Rapoarte, proporții și procente; mărimi direct și invers proporționale; regula de trei simplă

De bază

Raportul numerelor $a$ și $b$ (cu $b\neq 0$) este $\frac{a}{b}$. O proporție este o egalitate de două rapoarte, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Proprietatea fundamentală a proporției: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, $a\cdot d=b\cdot c$.

Un procent este o fracție cu numitorul $100$: $p\%$ din $N$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot N$.

Exemplu: $30\%$ din $120$ este $\frac{30}{100}\cdot 120=36$.

Exemplul 2: din $\frac{x}{4}=\frac{15}{6}$, prin proprietatea fundamentală, $6x=4\cdot 15=60$, deci $x=10$.

Două mărimi sunt direct proporționale dacă, atunci când una crește de câteva ori, și cealaltă crește de același număr de ori — raportul lor rămâne constant. Sunt invers proporționale dacă, atunci când una crește de câteva ori, cealaltă scade de același număr de ori — produsul lor rămâne constant.

Exemplul 3: $3$ kg de mere costă $12$ lei. Prețul este direct proporțional cu cantitatea, deci $1$ kg costă $4$ lei, iar $5$ kg costă $20$ de lei. Aceasta este regula de trei simplă: treci prin unitate, apoi înmulțești.

Mediu

Problemele de nivel mediu combină două reguli. Trei tipuri apar des.

Împărțirea în părți proporționale: dacă $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$ și $a+b=45$, notezi valoarea comună cu $k$, deci $a=2k$, $b=3k$ și $5k=45$.

Exemplu: $k=9$, deci $a=18$ și $b=27$. Verificare: $18+27=45$ și $\frac{18}{2}=\frac{27}{3}=9$.

Mărimi invers proporționale: întrebarea-cheie este „dacă una crește, cealaltă crește sau scade?”. Mai mulți muncitori termină mai repede, deci muncitorii și zilele sunt invers proporționale: produsul lor rămâne același.

Exemplul 2: $5$ muncitori termină o lucrare în $12$ zile. $3$ muncitori, în același ritm, o termină în $x$ zile, cu $3\cdot x=5\cdot 12=60$, deci $x=20$ de zile — mai mult, cum era de așteptat.

Procente aplicate succesiv: a doua modificare se calculează din prețul NOU. Un preț de $400$ de lei crește cu $10\%$ și ajunge la $440$ de lei; dacă apoi scade cu $10\%$, scăderea este $44$ de lei, iar prețul final este $396$ de lei, nu $400$.

Exemplul 3 (procent „invers”): după o reducere de $15\%$, un produs costă $340$ de lei. Prețul redus este $85\%$ din cel inițial, deci $\frac{85}{100}\cdot x=340$ și $x=400$ de lei. Nu se adună $15\%$ din $340$: procentul se referă la prețul inițial, pe care încă nu-l știi.

Avansat

Problemele grele cu procente și proporții se rezolvă aproape mereu cu una dintre trei idei.

Ideea 1 — urmărește ce nu se schimbă. Când se adaugă apă într-o soluție, cantitatea de sare rămâne aceeași; se schimbă doar masa totală.

Exemplu: avem $300$ g de soluție de sare cu concentrația $10\%$. Câtă apă trebuie adăugată ca să obținem concentrația $6\%$? Sarea este $\frac{10}{100}\cdot 300=30$ g și nu se schimbă. Dacă adăugăm $x$ g de apă, $\frac{30}{300+x}=\frac{6}{100}$, deci $300+x=500$ și $x=200$ g de apă.

Ideea 2 — un singur număr $k$ pentru mărimile invers proporționale. „Numerele $a$, $b$, $c$ sunt invers proporționale cu $2$, $3$, $4$” înseamnă $2a=3b=4c=k$, deci $a=\frac{k}{2}$, $b=\frac{k}{3}$, $c=\frac{k}{4}$.

Exemplul 2: suma de $260$ de lei se împarte la trei copii, invers proporțional cu $2$, $3$ și $4$. Atunci $\frac{k}{2}+\frac{k}{3}+\frac{k}{4}=\frac{13k}{12}=260$, deci $k=240$, iar copiii primesc $120$, $80$ și $60$ de lei. Verificare: $120+80+60=260$ și $2\cdot 120=3\cdot 80=4\cdot 60$.

Ideea 3 — un procent este un factor de înmulțire. A crește cu $20\%$ înseamnă a înmulți cu $1{,}2$; a scădea cu $20\%$ înseamnă a înmulți cu $0{,}8$. Două modificări succesive se înmulțesc: $1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96$, adică prețul final este cu $4\%$ mai mic decât cel inițial, oricare ar fi fost acesta. Cu factorii poți răspunde la întrebări de tipul „este posibil ca prețul să revină la valoarea inițială?” fără să cunoști prețul.