Teorie · E3 Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică · clasa a VII-a
Medii în clasa a VII-a: media aritmetică ponderată și media geometrică a două numere pozitive
Media aritmetică ponderată a mai multor numere reale și media geometrică a două numere reale pozitive, calcule cu radicali, numere aflate din medii și legătura cu semicercul și teorema înălțimii, cu exemple rezolvate pentru clasa a VII-a.
De unde vine
Media geometrică este una dintre cele trei medii ale pitagoreicilor, alături de media aritmetică și cea armonică. Grecii o numeau „media proporțională”: $x$ este media proporțională a numerelor $a$ și $b$ dacă $a:x=x:b$, adică $x^2=a\cdot b$ — de unde $x=\sqrt{ab}$.
În „Elementele” lui Euclid (Cartea a VI-a, propoziția 13) se arată cum se construiește media proporțională a două segmente: le pui unul în prelungirea celuilalt, construiești semicercul care le are împreună ca diametru, iar perpendiculara ridicată în punctul lor comun, până la semicerc, este media căutată. Este teorema înălțimii, pe care o înveți tot în clasa a VII-a.
Tot de la greci vine și ordinea mediilor: media geometrică a două numere pozitive nu depășește niciodată media lor aritmetică și îi este egală doar când numerele sunt egale.
La ce folosește
Media ponderată apare la cumpărături. Dacă iei $3$ kg de mere cu $4$ lei kilogramul și $2$ kg cu $6{,}5$ lei kilogramul, ai plătit $12+13=25$ de lei pe $5$ kg, deci în medie $\frac{25}{5}=5$ lei kilogramul — nu media prețurilor, $5{,}25$ lei, pentru că ai luat mai multe mere ieftine.
Media geometrică se folosește pentru creșteri procentuale. Dacă un preț sau o investiție crește în doi ani de $1{,}44$ ori, creșterea medie pe an este factorul $\sqrt{1{,}44}=1{,}2$, adică $20\%$ pe an: $1{,}2\cdot 1{,}2=1{,}44$. Creșterile se înmulțesc, deci media potrivită este cea geometrică.
De bază
Media aritmetică ponderată a numerelor $a_1, a_2, \dots, a_n$, cu ponderile $p_1, p_2, \dots, p_n$, este $\frac{a_1p_1+a_2p_2+\dots+a_np_n}{p_1+p_2+\dots+p_n}$: fiecare număr se înmulțește cu ponderea lui, iar suma se împarte la suma ponderilor.
Exemplu: $3$ elevi au nota $5$ și $7$ elevi au nota $7$. Media clasei este $\frac{5\cdot 3+7\cdot 7}{3+7}=\frac{64}{10}=6{,}4$.
Media geometrică a două numere reale pozitive $a$ și $b$ este $m_g=\sqrt{a\cdot b}$.
Exemplul 2: media geometrică a numerelor $2$ și $18$ este $\sqrt{36}=6$.
Exemplul 3: media geometrică a numerelor $3\sqrt{2}$ și $6\sqrt{2}$ este $\sqrt{3\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}=\sqrt{18\cdot 2}=\sqrt{36}=6$.
Mediu
La media ponderată, „respectiv” leagă fiecare număr de ponderea lui, în ordine.
Exemplu: media ponderată a numerelor $7$, $9$ și $10$, cu ponderile $3$, $2$ și, respectiv, $5$, este $\frac{7\cdot 3+9\cdot 2+10\cdot 5}{3+2+5}=\frac{89}{10}=8{,}9$.
La media geometrică a unor numere cu radicali, calculezi întâi produsul, înmulțind fiecare termen cu fiecare.
Exemplul 2: media geometrică a numerelor $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ și $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ (ambele pozitive). Produsul este $5+\sqrt{15}-\sqrt{15}-3=2$, deci media geometrică este $\sqrt{2}$.
Media geometrică se definește doar pentru numere pozitive: $\sqrt{a\cdot b}$ are sens numai dacă $a\cdot b\ge 0$.
Avansat
Ideea 1 — media geometrică se vede într-un semicerc. Pe diametrul $AC$ alegi punctul $B$, cu $AB=a$ și $BC=b$, iar perpendiculara în $B$ taie semicercul în $D$. Unghiul $ADC$ este înscris într-un semicerc, deci drept, iar teorema înălțimii dă $BD^2=AB\cdot BC$, adică $BD=\sqrt{ab}$ — media geometrică. Raza semicercului este $\frac{a+b}{2}$ — media aritmetică. Cum $BD$ nu poate depăși raza, $\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$, cu egalitate doar când $B$ este centrul, adică $a=b$.
Exemplu: pentru $a=4$ și $b=9$, $BD=\sqrt{36}=6$, iar raza este $\frac{13}{2}=6{,}5$. Verificare în triunghiul dreptunghic $OBD$: $OB=6{,}5-4=2{,}5$ și $OD^2=2{,}5^2+6^2=6{,}25+36=42{,}25=6{,}5^2$.
Ideea 2 — din cele două medii afli numerele.
Exemplul 2: două numere naturale au media aritmetică $6{,}5$ și media geometrică $6$. Atunci suma lor este $2\cdot 6{,}5=13$, iar produsul este $6^2=36$. Dintre perechile de divizori ai lui $36$ ($1$ și $36$, $2$ și $18$, $3$ și $12$, $4$ și $9$, $6$ și $6$), doar $4$ și $9$ au suma $13$.
Ideea 3 — o pondere necunoscută se află dintr-o ecuație.
Exemplul 3: $4$ elevi au nota $6$, $x$ elevi nota $8$ și $2$ elevi nota $10$, iar media este $7{,}6$. Atunci $\frac{6\cdot 4+8x+10\cdot 2}{4+x+2}=7{,}6$, adică $44+8x=45{,}6+7{,}6x$, deci $0{,}4x=1{,}6$ și $x=4$ elevi.
Greșeli frecvente
Media geometrică confundată cu media aritmetică sau cu jumătatea produsului: media geometrică a numerelor $4$ și $9$ este $\sqrt{36}=6$, nu $6{,}5$, nu $18$ și nici $36$ — radicalul nu se uită.
Media ponderată împărțită la numărul valorilor: pentru $6$, $8$, $10$ cu ponderile $1$, $2$, $5$, se împarte la $1+2+5=8$ și se obține $\frac{72}{8}=9$; nu se împarte la $3$.
Ponderile legate de alte numere decât cele indicate prin „respectiv”.
Produsul $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ calculat ca $5+3$: termenii $\sqrt{15}$ se reduc, iar $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$ apare cu minus, deci produsul este $2$.
Media geometrică scrisă pentru numere negative: $\sqrt{a\cdot b}$ se definește în clasa a VII-a doar pentru numere pozitive.
Surse pentru partea istorică
- Euclid, Elementele VI.13: construcția mediei proporționale a două segmente în semicerc; media proporțională x cu a:x = x:b, adică x = √(ab), este media geometrică — mathcs.clarku.edu
- Mediile aritmetică, geometrică și armonică ale pitagoreicilor și inegalitatea dintre ele, cu egalitate doar pentru valori egale — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.