Teorie · E3 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasele V–VII
Medii: media aritmetică, media ponderată și media geometrică
Media aritmetică, media aritmetică ponderată și media geometrică: definiții, cum afli un număr lipsă dintr-o medie, media geometrică a numerelor cu radicali și inegalitatea mediilor, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Mediile au fost studiate de pitagoreici, școala de gânditori greci din jurul lui Pitagora, pentru că apăreau atât în geometrie, cât și în teoria muzicii. Un autor grec de mai târziu, Nicomachus din Gerasa, scrie că cele trei medii — aritmetică, geometrică și armonică — erau recunoscute de toți anticii, de la Pitagora la Platon și Aristotel.
Cea mai veche descriere detaliată a lor care ni s-a păstrat îi aparține lui Archytas din Tarent (aproximativ 428–350 î.Hr.), matematician pitagoreic din sudul Italiei. El a dat mediei armonice numele pe care îl are astăzi; înainte se numea „subcontrară”.
Media geometrică are și o construcție celebră. În „Elementele” lui Euclid (Cartea a VI-a, propoziția 13) se arată cum se construiește, cu rigla și compasul, „media proporțională” a două segmente: este înălțimea dusă din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic, pe care ipotenuza o împarte în cele două segmente. Aceasta este exact teorema înălțimii, $h^2=a\cdot b$.
La ce folosește
Media ponderată apare la cumpărături. Dacă iei $3$ kg de mere cu $4$ lei kilogramul și $2$ kg cu $6{,}5$ lei kilogramul, ai plătit $12+13=25$ de lei pe $5$ kg, deci în medie $\frac{25}{5}=5$ lei kilogramul — nu media prețurilor, $5{,}25$ lei, pentru că ai luat mai multe mere ieftine. Tot așa se calculează viteza medie: o mașină care merge $2$ ore cu $60$ km/h și încă $2$ ore cu $30$ km/h a parcurs $180$ km în $4$ ore, deci are viteza medie de $45$ km/h.
Media geometrică se folosește pentru creșteri procentuale. Dacă o populație de bacterii, un preț sau o investiție crește în doi ani de $1{,}44$ ori, creșterea medie anuală este factorul $\sqrt{1{,}44}=1{,}2$, adică $20\%$ pe an: $1{,}2\cdot 1{,}2=1{,}44$. Media aritmetică ar da un răspuns greșit, pentru că creșterile se înmulțesc, nu se adună.
De bază
Media aritmetică a $n$ numere este suma lor împărțită la $n$. Pentru două numere: $m_a=\frac{a+b}{2}$.
Exemplu: media aritmetică a numerelor $6$, $9$, $11$ și $14$ este $\frac{6+9+11+14}{4}=\frac{40}{4}=10$.
Media geometrică a două numere pozitive $a$ și $b$ este $m_g=\sqrt{a\cdot b}$.
Exemplul 2: media geometrică a numerelor $2$ și $18$ este $\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$.
Media aritmetică ponderată a numerelor $a$ și $b$, cu ponderile $p$ și $q$, este $\frac{a\cdot p+b\cdot q}{p+q}$: fiecare număr se înmulțește cu ponderea lui, iar suma se împarte la suma ponderilor.
Exemplul 3: $3$ elevi au nota $5$ și $7$ elevi au nota $7$. Media clasei este $\frac{5\cdot 3+7\cdot 7}{3+7}=\frac{64}{10}=6{,}4$.
Mediu
Cea mai folosită idee: din medie se află suma. Dacă media a $n$ numere este $m$, suma lor este $n\cdot m$. Așa se află un număr lipsă.
Exemplu: media a patru note este $8{,}25$. Ce notă trebuie obținută la al cincilea test pentru ca media celor cinci note să fie $8{,}4$? Suma primelor patru note este $4\cdot 8{,}25=33$, iar suma celor cinci trebuie să fie $5\cdot 8{,}4=42$. Nota necesară este $42-33=9$.
La media ponderată, „respectiv” leagă fiecare număr de ponderea lui, în ordine.
Exemplul 2: media ponderată a numerelor $7$, $9$ și $10$, cu ponderile $3$, $2$ și, respectiv, $5$, este $\frac{7\cdot 3+9\cdot 2+10\cdot 5}{3+2+5}=\frac{89}{10}=8{,}9$.
La media geometrică a unor numere cu radicali, caută formula $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
Exemplul 3: media geometrică a numerelor $5-2\sqrt{6}$ și $5+2\sqrt{6}$ este $\sqrt{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1$.
Avansat
Ideea 1 — lucrezi cu sume, nu cu medii. Mediile nu se adună și nu se scad între ele; sumele da.
Exemplu: media aritmetică a șase numere este $15$. Se elimină unul dintre ele, iar media celor cinci rămase este $14$. Care număr a fost eliminat? Suma celor șase este $6\cdot 15=90$, suma celor cinci este $5\cdot 14=70$, deci numărul eliminat este $90-70=20$ — nu $15-14=1$.
Ideea 2 — inegalitatea mediilor. Pentru orice numere pozitive $a$ și $b$, $\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$, cu egalitate numai când $a=b$. Demonstrația are un singur rând: $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\ge 0$.
Exemplul 2: pentru $a=7+4\sqrt{3}$ și $b=7-4\sqrt{3}$, media aritmetică este $\frac{14}{2}=7$, iar media geometrică este $\sqrt{49-48}=1$. Cum $a\neq b$, media geometrică iese, cum era de așteptat, strict mai mică.
Ideea 3 — inegalitatea mediilor demonstrează inegalități care par grele. Când produsul a două numere este constant, suma lor are un minim.
Exemplul 3: arată că $x+\frac{4}{x}\ge 4$ pentru orice $x>0$. Media aritmetică a numerelor $x$ și $\frac{4}{x}$ este cel puțin media lor geometrică: $\frac{x+\frac{4}{x}}{2}\ge\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=\sqrt{4}=2$, deci $x+\frac{4}{x}\ge 4$. Egalitatea are loc pentru $x=\frac{4}{x}$, adică $x=2$: $2+\frac{4}{2}=4$.
Greșeli frecvente
Împărțirea la alt număr decât numărul valorilor: media numerelor $5$, $8$, $9$, $14$ este $\frac{36}{4}=9$, nu $\frac{36}{3}=12$. Și nu te opri la sumă — media cere și împărțirea.
Media geometrică confundată cu media aritmetică sau cu jumătatea produsului: media geometrică a numerelor $4$ și $9$ este $\sqrt{4\cdot 9}=6$, nu $\frac{4+9}{2}$, nu $\frac{36}{2}$ și nici $36$ — radicalul nu se uită.
Media ponderată fără ponderi sau împărțită la numărul valorilor: la media ponderată se împarte la SUMA ponderilor. Pentru $6$, $8$, $10$ cu ponderile $1$, $2$, $5$, se împarte la $1+2+5=8$, nu la $3$.
Scăderea mediilor în loc de scăderea sumelor: dacă media a cinci numere este $12$ și, după eliminarea unuia, media celor patru este $10$, numărul eliminat este $5\cdot 12-4\cdot 10=20$, nu $12-10=2$.
Numărul lipsă aflat din diferența față de medie: dacă media a două numere este $12$ și unul este $15$, celălalt nu este $15-12=3$. Suma lor este $2\cdot 12=24$, deci celălalt este $24-15=9$.
Produsul numerelor conjugate calculat ca sumă de pătrate: $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$, nu $9+5$.
Surse pentru partea istorică
- Cele trei medii (aritmetică, geometrică, armonică) au fost studiate de pitagoreici în legătură cu geometria și muzica; Nicomachus spune că erau recunoscute de Pitagora, Platon și Aristotel; Archytas a dat cea mai veche descriere detaliată — en.wikipedia.org
- Archytas din Tarent (c. 428 – c. 350 î.Hr.) a dat mediei armonice numele ei, înainte numită subcontrară — mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Euclid, Elementele VI.13: construcția mediei proporționale a două segmente, înălțimea din unghiul drept al unui triunghi dreptunghic — mathcs.clarku.edu
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.