Teorie · E3 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a V-a
Media aritmetică în clasa a V-a: media a două sau mai multor numere naturale
Ce este media aritmetică, cum o calculezi pentru două sau mai multe numere naturale, de ce rezultatul poate fi o fracție zecimală și cum afli un număr lipsă când cunoști media, cu exemple rezolvate pentru clasa a V-a.
De unde vine
Media aritmetică este una dintre cele trei medii studiate de pitagoreici, școala de gânditori greci din jurul lui Pitagora; celelalte două sunt media geometrică și cea armonică. Autorul grec Nicomachus din Gerasa scria că toți anticii, de la Pitagora la Platon și Aristotel, le cunoșteau.
Cea mai veche descriere detaliată a lor care s-a păstrat îi aparține lui Archytas din Tarent, un pitagoreic. La el, un număr este media aritmetică a altor două dacă pașii dintre ele sunt egali: $7$ este media lui $4$ și $10$, pentru că de la $4$ la $7$ și de la $7$ la $10$ sunt câte $3$ unități.
Grecii foloseau media a două numere, dar calculul mediei pentru mai multe valori s-a răspândit abia în secolul al XVI-lea, când astronomii, printre care Tycho Brahe, au început să facă media mai multor măsurători ca să micșoreze erorile.
La ce folosește
Media notelor din catalog este o medie aritmetică: notele $8$, $9$, $10$ și $9$ au media $\frac{8+9+10+9}{4}=\frac{36}{4}=9$.
Dacă un copil primește într-o săptămână $12$, $15$, $9$, $14$ și $10$ lei de buzunar în cinci zile de școală, a primit $60$ de lei, deci în medie $60:5=12$ lei pe zi. Cu media îți poți face un buget pentru săptămâna următoare.
Buletinul meteo vorbește de „temperatura medie” a unei zile sau a unei luni, iar mașinile afișează „consumul mediu” — tot medii aritmetice.
De bază
Media aritmetică a mai multor numere este suma lor împărțită la câte numere sunt. Pentru două numere, $m_a=\frac{a+b}{2}$.
Exemplu: media aritmetică a numerelor $6$, $9$, $11$ și $14$ este $\frac{6+9+11+14}{4}=\frac{40}{4}=10$.
Media nu este neapărat un număr natural: împărțirea poate avea rezultat fracție zecimală.
Exemplul 2: media numerelor $7$ și $8$ este $\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5$.
Media a două numere se află exact la mijloc între ele: media lui $4$ și $10$ este $\frac{4+10}{2}=7$, iar $7-4=10-7=3$.
Mediu
Cea mai folosită idee: din medie afli suma. Dacă media a $n$ numere este $m$, suma lor este $n\cdot m$. Așa se află un număr care lipsește.
Exemplu: media a patru note este $8{,}25$. Ce notă trebuie obținută la al cincilea test ca media celor cinci note să fie $8{,}4$? Suma primelor patru este $4\cdot 8{,}25=33$, iar suma celor cinci trebuie să fie $5\cdot 8{,}4=42$. Nota necesară este $42-33=9$.
Media se calculează la fel și pentru fracții zecimale.
Exemplul 2: media numerelor $2{,}4$, $3{,}6$ și $4{,}5$ este $\frac{2{,}4+3{,}6+4{,}5}{3}=\frac{10{,}5}{3}=3{,}5$.
Avansat
Ideea din problemele grele: lucrezi cu sume, nu cu medii. Mediile nu se adună și nu se scad între ele; sumele da.
Exemplu: media a șase numere este $15$. Se elimină unul, iar media celor cinci rămase este $14$. Suma celor șase este $6\cdot 15=90$, a celor cinci este $5\cdot 14=70$, deci numărul eliminat este $90-70=20$ — nu $15-14=1$.
Exemplul 2: media a trei numere naturale consecutive este $17$. Suma lor este $3\cdot 17=51$, iar media a trei numere consecutive este chiar numărul din mijloc, deci numerele sunt $16$, $17$ și $18$. Verificare: $16+17+18=51$.
Exemplul 3: o clasă de $20$ de elevi are media $7$, iar alta, de $30$ de elevi, are media $8$. Media tuturor celor $50$ de elevi nu este $\frac{7+8}{2}=7{,}5$. Sumele sunt $20\cdot 7=140$ și $30\cdot 8=240$, deci media este $\frac{380}{50}=7{,}6$ — mai aproape de $8$, pentru că a doua clasă are mai mulți elevi.
Greșeli frecvente
Împărțirea la alt număr decât numărul valorilor: media numerelor $5$, $8$, $9$, $14$ este $\frac{36}{4}=9$, nu $\frac{36}{3}=12$. Și nu te opri la sumă: media cere și împărțirea.
Numărul lipsă aflat din diferența față de medie: dacă media a două numere este $12$ și unul este $15$, celălalt nu este $15-12=3$. Suma lor este $2\cdot 12=24$, deci celălalt este $24-15=9$.
Scăderea mediilor în loc de scăderea sumelor, când se elimină sau se adaugă un număr.
Media a două grupuri calculată ca medie a mediilor, deși grupurile au mărimi diferite.
O medie mai mare decât toate numerele sau mai mică decât toate: media este mereu între cel mai mic și cel mai mare număr. Dacă ți-a ieșit altfel, ai greșit un calcul.
Surse pentru partea istorică
- Cele trei medii pitagoreice; Nicomachus spune că erau recunoscute de Pitagora, Platon și Aristotel; Archytas a dat cea mai veche descriere, media aritmetică fiind cea cu intervale egale între termeni — en.wikipedia.org
- Media aritmetică, cunoscută grecilor, a fost generalizată la mai mult de două valori abia în secolul al XVI-lea; Tycho Brahe a folosit-o ca să reducă erorile estimărilor poziției aștrilor — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.