Teorie · A9 Mulțimi. Numere · clasa a VI-a
Modulul în clasa a VI-a: opusul și modulul unui număr întreg sau rațional
Opusul și modulul unui număr întreg sau rațional, modulul ca distanță până la 0 pe axă, compararea numerelor negative și primele ecuații cu modul, așa cum se învață în clasa a VI-a, cu exemple rezolvate de la regulă la problemele care cer o idee.
De unde vine
Numerele negative apar pentru prima dată în „Cele nouă capitole despre arta matematică”, o carte chinezească din vremea dinastiei Han (202 î.Hr. – 220 d.Hr.). Calculul se făcea cu bețișoare: cele roșii însemnau numere pozitive, cele negre numere negative. Matematicianul Liu Hui (secolul al III-lea) a scris regulile de calcul cu ele.
În India, Brahmagupta, în secolul al VII-lea, folosea numerele negative pentru datorii. În Europa au fost mult timp privite cu neîncredere; abia „Ars Magna” a lui Gerolamo Cardano (1545) le tratează într-un mod satisfăcător.
Modulul a primit un nume mult mai târziu. Francezul Jean-Robert Argand a folosit în 1806 cuvântul „module”, care înseamnă „unitate de măsură”, iar notația cu două bare verticale, $|x|$, a introdus-o germanul Karl Weierstrass în 1841.
La ce folosește
Liftul: de la etajul $-2$ (parcarea subterană) până la etajul $3$ sunt $|3-(-2)|=5$ etaje. Distanța nu depinde de sensul în care mergi, de aceea este un modul.
Temperatura: dacă dimineața erau $-4$ °C, iar la prânz $6$ °C, temperatura a crescut cu $|6-(-4)|=10$ grade. Temperaturile $-5$ °C și $5$ °C sunt la fel de departe de $0$ °C, dar una e sub îngheț și cealaltă peste.
Soldul unui cont: un sold de $-200$ de lei înseamnă o datorie de $200$ de lei. Modulul spune „cât”, semnul spune „în ce sens”.
De bază
Pe axa numerelor, $0$ este originea, numerele pozitive sunt la dreapta, cele negative la stânga. Opusul unui număr este numărul aflat la aceeași distanță de $0$, de partea cealaltă: opusul lui $4$ este $-4$, opusul lui $-7$ este $7$, iar opusul lui $0$ este $0$.
Modulul unui număr este distanța de la el la $0$ pe axă. Se notează cu bare: $|5|=5$, $|-7|=7$, $|0|=0$. Un număr și opusul lui au același modul, iar modulul nu este niciodată negativ.
Exemplu: numerele cu modulul $4$ sunt cele aflate la distanța $4$ de $0$: $4$ și $-4$ (vezi figura). Numărul $-4$ este la stânga lui $0$, dar distanța este tot $4$.
Compararea numerelor negative: dintre două numere negative, mai mare este cel cu modulul mai mic, adică cel mai apropiat de $0$.
Exemplul 2: $-8<-3$, pentru că $|-8|=8$ este mai mare decât $|-3|=3$: $-8$ este mai la stânga pe axă. Orice număr negativ este mai mic decât $0$ și decât orice număr pozitiv.
Mediu
Modulul se aplică la fel numerelor raționale: $\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$, $|-2{,}5|=2{,}5$. Într-un calcul, afli întâi valoarea fiecărui modul, apoi faci operațiile.
Exemplu: $|-5|+|3|-|-2|=5+3-2=6$, iar $|-2{,}5|\cdot|4|=2{,}5\cdot 4=10$.
Exemplul 2: ordonează crescător $-\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{4}$, $0$ și $2$. Dintre cele negative, $\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$, deci $-\frac{3}{4}$ este mai departe de $0$ și este mai mic. Ordinea este $-\frac{3}{4}<-\frac{1}{2}<0<2$.
Ecuațiile simple cu modul se citesc ca distanțe. $|x|=3$ înseamnă „$x$ este la distanța $3$ de $0$”, deci $x\in\{-3,3\}$. Iar $|x|=-3$ nu are soluții: o distanță nu poate fi negativă.
Exemplul 3: numerele întregi $x$ cu $|x|<3$ sunt cele aflate la distanță mai mică decât $3$ de $0$: $-2, -1, 0, 1, 2$ — cinci numere. Numerele $-3$ și $3$ nu intră, pentru că modulul lor este exact $3$.
Avansat
Ideea care deblochează problemele grele: $|x-a|$ este distanța pe axă dintre $x$ și $a$. De exemplu, distanța dintre $-2$ și $3$ este $|3-(-2)|=5$.
Exemplu: rezolvă în numere întregi $|x-2|=5$. Numărul $x-2$ are modulul $5$, deci $x-2=5$ sau $x-2=-5$. Din prima ecuație $x=7$, din a doua $x=-3$. Pe axă: numerele aflate la distanța $5$ de $2$ sunt $7$ (la dreapta) și $-3$ (la stânga).
Exemplul 2: câte numere întregi $x$ au $|x|\le 4$? Sunt cele de la $-4$ la $4$: patru negative, $0$ și patru pozitive, adică $9$ numere. Atenție: „$\le$” include și $-4$ și $4$.
Exemplul 3: găsește numerele întregi $x$ cu $|x-1|\le 2$. Ele sunt la distanța cel mult $2$ de $1$, deci de la $1-2=-1$ până la $1+2=3$: $-1, 0, 1, 2, 3$.
Ideea 2 — o sumă de module este $0$ doar dacă fiecare modul este $0$, pentru că niciun modul nu este negativ. Din $|x|+|y|=0$ rezultă $x=0$ și $y=0$.
Greșeli frecvente
Modulul văzut ca „schimbă semnul”: $|5|=5$, nu $-5$. Modulul face numărul nenegativ; nu îl inversează mereu.
O singură soluție la $|x|=3$: și $-3$ are modulul $3$, deci soluțiile sunt $-3$ și $3$.
Compararea numerelor negative ca pe cele pozitive: $-8$ NU este mai mare decât $-3$. Pe axă, $-8$ este mai la stânga, deci mai mic.
Modulul unei diferențe calculat pe bucăți: $|3-8|=|-5|=5$, nu $|3|-|8|=-5$. Întâi faci operația dinăuntru, apoi iei modulul.
Distanța dintre un număr negativ și unul pozitiv calculată prin scădere simplă: între $-4$ și $6$ sunt $|6-(-4)|=10$ unități, nu $6-4=2$.
La „$|x|<3$” capetele incluse greșit: $3$ și $-3$ au modulul egal cu $3$, deci nu sunt mai mici decât $3$.
Surse pentru partea istorică
- Numerele negative apar în Cele nouă capitole (dinastia Han, 202 î.Hr. – 220 d.Hr.); bețișoare roșii pozitive, negre negative, reguli la Liu Hui (secolul al III-lea); Brahmagupta le folosește pentru datorii; Cardano, Ars Magna (1545) — en.wikipedia.org
- Argand folosește termenul „module” în 1806, Weierstrass introduce notația cu bare verticale în 1841 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.