Formule pentru Evaluarea Națională

Ce trebuie să știi pe de rost, pe clase. Fiecare clasă are doar ce se învață nou în acel an; la Evaluarea Națională intră toate. Lângă fiecare temă, un link duce la teoria ei, cu exemple.

Clasa a V-a

Numere și algebră

Numere naturaleteorie

Împărțirea cu rest: $\displaystyle D = \text{Î} \cdot C + R, \quad R < \text{Î}$; D – deîmpărțitul, Î – împărțitorul, C – câtul, R – restul. Restul este mai mic decât împărțitorul.
Puterea: $\displaystyle a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ factori}}$; $a$ – baza, $n$ – exponentul. De exemplu, $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Puteri de reținut: $\displaystyle a^1 = a, \quad a^0 = 1 \ (a \neq 0)$$\displaystyle 1^n = 1, \quad 10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n \text{ zerouri}}$
Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; Exponenții se adună.
Împărțirea puterilor cu aceeași bază: $\displaystyle a^m : a^n = a^{m-n}$; Pentru $a \neq 0$ și $m \geq n$. Exponenții se scad.
Puterea unei puteri: $\displaystyle \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$; Exponenții se înmulțesc.
Puterea unui produs: $\displaystyle (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$; De exemplu, $2^5 \cdot 5^5 = 10^5 = 100\,000$.
Scrierea în baza 10: $\displaystyle \overline{abcd} = a \cdot 10^3 + b \cdot 10^2 + c \cdot 10 + d$; De exemplu, $4507 = 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 7$.
Scrierea în baza 2: $\displaystyle 1011_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2 + 1$$\displaystyle = 11$; În baza $2$ se folosesc doar cifrele $0$ și $1$; locurile valorează $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, …
Compararea puterilor: $\displaystyle a^m < a^n \iff m < n \ (a > 1)$$\displaystyle a^n < b^n \iff a < b \ (n \neq 0)$; Aduci întâi la aceeași bază sau la același exponent: $2^{60} = 8^{20}$ și $3^{40} = 9^{20}$, deci $2^{60} < 3^{40}$.
Pătratele perfecte: $\displaystyle \text{ultima cifră: } 0, 1, 4, 5, 6 \text{ sau } 9$$\displaystyle n^2 < a < (n + 1)^2$$\displaystyle \Rightarrow a \text{ nu e pătrat perfect}$; Un număr care se termină în $2$, $3$, $7$ sau $8$ nu este pătrat perfect. $40$ nu este: $36 < 40 < 49$.
Ultima cifră a unei puteri: $\displaystyle 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5 \to 3, 9, 7, 1, 3$; Ultima cifră se repetă din $4$ în $4$: te uiți la restul împărțirii exponentului la $4$. $3^{2026}$ se termină ca $3^2$, în $9$, pentru că $2026 = 4 \cdot 506 + 2$.
Factorul comun: $\displaystyle a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
Suma lui Gauss: $\displaystyle 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$; Primul și ultimul număr au aceeași sumă ca al doilea și penultimul: $1 + 100 = 2 + 99 = \ldots = 101$, deci $1 + 2 + \ldots + 100 = 50 \cdot 101 = 5050$.
Ordinea operațiilor: $\displaystyle (\ ) \;\rightarrow\; [\ ] \;\rightarrow\; \{\ \}$; Parantezele se rezolvă din interior spre exterior. În fiecare: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile.

Divizibilitateteorie

Divizor și multiplu: $\displaystyle a \mid b \iff b = a \cdot k$; $k$ este un număr natural. $a$ este divizor al lui $b$, iar $b$ este multiplu al lui $a$.
Divizibilitatea cu 2: $\displaystyle 2 \mid n \iff \text{ultima cifră e pară}$; Ultima cifră este $0$, $2$, $4$, $6$ sau $8$.
Divizibilitatea cu 5: $\displaystyle 5 \mid n \iff \text{ultima cifră e } 0 \text{ sau } 5$
Divizibilitatea cu 10, 100, 1000: $\displaystyle 10^k \mid n$$\displaystyle \iff \text{ultimele } k \text{ cifre sunt } 0$
Divizibilitatea cu 3: $\displaystyle 3 \mid n \iff 3 \mid \text{suma cifrelor}$
Divizibilitatea cu 9: $\displaystyle 9 \mid n \iff 9 \mid \text{suma cifrelor}$
Numerele prime mai mici decât 30: $\displaystyle 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29$; Un număr prim are exact doi divizori: $1$ și el însuși. $1$ nu este prim, iar $2$ este singurul număr prim par.

Fracții ordinareteorie

Amplificarea: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$; $n \neq 0$. Fracția nu își schimbă valoarea.
Simplificarea: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$; $n$ divide și pe $a$, și pe $b$. Dacă $n$ este cel mai mare divizor comun, fracția obținută este ireductibilă.
Compararea fracțiilor: $\displaystyle \frac{a}{n} < \frac{b}{n} \iff a < b$$\displaystyle \frac{n}{a} < \frac{n}{b} \iff a > b$; La același numitor, mai mare este fracția cu numărătorul mai mare. La același numărător, mai mare este fracția cu numitorul mai mic.
Scoaterea întregilor: $\displaystyle \frac{a}{b} = q\,\frac{r}{b}$$\displaystyle \text{unde } a = b \cdot q + r$; $q$ și $r$ sunt câtul și restul împărțirii lui $a$ la $b$. De exemplu, $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
Adunarea și scăderea: $\displaystyle \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}$$\displaystyle \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n}$; La numitori diferiți, aduci întâi fracțiile la un numitor comun, amplificându-le.
Înmulțirea: $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$; Numărător cu numărător, numitor cu numitor. „Din” înseamnă înmulțire: $\frac{3}{4}$ din $\frac{8}{9}$ este $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{2}{3}$.
Împărțirea: $\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$; $c \neq 0$: înmulțești cu fracția răsturnată. La un număr natural: $\frac{a}{b} : n = \frac{a}{b \cdot n}$.
Puterea unei fracții: $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Fracții zecimaleteorie

Zecimi, sutimi, miimi: $\displaystyle 0{,}1 = \frac{1}{10}$$\displaystyle 0{,}01 = \frac{1}{100}$$\displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000}$; De exemplu, $\frac{47}{100} = 0{,}47$ și $3{,}07 = 3 + \frac{7}{100}$.
Înmulțirea și împărțirea cu 10, 100, 1000: $\displaystyle 2{,}35 \cdot 100 = 235$$\displaystyle 2{,}35 : 100 = 0{,}0235$; La înmulțirea cu $10$, $100$, $1000$ virgula se mută la dreapta cu $1$, $2$, $3$ locuri; la împărțire, la stânga.
Înmulțirea fracțiilor zecimale: $\displaystyle 2{,}5 \cdot 0{,}12 = 0{,}300 = 0{,}3$; Înmulțești ca și cum n-ar avea virgulă ($25 \cdot 12 = 300$), apoi rezultatul primește atâtea zecimale câte au factorii împreună: $1 + 2 = 3$.
Rotunjirea: $\displaystyle 3{,}47 \approx 3{,}5, \qquad 3{,}44 \approx 3{,}4$; Te uiți la prima cifră pe care o tai: dacă este $5$ sau mai mare, ultima cifră păstrată crește cu $1$; altfel rămâne.
Fracția periodică simplă: $\displaystyle 0{,}(a) = \frac{a}{9}$$\displaystyle 0{,}(ab) = \frac{\overline{ab}}{99}$; La numărător, perioada; la numitor, câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei.
Fracția periodică mixtă: $\displaystyle 0{,}a(b) = \frac{\overline{ab} - a}{90}$; La numărător, cifrele de după virgulă minus partea care nu se repetă; la numitor, câte un 9 pentru fiecare cifră a perioadei și câte un 0 pentru fiecare cifră neperiodică.

Mediiteorie

Media aritmetică a două numere: $\displaystyle m_a = \frac{a + b}{2}$; Media se află exact la mijloc: media lui $4$ și $10$ este $7$.
Media aritmetică a mai multor numere: $\displaystyle m_a = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$; De aici, suma numerelor este $n \cdot m_a$ — așa se află un număr care lipsește.

Rapoarte, proporții, procente; mărimi direct și invers proporționale; regula de trei simplăteorie

Fracție dintr-un număr: $\displaystyle \frac{a}{b} \text{ din } N = \frac{a}{b} \cdot N$; Împarți numărul la numitor și înmulțești cu numărătorul: $\frac{3}{5}$ din $40$ este $40 : 5 \cdot 3 = 24$.
Procentul: $\displaystyle p\% = \frac{p}{100}$$\displaystyle p\% \text{ din } N = \frac{p}{100} \cdot N$
Procente de știut pe de rost: $\displaystyle 100\% = \text{tot}, \quad 50\% = \frac{1}{2}$$\displaystyle 25\% = \frac{1}{4}, \quad 10\% = \frac{1}{10}$
Cât la sută reprezintă: $\displaystyle p = \frac{\text{partea}}{\text{întregul}} \cdot 100$; Sau aduci fracția, prin amplificare sau simplificare, la numitorul $100$: $\frac{8}{25} = \frac{32}{100}$, adică $32\%$.
După o reducere de p%: $\displaystyle P_{\text{nou}} = \frac{100 - p}{100} \cdot P_{\text{inițial}}$; După o reducere de $15\%$ rămâne de plătit $85\%$. O a doua reducere se calculează din prețul NOU.

Geometrie

Noțiuni fundamentaleteorie

Mijlocul unui segment: $\displaystyle AM = MB = \frac{AB}{2}$; $M$ este pe segmentul $AB$.
Simetricul unui punct: $\displaystyle OA' = OA, \quad AA' = 2 \cdot OA$; $A'$ este simetricul lui $A$ față de $O$: punctul $O$ este mijlocul segmentului $AA'$.

Unghiuriteorie

Felurile unghiurilor: $\displaystyle 0^\circ < \text{ascuțit} < 90^\circ$$\displaystyle \text{drept} = 90^\circ$$\displaystyle 90^\circ < \text{obtuz} < 180^\circ$$\displaystyle \text{alungit} = 180^\circ$; Unghiul nul are $0^\circ$. Două unghiuri cu aceeași măsură sunt congruente.
Grade și minute: $\displaystyle 1^\circ = 60'$; Calculezi separat gradele și minutele, apoi fiecare $60'$ devine $1^\circ$: $100^\circ : 3 = 33^\circ 20'$.
Unghiurile acelor ceasului: $\displaystyle \text{minutarul: } 6^\circ \text{ pe minut}$$\displaystyle \text{orarul: } 30^\circ \text{ pe oră} = 30' \text{ pe minut}$

Arii și perimetre ale figurilor planeteorie

Perimetrul: $\displaystyle P_{\text{dreptunghi}} = 2 \cdot (L + l)$$\displaystyle P_{\text{pătrat}} = 4 \cdot l$; Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor. $L$ – lungimea, $l$ – lățimea sau latura.
Semiperimetrul dreptunghiului: $\displaystyle L + l = \frac{P}{2}$; Din perimetru afli suma unei lungimi și a unei lățimi.
Aria: $\displaystyle \mathcal{A}_{\text{dreptunghi}} = L \cdot l$$\displaystyle \mathcal{A}_{\text{pătrat}} = l \cdot l = l^2$; Lungimile se aduc întâi la aceeași unitate. Același perimetru nu înseamnă aceeași arie.

Unități de măsură și transformăriteorie

Unități de lungime: $\displaystyle 1\ \text{km} = 1000\ \text{m}$$\displaystyle 1\ \text{m} = 10\ \text{dm} = 100\ \text{cm}$$\displaystyle 1\ \text{m} = 1000\ \text{mm}$; Între două unități vecine (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) se înmulțește sau se împarte cu 10.
Unități de arie: $\displaystyle 1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$; Între două unități vecine se înmulțește cu $100$: un pătrat de $1$ dm conține $10 \cdot 10$ pătrate de $1$ cm.
Arul și hectarul: $\displaystyle 1\ \text{ar} = 100\ \text{m}^2$$\displaystyle 1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2$; Un ar este un pătrat cu latura de $10$ m, un hectar unul cu latura de $100$ m.
Volumul cubului și al paralelipipedului: $\displaystyle V_{\text{cub}} = l \cdot l \cdot l = l^3$$\displaystyle V_{\text{paralelipiped}} = L \cdot l \cdot h$; Paralelipipedul dreptunghic este o cutie cu lungimea $L$, lățimea $l$ și înălțimea $h$.
Unități de volum și capacitate: $\displaystyle 1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3$$\displaystyle 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$$\displaystyle 1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L} = 1000\ \text{ml}$; Între două unități de volum vecine se înmulțește cu $1000$. Un cub cu latura de $1$ dm are volumul $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\ \text{cm}^3$.
Unități de masă și de timp: $\displaystyle 1\ \text{kg} = 1000\ \text{g}$$\displaystyle 1\ \text{zi} = 24\ \text{h}, \quad 1\ \text{h} = 60\ \text{min}$$\displaystyle 1\ \text{min} = 60\ \text{s}$; La o fracție dintr-o durată, treci întâi totul în minute. Pentru bani: 1 leu = 100 de bani.

Date și probabilități

Dateteorie

Media datelor dintr-un tabel de frecvențe: $\displaystyle m = \frac{x_1 \cdot f_1 + \ldots + x_k \cdot f_k}{f_1 + \ldots + f_k}$; $x$ – valorile, $f$ – frecvența fiecăreia, adică de câte ori apare. Fiecare valoare se adună de atâtea ori câtă este frecvența ei.
Ce parte din total, în procente: $\displaystyle \frac{f}{n} \cdot 100\%$; $f$ – frecvența valorii, $n$ – numărul tuturor datelor. $8$ elevi din $25$: $\frac{8}{25} = \frac{32}{100} = 32\%$.

Clasa a VI-a

Numere și algebră

Mulțimiteorie

Reuniunea, intersecția, diferența: $\displaystyle A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ sau } x \in B\}$$\displaystyle A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \in B\}$$\displaystyle A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ și } x \notin B\}$; „Sau” cere reuniunea, „și” cere intersecția, „dar nu” cere diferența.
Incluziunea: $\displaystyle A \subseteq B, \qquad \emptyset \subseteq A$; $A \subseteq B$: orice element al lui $A$ este și în $B$. Mulțimea vidă, $\emptyset$, este inclusă în orice mulțime. $\operatorname{card} A$ este numărul de elemente al mulțimii finite $A$.

Divizibilitateteorie

Proprietăți ale divizibilității: $\displaystyle a \mid b \text{ și } b \mid c \Rightarrow a \mid c$$\displaystyle a \mid b \text{ și } a \mid c \Rightarrow a \mid (b + c)$; La fel $a \mid (b - c)$, când $b \geq c$.
C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. din descompunere: $\displaystyle 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 18 = 2 \cdot 3^2$$\displaystyle (12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$$\displaystyle [12, 18] = 2^2 \cdot 3^2 = 36$; Pentru $(a, b)$ iei factorii comuni, fiecare la puterea cea mai mică. Pentru $[a, b]$ iei toți factorii, fiecare la puterea cea mai mare.
Legătura dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.: $\displaystyle (a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$; Pentru orice două numere nenule.
Numărul divizorilor: $\displaystyle n = p^a \cdot q^b \cdot r^c \Rightarrow$$\displaystyle (a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) \text{ divizori}$; $p$, $q$, $r$ sunt numere prime diferite. $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ are $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ de divizori.
Numere prime între ele: $\displaystyle (a, b) = 1$$\displaystyle a \mid b \cdot c \text{ și } (a, b) = 1 \Rightarrow a \mid c$; De aceea $6 \mid n$ exact când $2 \mid n$ și $3 \mid n$. Nu trebuie să fie numere prime: $(8, 15) = 1$.

Numere întregiteorie

Regula semnelor: $\displaystyle (+) \cdot (+) = (+), \quad (-) \cdot (-) = (+)$$\displaystyle (+) \cdot (-) = (-), \quad (-) \cdot (+) = (-)$; La fel la împărțire: $(-35) : 7 = -5$, $(-35) : (-7) = 5$.
Adunarea și scăderea: $\displaystyle a + (-b) = a - b$$\displaystyle a - (-b) = a + b$; Pe axă, $a + b$ înseamnă să pleci din $a$ și să mergi $|b|$ pași: la dreapta dacă $b > 0$, la stânga dacă $b < 0$. $3 - 5 = -2$.
Puterea unui număr negativ: $\displaystyle (-a)^{n} = a^n, \text{ dacă } n \text{ este par}$$\displaystyle (-a)^{n} = -a^n, \text{ dacă } n \text{ este impar}$; Regulile de calcul cu puteri din clasa a V-a rămân aceleași.

Modul, intervale de numere realeteorie

Modulul: $\displaystyle |a| \geq 0, \qquad |a| = |-a|$; Modulul este distanța de la $a$ la $0$ pe axă: $|5| = 5$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$. Dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic.
Ecuația cu modul: $\displaystyle |x| = a \iff x \in \{-a, a\}$; Pentru $a > 0$. $|x| = 0$ dă $x = 0$, iar $|x| = -3$ nu are soluții: o distanță nu este negativă.

Numere raționaleteorie

Mulțimile de numere: $\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$; Un număr rațional se scrie $\frac{a}{b}$, cu $a$, $b$ întregi și $b \neq 0$.
Puterea cu exponent negativ: $\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$; Pentru $a \neq 0$, $b \neq 0$. Exponentul negativ răstoarnă fracția: $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

Ecuații de gradul Iteorie

Ecuații cu operația inversă: $\displaystyle x + a = b \Rightarrow x = b - a$$\displaystyle x \cdot a = b \Rightarrow x = b : a \ (a \neq 0)$$\displaystyle x : a = b \Rightarrow x = b \cdot a$
Ecuația a · x + b = c: $\displaystyle a \cdot x + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}$; Pentru $a \neq 0$: întâi scazi $b$ din ambii membri, apoi împarți la $a$.

Inecuații de forma ax + b ≥ 0teorie

Regulile inecuațiilor: $\displaystyle a < b \Rightarrow a + c < b + c$$\displaystyle a < b,\ c > 0 \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c$$\displaystyle a < b,\ c < 0 \Rightarrow a \cdot c > b \cdot c$; La înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se schimbă.

Rapoarte, proporții, procente; mărimi direct și invers proporționale; regula de trei simplăteorie

Proprietatea fundamentală a proporției: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$; Produsul extremilor ($a$, $d$) este egal cu produsul mezilor ($b$, $c$). Așa afli un termen necunoscut: $\frac{x}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow x = \frac{b \cdot c}{d}$.
Proporții derivate: $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$; Comodă atunci când se cunoaște suma.
Șirul de rapoarte egale: $\displaystyle \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = k$$\displaystyle \Rightarrow a = m \cdot k, \quad b = n \cdot k$; Numerele $a$ și $b$ sunt direct proporționale cu $m$ și $n$.
Suma rapoartelor egale: $\displaystyle \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{a + b}{m + n}$; Comodă când se cunoaște suma: $a + b = 40$ și $\frac{a}{3} = \frac{b}{5}$ dau $\frac{40}{8} = 5$, deci $a = 15$, $b = 25$.
Numere invers proporționale: $\displaystyle a \cdot m = b \cdot n = c \cdot p$; Așa se scrie că $a$, $b$, $c$ sunt invers proporționale cu $m$, $n$, $p$. Invers proporționale cu $2$, $3$, $4$ înseamnă $2a = 3b = 4c = k$.
Scara unei hărți: $\displaystyle \text{scara } 1 : n \Rightarrow$$\displaystyle d_{\text{reală}} = d_{\text{pe hartă}} \cdot n$; La scara $1 : 50\,000$, $3$ cm pe hartă înseamnă $150\,000$ cm $= 1{,}5$ km în realitate.
Mărimi direct și invers proporționale: $\displaystyle \text{direct: } \frac{y}{x} = k \text{ constant}$$\displaystyle \text{invers: } x \cdot y = k \text{ constant}$; Mai mulți muncitori termină mai repede: produsul „muncitori · zile” rămâne același.

Geometrie

Unghiuriteorie

Unghiuri complementare și suplementare: $\displaystyle \text{complementare: } \hat{A} + \hat{B} = 90^\circ$$\displaystyle \text{suplementare: } \hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$
Unghiuri opuse la vârf și în jurul unui punct: $\displaystyle \text{opuse la vârf: congruente}$$\displaystyle \text{în jurul unui punct: } 360^\circ$; Două drepte care se taie formează patru unghiuri; două alăturate sunt suplementare.
Bisectoarea unui unghi: $\displaystyle \sphericalangle AOC \equiv \sphericalangle COB$$\displaystyle m(\sphericalangle AOC) = \frac{m(\sphericalangle AOB)}{2}$; $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$.

Paralelism și perpendicularitate în planteorie

Două paralele tăiate de o secantă: $\displaystyle \text{alterne interne: congruente}$$\displaystyle \text{corespondente: congruente}$$\displaystyle \text{interne de aceeași parte: suma } 180^\circ$; Merge și invers: dacă o astfel de pereche de unghiuri este congruentă (sau are suma 180°), dreptele sunt paralele.
Distanța de la un punct la o dreaptă: $\displaystyle d(P, d) = PA, \quad PA \perp d, \ A \in d$; Perpendiculara este cel mai scurt segment de la punct la dreaptă; orice oblică este mai lungă.

Proprietăți ale triunghiurilorteorie

Suma unghiurilor unui triunghi: $\displaystyle \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^\circ$; În triunghiul echilateral, fiecare unghi are $60^\circ$. În triunghiul dreptunghic, unghiurile ascuțite au împreună $90^\circ$.
Unghiul exterior: $\displaystyle \text{unghiul exterior din } A = \hat{B} + \hat{C}$; Unghiul exterior este suplementul unghiului interior din același vârf.
Inegalitatea triunghiului: $\displaystyle a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b$; Cea mai lungă latură este mai mică decât suma celorlalte două. $3$, $4$ și $8$ nu pot fi laturile unui triunghi: $3 + 4 < 8$.
Latura mare și unghiul mare: $\displaystyle AB > AC \iff \hat{C} > \hat{B}$; În fața unghiului mai mare stă latura mai mare, și invers. În triunghiul dreptunghic, ipotenuza este latura cea mai lungă.
Mediatoarea unui segment: $\displaystyle P \text{ pe mediatoarea lui } AB$$\displaystyle \iff PA = PB$; Mediatoarea este perpendiculara pe $AB$ prin mijlocul lui. Simetricul lui $A$ față de dreapta $d$ este $A'$ pentru care $d$ este mediatoarea lui $AA'$.
Bisectoarea unui unghi — proprietatea punctelor: $\displaystyle P \text{ pe bisectoare} \iff$$\displaystyle P \text{ egal depărtat de laturi}$
Liniile importante în triunghi: $\displaystyle \text{bisectoarele} \to I$$\displaystyle \text{mediatoarele} \to O$; Se întâlnesc într-un punct: bisectoarele în I, centrul cercului înscris; mediatoarele în O, centrul cercului circumscris. Și medianele, și înălțimile sunt concurente. Centrul cercului circumscris este în interiorul unui triunghi ascuțitunghic, pe ipotenuză la unul dreptunghic și în exteriorul unui obtuzunghic.
Triunghiul isoscel: $\displaystyle AB = AC \iff \hat{B} = \hat{C}$; Bisectoarea din vârf, mediana și înălțimea din vârf sunt pe aceeași dreaptă: axa de simetrie.

Congruența triunghiurilorteorie

Cazurile de congruență: $\displaystyle \text{LUL}, \quad \text{ULU}, \quad \text{LLL}$$\displaystyle \text{CC}, \quad \text{CU}, \quad \text{IC}, \quad \text{IU}$; L – latură, U – unghi (cel dintre laturi, la LUL; cele alăturate laturii, la ULU). Al doilea rând e pentru triunghiurile dreptunghice: C – catetă, I – ipotenuză.

Triunghiul dreptunghicteorie

Teorema lui Pitagora: $\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2$$\displaystyle AB^2 = BC^2 - AC^2$; Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$; $BC$ este ipotenuza. În clasa a VI-a lucrezi cu numere naturale: afli $BC^2$, apoi numărul al cărui pătrat este acela.
Triplete pitagoreice: $\displaystyle (3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (8, 15, 17)$; Înmulțite cu același număr rămân triplete: $(6, 8, 10)$, $(15, 20, 25)$.
Cateta opusă unghiului de 30°: $\displaystyle m(\sphericalangle B) = 30^\circ \Rightarrow AC = \frac{BC}{2}$; În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză. Și invers.
Mediana din unghiul drept: $\displaystyle AM = \frac{BC}{2}$; $AM$ este mediana din vârful unghiului drept, $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$. Și invers: dacă mediana este jumătate din latura pe care cade, unghiul este drept.

Cerculteorie

Diametrul: $\displaystyle d = 2 \cdot r$; Diametrul este coarda care trece prin centru.
Unghiul la centru: $\displaystyle m(\sphericalangle AOB) = m(\overset{\frown}{AB})$; Arcul mic are măsura unghiului la centru; arcul mare, restul până la $360^\circ$.
Poziția unui punct față de cerc: $\displaystyle OP < r: \text{ interior}$$\displaystyle OP = r: \text{ pe cerc}$$\displaystyle OP > r: \text{ exterior}$
Poziția unei drepte față de cerc: $\displaystyle d > r: \text{ exterioară}$$\displaystyle d = r: \text{ tangentă}$$\displaystyle d < r: \text{ secantă}$; $d$ este distanța de la centru la dreaptă. Tangenta are un singur punct comun cu cercul, secanta două.
Pozițiile a două cercuri: $\displaystyle d > r_1 + r_2: \text{ exterioare}$$\displaystyle d = r_1 + r_2: \text{ tangente exterior}$$\displaystyle r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2: \text{ secante}$$\displaystyle d = r_1 - r_2: \text{ tangente interior}$$\displaystyle d < r_1 - r_2: \text{ interioare}$; $d$ este distanța dintre centre, $r_1 > r_2$. Pentru $d = 0$, cercurile sunt concentrice.

Arii și perimetre ale figurilor planeteorie

Perimetrul triunghiului: $\displaystyle P = a + b + c$$\displaystyle P_{\text{isoscel}} = 2 \cdot l + b$$\displaystyle P_{\text{echilateral}} = 3 \cdot l$; La triunghiul isoscel, $l$ este latura egală și $b$ baza.

Date și probabilități

Dateteorie

Probabilitatea: $\displaystyle P = \frac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$; $0 \leq P \leq 1$: $0$ pentru evenimentul imposibil, $1$ pentru cel sigur. Numerele de două cifre sunt $90$, de la $10$ la $99$.
Diagrama circulară: $\displaystyle \text{unghiul sectorului} = \frac{p}{100} \cdot 360^\circ$; $p\%$ este partea din total. Un sfert din date, $25\%$, ocupă $90^\circ$.

Clasa a VII-a

Numere și algebră

Numere realeteorie

Mulțimile de numere: $\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$; Numerele reale care nu sunt raționale sunt iraționale: au o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic.
Rădăcina pătrată: $\displaystyle \sqrt{a^2} = a \ (a \geq 0), \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$; Un număr este pătrat perfect dacă fiecare factor prim apare în descompunere de un număr par de ori.
Înmulțirea și împărțirea radicalilor: $\displaystyle \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$$\displaystyle \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$; Pentru $a \geq 0$, $b > 0$.
Scoaterea și introducerea factorilor: $\displaystyle \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$$\displaystyle a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$; Pentru $a, b \geq 0$. De exemplu, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$; ca să compari $2\sqrt{3}$ și $3\sqrt{2}$, compari $\sqrt{12}$ și $\sqrt{18}$.
Raționalizarea numitorului: $\displaystyle \frac{c}{a\sqrt{b}} = \frac{c\sqrt{b}}{a \cdot b}$; Amplifici cu $\sqrt{b}$, nu cu tot numitorul. $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
Ecuația x² = a: $\displaystyle x^2 = a,\ a > 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{a}$; Pentru $a = 0$, $x = 0$; pentru $a < 0$ nu există soluții reale. $x^2 = 49$ dă $x = 7$ sau $x = -7$.

Modul, intervale de numere realeteorie

Modulul unui număr real: $\displaystyle |a| = a, \text{ dacă } a \geq 0$$\displaystyle |a| = -a, \text{ dacă } a < 0$$\displaystyle |a \cdot b| = |a| \cdot |b|$; Ca să scoți un modul cu radical, afli întâi semnul: $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$, pentru că $\sqrt{2} > 1$.
Încadrarea unui radical: $\displaystyle n^2 < a < (n + 1)^2$$\displaystyle \Rightarrow n < \sqrt{a} < n + 1$; $36 < 40 < 49$, deci $6 < \sqrt{40} < 7$.

Ecuații de gradul Iteorie

Ecuația de gradul I: $\displaystyle a \cdot x + b = 0,\ a \neq 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$; Dacă ajungi la $0 \cdot x = c$: pentru $c \neq 0$ nu există soluții, $S = \varnothing$; pentru $c = 0$, orice număr real este soluție, $S = \mathbb{R}$.

Funcțiiteorie

Distanța dintre două puncte: $\displaystyle AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$; Vine din teorema lui Pitagora: diferențele coordonatelor sunt catetele.
Simetricele unui punct: $\displaystyle M(a, b) \to (a, -b) \text{ față de } Ox$$\displaystyle M(a, b) \to (-a, b) \text{ față de } Oy$$\displaystyle M(a, b) \to (-a, -b) \text{ față de } O$

Mediiteorie

Media aritmetică ponderată: $\displaystyle m_p = \frac{a_1 p_1 + a_2 p_2 + \ldots + a_n p_n}{p_1 + p_2 + \ldots + p_n}$; Fiecare număr se înmulțește cu ponderea lui. Cu toate ponderile egale, este media aritmetică.
Media geometrică: $\displaystyle m_g = \sqrt{a \cdot b}$; Pentru două numere pozitive $a$ și $b$. Media geometrică a lui $4$ și $9$ este $6$.

Geometrie

Patrulatereteorie

Suma unghiurilor unui patrulater: $\displaystyle \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^\circ$; Pentru un patrulater convex: o diagonală îl împarte în două triunghiuri.
Paralelogramul: $\displaystyle AB = CD, \quad AD = BC$$\displaystyle \hat{A} = \hat{C}, \quad \hat{B} = \hat{D}$$\displaystyle \hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$; Diagonalele se înjumătățesc. Dreptunghiul are diagonalele congruente; rombul are diagonalele perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor; pătratul le are pe toate.

Linia mijlocieteorie

Linia mijlocie în triunghi: $\displaystyle MN \parallel BC, \quad MN = \frac{BC}{2}$; $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$.
Linia mijlocie în trapez: $\displaystyle MN = \frac{B + b}{2}$; $B$ și $b$ sunt bazele; $MN$ unește mijloacele laturilor neparalele și este paralelă cu bazele.
Centrul de greutate: $\displaystyle AG = \frac{2}{3} \cdot AM, \qquad AG = 2 \cdot GM$; $G$ este punctul comun al medianelor, $AM$ o mediană.

Teorema lui Thales și reciproca; segmente proporționaleteorie

Teorema lui Thales: $\displaystyle MN \parallel BC \Rightarrow \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$; $M \in AB$, $N \in AC$. Și reciproca: dacă rapoartele sunt egale, atunci $MN \parallel BC$.
Teorema bisectoarei: $\displaystyle \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$; $AD$ este bisectoarea unghiului $A$, cu $D$ pe $BC$: latura opusă se împarte în raportul laturilor alăturate. $AB = 12$, $AC = 8$, $BC = 15$ dau $DB = 9$, $DC = 6$.

Asemănarea triunghiurilorteorie

Triunghiuri asemenea: $\displaystyle \triangle ABC \sim \triangle DEF \Rightarrow$$\displaystyle \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k$; Unghiurile corespunzătoare sunt congruente. Criterii: UU (două unghiuri), LUL (un unghi între laturi proporționale), LLL.
Raportul ariilor: $\displaystyle \frac{\mathcal{A}_{DEF}}{\mathcal{A}_{ABC}} = k^2$; Dacă laturile se dublează, aria se face de $4$ ori mai mare.

Triunghiul dreptunghicteorie

Teorema înălțimii și teorema catetei: $\displaystyle AD^2 = BD \cdot DC$$\displaystyle AB^2 = BD \cdot BC$$\displaystyle AC^2 = DC \cdot BC$; Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, $AD \perp BC$; $BD$ și $DC$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Înălțimea din unghiul drept: $\displaystyle AD = \frac{AB \cdot AC}{BC}$; Aria se scrie în două feluri: $\frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{BC \cdot AD}{2}$.
Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă: $\displaystyle \sin B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuza}}$$\displaystyle \cos B = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuza}}$$\displaystyle \operatorname{tg} B = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$$\displaystyle \operatorname{ctg} B = \frac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}$; $B$ este un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic.
Valori de reținut: $\displaystyle \sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$\displaystyle \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$\displaystyle \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \operatorname{tg} 45^\circ = 1$$\displaystyle \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$
Diagonala pătratului și înălțimea triunghiului echilateral: $\displaystyle d = l\sqrt{2}, \qquad h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$; $l$ este latura. Pătratul cu latura $5$ cm are diagonala $5\sqrt{2}$ cm.
Reciproca teoremei lui Pitagora: $\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2$$\displaystyle \Rightarrow m(\sphericalangle A) = 90^\circ$; Dacă pătratul unei laturi este suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic: $6$, $8$, $10$.

Cerculteorie

Unghiul înscris: $\displaystyle m(\sphericalangle ACB) = \frac{m(\overset{\frown}{AB})}{2}$; Vârful $C$ este pe cerc. Un unghi înscris într-un semicerc are $90^\circ$.
Lungimea cercului și aria discului: $\displaystyle L = 2\pi r, \qquad \mathcal{A} = \pi r^2$
Tangentele dintr-un punct exterior: $\displaystyle PA = PB, \qquad OA \perp PA$; $PA$ și $PB$ sunt tangentele din $P$, cu $A$ și $B$ pe cerc. Raza în punctul de tangență este perpendiculară pe tangentă.
Poligonul regulat: $\displaystyle \text{la centru: } \frac{360^\circ}{n}$$\displaystyle \text{unghiul poligonului: } \frac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$; $n$ este numărul de laturi. Hexagonul regulat: $60^\circ$ la centru, $120^\circ$ unghiul; latura lui este egală cu raza.
Triunghiul echilateral: raza și apotema: $\displaystyle R = \frac{l\sqrt{3}}{3}, \quad a = \frac{l\sqrt{3}}{6}$; $l$ – latura, $R$ – raza cercului circumscris, $a$ – apotema (distanța de la centru la o latură). $R$ este două treimi din înălțime, $a$ o treime: $h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.
Pătratul: raza și apotema: $\displaystyle R = \frac{l\sqrt{2}}{2}, \quad a = \frac{l}{2}$; $l$ – latura, $R$ – raza cercului circumscris, $a$ – apotema (distanța de la centru la o latură). $R$ este jumătate din diagonală.
Hexagonul regulat: raza și apotema: $\displaystyle R = l, \quad a = \frac{l\sqrt{3}}{2}$; $l$ – latura, $R$ – raza cercului circumscris, $a$ – apotema (distanța de la centru la o latură). Hexagonul regulat este format din șase triunghiuri echilaterale cu vârful în centru.

Arii și perimetre ale figurilor planeteorie

Aria triunghiului: $\displaystyle \mathcal{A} = \frac{b \cdot h}{2}$$\displaystyle \mathcal{A}_{\text{dreptunghic}} = \frac{c_1 \cdot c_2}{2}$; $h$ este înălțimea pe baza $b$; $c_1$, $c_2$ sunt catetele.
Aria triunghiului echilateral: $\displaystyle \mathcal{A} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$; La latura de $4$ cm, aria este $4\sqrt{3}$ cm$^2$.
Aria paralelogramului și a rombului: $\displaystyle \mathcal{A}_{\text{paralelogram}} = b \cdot h$$\displaystyle \mathcal{A}_{\text{romb}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$; $d_1$ și $d_2$ sunt diagonalele rombului.
Aria trapezului: $\displaystyle \mathcal{A} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$; $B$ și $b$ sunt bazele, $h$ înălțimea.
Aria hexagonului regulat: $\displaystyle \mathcal{A} = 6 \cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$; Șase triunghiuri echilaterale cu latura l. Este baza prismei și a piramidei hexagonale din clasa a VIII-a.

Clasa a VIII-a

Numere și algebră

Formule de calcul prescurtatteorie

Pătratul unei sume și al unei diferențe: $\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$\displaystyle (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$; Doar termenul din mijloc are semnul din paranteză. De aici și $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$.
Diferența de pătrate: $\displaystyle (a - b)(a + b) = a^2 - b^2$; Folosită și la radicali: $\left(\sqrt{5} - 2\right)\left(\sqrt{5} + 2\right) = 5 - 4 = 1$.

Calcul algebricteorie

Calculul cu monoame: $\displaystyle a x^m \cdot b x^n = ab\, x^{m+n}$$\displaystyle a x^m : b x^n = \frac{a}{b}\, x^{m-n}$$\displaystyle \left(a x^m\right)^n = a^n x^{m \cdot n}$; Monoamele asemenea (aceeași parte de litere) se adună adunând coeficienții: $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$.

Descompuneri în factoriteorie

Descompunerea în factori: $\displaystyle ab + ac = a(b + c)$$\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$\displaystyle a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$; Ordinea: factor comun, apoi formule, apoi gruparea termenilor. La sfârșit verifici dacă vreun factor se mai descompune.

Ecuația de gradul al II-leateorie

Ecuația de gradul al II-lea: $\displaystyle a x^2 + b x + c = 0, \quad a \neq 0$$\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac$$\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$; Dacă $\Delta > 0$, două soluții; dacă $\Delta = 0$, una singură, $x = -\frac{b}{2a}$; dacă $\Delta < 0$, nicio soluție reală. Fără termen liber, dai factor comun: $3x^2 + 5x = x(3x + 5)$.
Descompunerea trinomului: $\displaystyle a x^2 + b x + c = a (x - x_1)(x - x_2)$; $x_1$, $x_2$ sunt soluțiile ecuației, când $\Delta \geq 0$. Folosită la simplificarea fracțiilor: $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Modul, intervale de numere realeteorie

Intervale de numere reale: $\displaystyle [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$$\displaystyle (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$$\displaystyle [a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$; Paranteza pătrată include capătul, cea rotundă nu. La infinit, paranteza este mereu rotundă.
Modulul ca distanță: $\displaystyle |x - a| \leq r \iff x \in [a - r, a + r]$; $|x - a|$ este distanța dintre $x$ și $a$ pe axă. De exemplu, $|x - 2| \leq 3 \iff x \in [-1, 5]$.

Inecuații de forma ax + b ≥ 0teorie

Inecuația a · x + b ≥ 0: $\displaystyle a > 0: \ x \geq -\frac{b}{a}$$\displaystyle a < 0: \ x \leq -\frac{b}{a}$; La împărțirea cu un număr negativ, sensul se schimbă. Soluția se scrie ca interval.

Funcțiiteorie

Funcția liniară: $\displaystyle f(x) = a x + b$$\displaystyle M(m, n) \in G_f \iff f(m) = n$; Pe $\mathbb{R}$, graficul este o dreaptă; două puncte o determină.
Intersecțiile graficului cu axele: $\displaystyle G_f \cap Oy: \ (0, b)$$\displaystyle G_f \cap Ox: \ \left(-\frac{b}{a}, 0\right), \ a \neq 0$; Cu $Oy$ calculezi $f(0)$, cu $Ox$ rezolvi $f(x) = 0$.

Geometrie

Perpendicularitate în spațiu, proiecții ortogonale, teorema celor trei perpendiculareteorie

Teorema celor trei perpendiculare: $\displaystyle PA \perp \alpha,\ AM \perp d,\ d \subset \alpha$$\displaystyle \Rightarrow PM \perp d$$\displaystyle PM = \sqrt{PA^2 + AM^2}$; $PM$ este distanța de la $P$ la dreapta $d$.
Lungimea proiecției: $\displaystyle \text{pr}_\alpha AB = AB \cdot \cos u$; $u$ este unghiul dintre segment și plan.

Unghiuri și distanțe în corpuri geometriceteorie

Triunghiurile din piramida regulată: $\displaystyle VA^2 = VO^2 + OA^2$$\displaystyle a_p^2 = VM^2 = VO^2 + OM^2$; $O$ este centrul bazei, $M$ mijlocul unei laturi. $OA$ este raza cercului circumscris bazei, $OM$ apotema bazei (formulele lor, pe fișa clasei a VII-a). „Muchia laterală” cere $OA$; „fața laterală” cere $OM$.

Poliedreteorie

Prisma dreaptă: $\displaystyle A_l = P_b \cdot h$$\displaystyle A_t = A_l + 2 A_b$$\displaystyle V = A_b \cdot h$; $P_b$ – perimetrul bazei, $A_b$ – aria bazei, $h$ – înălțimea.
Paralelipipedul dreptunghic: $\displaystyle A_t = 2(ab + bc + ca)$$\displaystyle V = a \cdot b \cdot c$$\displaystyle d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$; $d$ este diagonala corpului: $12$, $4$, $3$ dau $d = \sqrt{169} = 13$.
Cubul: $\displaystyle A_t = 6l^2, \quad V = l^3$$\displaystyle d = l\sqrt{3}$
Piramida regulată: $\displaystyle A_l = \frac{P_b \cdot a_p}{2}$$\displaystyle A_t = A_l + A_b$$\displaystyle V = \frac{A_b \cdot h}{3}$; $a_p$ – apotema piramidei (înălțimea unei fețe laterale), $h$ – înălțimea piramidei.
Tetraedrul regulat: $\displaystyle A_t = l^2\sqrt{3}$$\displaystyle h = \frac{l\sqrt{6}}{3}, \quad V = \frac{l^3\sqrt{2}}{12}$; Toate cele șase muchii au lungimea $l$. La muchia de $6$ cm, $V = 18\sqrt{2}$ cm$^3$.
Trunchiul de piramidă regulată: $\displaystyle A_l = \frac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}$$\displaystyle V = \frac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}\right)$; $B$ – baza mare, $b$ – baza mică, $a_t$ – apotema trunchiului. Bazele $10$ și $4$ cm, înălțimea $4$ cm: $a_t = 5$ cm, $A_l = 140$ cm$^2$, $V = 208$ cm$^3$.
Secțiunea paralelă cu baza: $\displaystyle \frac{l'}{l} = \frac{h'}{h} = k$$\displaystyle \frac{A'}{A} = k^2, \qquad \frac{V'}{V} = k^3$; Planul paralel cu baza taie o piramidă (sau un con) mai mică, asemenea cu cea mare. Dacă $k = \frac{1}{2}$, volumul mic este $\frac{1}{8}$ din cel mare.

Corpuri rotundeteorie

Cilindrul: $\displaystyle A_l = 2\pi R h$$\displaystyle A_t = 2\pi R (h + R)$$\displaystyle V = \pi R^2 h$
Conul: $\displaystyle G^2 = R^2 + h^2$$\displaystyle A_l = \pi R G, \quad A_t = \pi R (G + R)$$\displaystyle V = \frac{\pi R^2 h}{3}$; $G$ este generatoarea.
Desfășurarea conului: $\displaystyle u = \frac{360^\circ \cdot R}{G}$; Suprafața laterală se desfășoară într-un sector de cerc cu raza $G$ și unghiul $u$; arcul lui este cercul bazei, $2\pi R$. Nu invers: $R$ sus, $G$ jos.
Trunchiul de con: $\displaystyle G^2 = h^2 + (R - r)^2$$\displaystyle A_l = \pi G (R + r)$$\displaystyle V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + R r\right)$; Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele $2R$ și $2r$.
Sfera: $\displaystyle A = 4\pi R^2$$\displaystyle V = \frac{4\pi R^3}{3}$

Date și probabilități

Dateteorie

Amplitudinea și modul: $\displaystyle \text{amplitudinea} = x_{\max} - x_{\min}$; Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare. Pentru 7, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 5, 10, 6: amplitudinea 5, modul 8 (media, de la clasa a V-a, 7,4).
Mediana: $\displaystyle n \text{ impar: } x_{\frac{n+1}{2}}$$\displaystyle n \text{ par: } \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$; Valoarea din mijloc a datelor ordonate crescător, $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$. La un număr par de date, media celor două din mijloc.