Teorie · A9 Mulțimi. Numere · clasa a VIII-a
Intervale de numere reale în clasa a VIII-a: notație, reuniune, intersecție, mulțimi definite printr-o proprietate
Intervalele de numere reale și reprezentarea lor pe axă, reuniunea și intersecția intervalelor, mulțimile definite printr-o proprietate a elementelor și legătura dintre modul și interval — ce este nou în clasa a VIII-a, cu exemple rezolvate de la regulă la problemele care cer o idee.
De unde vine
Ideea de a închide un număr într-un interval este foarte veche. Arhimede, în lucrarea „Măsurarea cercului”, scrisă în jurul anului 250 î.Hr., nu a dat o singură valoare pentru $\pi$, ci două margini: a arătat, cu poligoane regulate cu $96$ de laturi înscrise și circumscrise cercului, că $\pi$ este mai mare decât $3\frac{10}{71}$ și mai mic decât $3\frac{1}{7}$ — adică $\pi$ se află într-un interval.
Simbolul $\infty$, care apare la capătul intervalelor nemărginite, i se atribuie englezului John Wallis, care l-a folosit în 1655 în lucrarea „De sectionibus conicis”.
Nici notația intervalelor nu este aceeași peste tot. Pentru un interval deschis, în manualele românești scrii $(a,b)$, dar în Franța se scrie $]a,b[$, notație introdusă de grupul de matematicieni Bourbaki ca să nu se confunde intervalul cu perechea de numere $(a,b)$.
La ce folosește
Etichetele de păstrare dau intervale: un medicament care trebuie ținut la frigider „între $2$ °C și $8$ °C” are temperatura permisă în intervalul $[2,8]$.
Toleranțele din industrie: o piesă cu diametrul de $10$ mm și toleranța de $0{,}05$ mm este bună dacă $|d-10|\le 0{,}05$, adică $d\in[9{,}95;\ 10{,}05]$.
Intersecția apare când se cer mai multe condiții deodată. Un concurs pentru elevii „cu vârsta de cel puțin $12$ ani” și „sub $15$ ani” acceptă vârstele din $[12,+\infty)\cap(0,15)=[12,15)$.
De bază
Un interval este mulțimea tuturor numerelor reale dintre două capete. Paranteza pătrată înseamnă că acel capăt face parte din interval, cea rotundă că nu: $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$, $(a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}$, $[a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x<b\}$.
La infinit paranteza este mereu rotundă, pentru că $+\infty$ nu este un număr: $(2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>2\}$, $(-\infty,3]=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le 3\}$. Pe axă, un capăt inclus se marchează plin, unul exclus gol.
Exemplu: $[-1,5)$ conține toate numerele reale $x$ cu $-1\le x<5$ — o infinitate de numere, de exemplu $0{,}5$ sau $\sqrt{2}$. Numerele întregi din el sunt însă doar șase: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$. Capătul $5$ nu intră.
O mulțime poate fi dată printr-o proprietate a elementelor ei. $\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge -2\}$ este intervalul $[-2,+\infty)$; $\{x\in\mathbb{Z}\mid -2\le x<1\}=\{-2,-1,0\}$ nu este un interval, pentru că are doar numere întregi.
Mediu
Intersecția a două intervale, $A\cap B$, conține numerele aflate în ambele. Reuniunea, $A\cup B$, pe cele aflate în cel puțin unul. Le citești cel mai ușor desenând intervalele unul sub altul, pe aceeași axă.
Exemplu: $A=[-1,5)$ și $B=(2,7]$. Un număr din ambele este mai mare decât $2$ și mai mic decât $5$. Capătul $2$ lipsește din $B$, iar $5$ din $A$, deci $A\cap B=(2,5)$, ca în figură. Reuniunea acoperă totul de la $-1$ la $7$: $A\cup B=[-1,7]$.
Când mulțimea este dată printr-o inegalitate, o rezolvi și scrii rezultatul ca interval.
Exemplul 2: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid -3<2x+1\le 7\}$. Scazi $1$ în toți membrii: $-4<2x\le 6$; împarți la $2$: $-2<x\le 3$. Deci $A=(-2,3]$.
Din clasa a VII-a știi că $|x-a|$ este distanța dintre $x$ și $a$. De aceea $|x-a|\le r$ înseamnă $a-r\le x\le a+r$, adică $x\in[a-r,a+r]$.
Exemplul 3: $|x-2|\le 3$ înseamnă $-3\le x-2\le 3$, adică $-1\le x\le 5$. Mulțimea soluțiilor este $[-1,5]$ — numerele aflate la distanța cel mult $3$ de $2$.
Avansat
Ideea 1 — când capetele sunt radicali, le încadrezi între întregi înainte să numeri.
Exemplu: câte numere întregi sunt în $\left[-\sqrt{10},\sqrt{5}\right)$? Din $9<10<16$ rezultă $3<\sqrt{10}<4$, deci $-\sqrt{10}$ este între $-4$ și $-3$; din $4<5<9$ rezultă $2<\sqrt{5}<3$. Întregii din interval sunt $-3,-2,-1,0,1,2$, adică $6$.
Ideea 2 — fiecare condiție devine un interval, apoi operezi cu intervalele.
Exemplul 2: $A=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-1|<3\}$ și $B=\{x\in\mathbb{R}\mid 2x-3\ge 1\}$. Din $-3<x-1<3$ rezultă $A=(-2,4)$. Din $2x\ge 4$ rezultă $B=[2,+\infty)$. Atunci $A\cap B=[2,4)$, $A\cup B=(-2,+\infty)$, iar diferența $A\setminus B$ — numerele din $A$ care nu sunt în $B$ — este $(-2,2)$.
Ideea 3 — o sumă de distanțe poate avea ca soluție un interval întreg.
Exemplul 3: ecuația $|x+2|+|x-4|=6$ cere ca suma distanțelor de la $x$ la $-2$ și la $4$ să fie $6$ — exact distanța dintre $-2$ și $4$. Orice $x$ aflat între ele o verifică, iar unul din afară dă o sumă mai mare. Mulțimea soluțiilor este intervalul $[-2,4]$.
Greșeli frecvente
Paranteza pătrată la infinit: $[2,+\infty]$ este greșit scris, pentru că $+\infty$ nu este un număr și nu poate aparține intervalului. Corect: $[2,+\infty)$.
Capetele la intersecție: un capăt intră în $A\cap B$ doar dacă aparține ambelor intervale. $[-1,5)\cap(2,7]$ este $(2,5)$, nu $[2,5]$.
Reuniunea confundată cu intersecția: intersecția conține numerele comune, deci este inclusă în fiecare interval; reuniunea le cuprinde pe toate.
Intervalul citit ca listă de întregi: $[-1,5)$ nu înseamnă $\{-1,0,1,2,3,4\}$, ci toate numerele reale dintre capete, și $\frac{1}{2}$, și $\sqrt{2}$. Doar dacă se cer numerele întregi le enumeri.
Capetele inversate: un interval se scrie mereu de la capătul mai mic la cel mai mare. $(5,-1)$ nu are sens; este $(-1,5)$.
La $|x-2|\le 3$, un singur capăt: soluția nu este $x\le 5$, ci $-1\le x\le 5$ — distanța se măsoară în ambele părți.
Surse pentru partea istorică
- Arhimede, Măsurarea cercului (în jurul anului 250 î.Hr.): pi între 3 10/71 și 3 1/7, cu poligoane de 96 de laturi înscrise și circumscrise — en.wikipedia.org
- Simbolul infinitului, atribuit lui John Wallis, De sectionibus conicis (1655) — en.wikipedia.org
- Bourbaki a introdus notația ]a,b[ pentru intervalul deschis, ca să evite confuzia cu perechea ordonată — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.