $20$ de lei, nu $25$. Prețul ajunge la $220$ de lei.
Fracția din rest luată din tot: dacă „a doua zi citește $25\%$ din rest”, procentul se ia din paginile rămase, nu din toată cartea.
La procentul „invers”, adunarea procentului la prețul redus: dacă după o reducere de $15\%$ produsul costă $340$ de lei, prețul inițial NU este $340$ plus $15\%$ din $340$. Cei $340$ de lei sunt $85\%$ din prețul inițial.
La reducerea la unitate, înmulțirea în loc de împărțire la primul pas: dacă $5$ caiete costă $35$ de lei, un caiet costă $35:5$, nu $35\cdot 5$.
Surse pentru partea istorică
- În Roma antică se calcula des în sutimi; Augustus a impus o taxă de 1/100 pe bunurile vândute la licitație; cărțile de aritmetică de la sfârșitul secolului al XV-lea foloseau numitorul 100, iar în secolul al XVII-lea dobânzile se dădeau în sutimi — en.wikipedia.org
- Semnul %: niciun simbol special înainte de 1425 (per 100, p cento), prescurtarea copiștilor devine o linie orizontală de fracție pe la 1650, forma cu linie oblică este modernă — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.