Teorie · A9 Mulțimi. Numere · clasa a VII-a
Modulul și aproximările în clasa a VII-a: modulul unui număr real, estimarea radicalilor
Modulul unui număr real și proprietățile lui, cum scoți un modul care conține un radical, cum estimezi un radical între doi întregi și cum îl aproximezi la zecimi prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire — materia de clasa a VII-a, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Aproximările de radicali sunt foarte vechi. Pe tăblița babiloniană YBC 7289, scrisă în jurul anului 1700 î.Hr. și păstrată azi la Universitatea Yale, este desenat un pătrat cu diagonalele, iar lângă o diagonală este scrisă o valoare a lui $\sqrt{2}$ în baza $60$. În scrierea noastră, valoarea este aproximativ $1{,}41421296$, corectă la aproximativ șase zecimale — cea mai precisă aproximare cunoscută din lumea antică.
Modulul, pe care anul acesta îl extinzi la toate numerele reale, a primit un nume abia în secolul al XIX-lea. Jean-Robert Argand a folosit în 1806 cuvântul francez „module”, adică „unitate de măsură”, iar notația $|x|$ a introdus-o Karl Weierstrass în 1841.
La ce folosește
Diagonala unui ecran de $80$ cm pe $45$ cm este $\sqrt{80^2+45^2}=\sqrt{8425}$ cm. Nimeni nu măsoară un televizor în radicali: se spune „cam $92$ cm”, adică aproximarea la unități.
Toleranțele din industrie se scriu cu modul. O piesă cu diametrul de $10$ mm și toleranța de $0{,}05$ mm este bună dacă diametrul ei $d$ verifică $|d-10|\le 0{,}05$, adică $d$ este între $9{,}95$ mm și $10{,}05$ mm. O piesă de $10{,}07$ mm este respinsă, pentru că $|10{,}07-10|=0{,}07$.
Calculatorul afișează radicalii aproximați: $\sqrt{2}$ apare ca $1{,}4142135\ldots$, tăiat după câteva cifre. Când scrii un rezultat „la zecimi” sau „la sutimi”, alegi tu câte cifre păstrezi și cum le rotunjești.
De bază
Din clasa a VI-a știi modulul numerelor raționale. Pentru orice număr real $a$: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$. Rămâne distanța de la $a$ la $0$ pe axă, deci $|a|\ge 0$, iar $|a|=|-a|$ și $|a\cdot b|=|a|\cdot|b|$.
Exemplu: $\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$. Iar $\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$, pentru că $\sqrt{2}>1$, deci $1-\sqrt{2}$ este negativ, iar modulul îi schimbă semnul.
Ca să așezi un radical pe axă, îl încadrezi între doi întregi consecutivi, comparând pătratele: dacă $n^2<a<(n+1)^2$, atunci $n<\sqrt{a}<n+1$.
Exemplul 2: $16<20<25$, deci $4<\sqrt{20}<5$. Și $1<2<4$, deci $1<\sqrt{2}<2$; mai precis, $1{,}4^2=1{,}96<2<2{,}25=1{,}5^2$, deci $1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$. Aproximarea la zecimi prin lipsă este $1{,}4$, prin adaos $1{,}5$.
Mediu
Ca să scoți un modul care conține un radical, afli întâi semnul expresiei din interior. Dacă este pozitivă, modulul o lasă neschimbată; dacă este negativă, schimbă semnul întregii expresii.
Exemplu: $\left|2-\sqrt{5}\right|+\left|3-\sqrt{5}\right|$. Cum $4<5<9$, avem $2<\sqrt{5}<3$. Deci $2-\sqrt{5}<0$ și $\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$, iar $3-\sqrt{5}>0$ și $\left|3-\sqrt{5}\right|=3-\sqrt{5}$. Suma este $\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$.
Două numere cu radicali le compari introducând factorii sub radical: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ și $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, iar $12<18$, deci $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$.
Aproximarea la zecimi se face prin lipsă (numărul imediat mai mic cu o zecimală), prin adaos (cel imediat mai mare) sau prin rotunjire (cel mai apropiat). Pentru rotunjire ai nevoie de cifra următoare.
Exemplul 2: aproximează $\sqrt{10}$. Cum $3{,}1^2=9{,}61<10<10{,}24=3{,}2^2$, prin lipsă la zecimi este $3{,}1$, iar prin adaos $3{,}2$. Pentru rotunjire mai cauți o cifră: $3{,}16^2=9{,}9856<10<10{,}0489=3{,}17^2$, deci $\sqrt{10}=3{,}16\ldots$ Cifra sutimilor este $6\ge 5$, așa că la zecimi se rotunjește la $3{,}2$.
Avansat
Ideea 1 — $\sqrt{x^2}=|x|$, nu $x$. Când radicalul conține un pătrat, rezultatul este un modul, și semnul lui trebuie decis.
Exemplu: $\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}+\left|\sqrt{2}-2\right|$. Primul termen este $\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$, pentru că $\sqrt{2}>1$. Al doilea este $2-\sqrt{2}$, pentru că $\sqrt{2}<2$. Suma este $\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}=1$.
Aceeași idee rezolvă ecuația $x^2=9$: ea înseamnă $|x|=3$, deci $x=3$ sau $x=-3$.
Ideea 2 — $|x-a|$ este distanța dintre $x$ și $a$ pe axă, și pentru numere reale.
Exemplul 2: rezolvă $\left|x-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$. Fie $x-\sqrt{2}=\sqrt{2}$, deci $x=2\sqrt{2}$, fie $x-\sqrt{2}=-\sqrt{2}$, deci $x=0$. Ambele sunt la distanța $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$.
Ideea 3 — o sumă de module este $0$ doar dacă fiecare modul este $0$.
Exemplul 3: din $\left|x-\sqrt{3}\right|+\left|y+\sqrt{2}\right|=0$ rezultă $x-\sqrt{3}=0$ și $y+\sqrt{2}=0$, adică $x=\sqrt{3}$ și $y=-\sqrt{2}$.
Greșeli frecvente
Modulul care schimbă doar primul termen: $\left|2-\sqrt{5}\right|$ nu este $2+\sqrt{5}$, ci $\sqrt{5}-2$. Semnul se schimbă pentru toată expresia.
Modulul scos fără verificarea semnului: $\left|3-\sqrt{5}\right|=3-\sqrt{5}$ pentru că $\sqrt{5}<3$, dar $\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$ pentru că $\sqrt{5}>2$. Fiecare modul se verifică separat.
$\sqrt{x^2}=x$ scris fără modul: $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$, nu $-3$. De aici și ecuația $x^2=9$ cu o singură soluție, uitând de $-3$.
Radicalul încadrat greșit: $\sqrt{20}$ nu este între $10$ și $11$ (nu se împarte la $2$) — compari $20$ cu pătratele perfecte $16$ și $25$.
Aproximările amestecate: prin lipsă se ia valoarea mai mică, prin adaos cea mai mare, iar „la zecimi” înseamnă o singură cifră după virgulă. Rotunjirea lui $\sqrt{10}=3{,}16\ldots$ la zecimi este $3{,}2$, nu $3{,}1$.
Surse pentru partea istorică
- Tăblița YBC 7289, în jurul anului 1700 î.Hr., la Yale, cu radical din 2 aproximat la circa 1,41421296, corect la șase zecimale — en.wikipedia.org
- Argand folosește termenul „module” în 1806, Weierstrass introduce notația cu bare verticale în 1841 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.