Rapoarte și proporții în clasa a VI-a: mărimi direct și invers proporționale, regula de trei simplă

De bază

Raportul numerelor $a$ și $b$ (cu $b\neq 0$) este $\frac{a}{b}$. Raportul a două mărimi de același fel se face în aceeași unitate de măsură.

Exemplu: raportul dintre $50$ cm și $2$ m este $\frac{50}{200}=\frac{1}{4}$, nu $\frac{50}{2}$.

Un raport cu numitorul $100$ se numește raport procentual: $12$ elevi din $40$ înseamnă $\frac{12}{40}=\frac{30}{100}$, adică $30\%$.

O proporție este o egalitate de două rapoarte, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$; $a$ și $d$ sunt extremii, $b$ și $c$ mezii. Proprietatea fundamentală: produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, $a\cdot d=b\cdot c$. Cu ea afli un termen necunoscut.

Exemplul 2: din $\frac{x}{4}=\frac{15}{6}$ rezultă $6x=4\cdot 15=60$, deci $x=10$.

Două mărimi sunt direct proporționale dacă raportul lor rămâne constant (una crește de câteva ori, cealaltă la fel). Sunt invers proporționale dacă produsul lor rămâne constant (una crește de câteva ori, cealaltă scade de tot atâtea ori). Regula de trei simplă se sprijină pe asta.

Exemplul 3: $3$ kg de mere costă $12$ lei. Prețul și cantitatea sunt direct proporționale: $1$ kg costă $12:3=4$ lei, iar $5$ kg costă $4\cdot 5=20$ de lei.

Mediu

Șirul de rapoarte egale: dacă $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, notezi valoarea comună cu $k$. Atunci $a=2k$ și $b=3k$ — numerele sunt direct proporționale cu $2$ și $3$.

Exemplu: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$ și $a+b=45$. Atunci $2k+3k=5k=45$, deci $k=9$, $a=18$ și $b=27$.

La mărimile invers proporționale, întreabă-te întâi: „dacă una crește, cealaltă crește sau scade?”. Mai mulți muncitori termină mai repede, deci produsul „muncitori $\cdot$ zile” rămâne același.

Exemplul 2: $5$ muncitori termină o lucrare în $12$ zile. $3$ muncitori, în același ritm, o termină în $x$ zile, cu $3\cdot x=5\cdot 12=60$, deci $x=20$ de zile — mai multe, cum era de așteptat.

Proporțiile derivate: dintr-o proporție se obțin altele, de exemplu din $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ rezultă $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$. Sunt comode când se cunoaște suma.

Exemplul 3: $\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$ și $a+b=40$. Atunci $\frac{a+b}{b}=\frac{3+5}{5}$, adică $\frac{40}{b}=\frac{8}{5}$, deci $8b=200$, $b=25$ și $a=15$.

Avansat

Problemele grele ascund proporția. Ideea este să scrii toate datele cu un singur număr $k$.

Ideea 1 — două rapoarte care au un termen comun se „potrivesc” prin amplificare.

Exemplu: $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$, $\frac{b}{c}=\frac{4}{5}$ și $a+b+c=70$. Numărul $b$ apare în ambele rapoarte, o dată cu $3$, o dată cu $4$. Amplifici ca $b$ să aibă aceeași „parte”: $\frac{a}{b}=\frac{8}{12}$ și $\frac{b}{c}=\frac{12}{15}$. Deci $a=8k$, $b=12k$, $c=15k$, iar $35k=70$, adică $k=2$: $a=16$, $b=24$, $c=30$.

Ideea 2 — invers proporțional cu $2$, $3$, $4$ înseamnă $2a=3b=4c=k$.

Exemplul 2: $260$ de lei se împart la trei copii, invers proporțional cu $2$, $3$ și $4$. Atunci $\frac{k}{2}+\frac{k}{3}+\frac{k}{4}=\frac{13k}{12}=260$, deci $k=240$, iar copiii primesc $120$, $80$ și $60$ de lei.

Ideea 3 — urmărește ce nu se schimbă. Când se adaugă apă într-o soluție, cantitatea de sare rămâne aceeași.

Exemplul 3: $300$ g de apă sărată au concentrația $10\%$, deci conțin $30$ g de sare. Câtă apă adăugăm ca să ajungem la $6\%$? Cele $30$ g trebuie să fie $6\%$ din noua masă $m$: $\frac{30}{m}=\frac{6}{100}$, deci $6m=3000$ și $m=500$ g. Adăugăm $500-300=200$ g de apă.