Teorie · A9 Mulțimi. Numere · clasele VI–VIII
Modulul, intervale de numere reale și aproximări
Modulul unui număr real ca distanță pe axă, intervalele și operațiile cu ele (reuniune, intersecție) și aproximările prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire, de la regula de bază la problemele care cer o idee, cu exemple rezolvate.
De unde vine
Aproximările sunt foarte vechi. Pe tăblița babiloniană YBC 7289, scrisă între 1800 și 1600 î.Hr. și păstrată azi la Universitatea Yale, este desenat un pătrat cu diagonala, iar lângă ea o valoare a lui $\sqrt{2}$ scrisă în baza $60$. În scrierea noastră, valoarea este aproximativ $1{,}41421296$, corectă la aproximativ șase zecimale — cea mai precisă aproximare cunoscută din lumea antică.
Arhimede, în lucrarea „Măsurarea cercului”, scrisă în jurul anului 250 î.Hr., nu a dat o singură valoare pentru $\pi$, ci un interval: a arătat, cu poligoane regulate cu $96$ de laturi, că $\pi$ este mai mare decât $3\frac{10}{71}$ și mai mic decât $3\frac{1}{7}$. Adică $\pi$ se află între aproximativ $3{,}1408$ și $3{,}1428$ — o aproximare prin lipsă și una prin adaos.
Modulul are o istorie mai scurtă. Francezul Jean-Robert Argand a folosit în 1806 cuvântul „module”, care înseamnă „unitate de măsură”, iar notația cu două bare verticale, $|x|$, a fost introdusă de germanul Karl Weierstrass în 1841.
La ce folosește
Toleranțele din industrie se scriu cu modul. O piesă cu diametrul de $10$ mm și toleranța de $\pm 0{,}05$ mm este bună dacă diametrul ei $d$ verifică $|d-10|\le 0{,}05$, adică $d\in[9{,}95;\ 10{,}05]$. O piesă de $10{,}07$ mm iese din interval și este respinsă.
Banii se aproximează la bani, adică la sutimi de leu. Dacă trei prieteni împart $100$ de lei, fiecăruia îi revin $33{,}333\ldots$ lei. Prin lipsă, fiecare primește $33{,}33$ lei și rămâne în total $1$ ban neîmpărțit ($3\cdot 33{,}33=99{,}99$); prin adaos, $33{,}34$ lei, și s-ar plăti în total $100{,}02$ lei.
Intervalele apar pe orice etichetă cu condiții de păstrare: un medicament care trebuie ținut la frigider „între $2^\circ$C și $8^\circ$C” are temperatura permisă în intervalul $[2,8]$.
De bază
Modulul unui număr real $a$ este distanța de la $a$ la $0$ pe axă: $|a|=a$ dacă $a\ge 0$ și $|a|=-a$ dacă $a<0$. Modulul nu este niciodată negativ: $|-7|=7$, $|3-8|=|-5|=5$. Distanța dintre punctele de coordonate $a$ și $b$ este $|a-b|$.
Exemplu: ecuația $|x|=4$ cere numerele aflate la distanța $4$ de $0$. Sunt două: $x=4$ și $x=-4$, deci mulțimea soluțiilor este $\{-4,4\}$.
Un interval este mulțimea tuturor numerelor reale dintre două capete. Paranteza pătrată înseamnă că acel capăt face parte din interval, cea rotundă că nu: $[-1,5)$ conține toate numerele $x$ cu $-1\le x<5$. La infinit paranteza este mereu rotundă: $(2,+\infty)$ înseamnă $x>2$.
Intersecția a două intervale conține numerele aflate în ambele, reuniunea pe cele aflate în cel puțin unul.
Exemplul 2: $[-1,5)\cap(2,7]$. Un număr din ambele este mai mare decât $2$ și mai mic decât $5$. Capătul $2$ lipsește din al doilea interval, iar $5$ din primul, deci intersecția este $(2,5)$. Reuniunea este $[-1,7]$.
Aproximarea la zecimi, la sutimi etc. se face prin lipsă (numărul imediat mai mic cu atâtea zecimale), prin adaos (cel imediat mai mare) sau prin rotunjire (cel mai apropiat).
Exemplul 3: $\sqrt{2}=1{,}4142\ldots$ Cum $1{,}4<\sqrt{2}<1{,}5$, aproximarea la zecimi prin lipsă este $1{,}4$, iar prin adaos $1{,}5$. Prin rotunjire, cifra sutimilor este $1<5$, deci tot $1{,}4$.
Mediu
Ca să scoți un modul, afli întâi semnul expresiei din interior: dacă este pozitivă, modulul o lasă neschimbată; dacă este negativă, modulul schimbă semnul întregii expresii.
Exemplu: $\left|2-\sqrt{5}\right|+\left|3-\sqrt{5}\right|$. Cum $4<5<9$, avem $2<\sqrt{5}<3$. Deci $2-\sqrt{5}<0$ și $\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$, iar $3-\sqrt{5}>0$ și $\left|3-\sqrt{5}\right|=3-\sqrt{5}$. Suma este $\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$.
O inecuație cu modul se transformă într-un interval: $|x-a|\le r$ înseamnă $-r\le x-a\le r$, adică $x\in[a-r,a+r]$.
Exemplul 2: $|x-2|\le 3$ înseamnă $-3\le x-2\le 3$, adică $-1\le x\le 5$. Mulțimea soluțiilor este $[-1,5]$ — numerele aflate la distanța cel mult $3$ de $2$.
Când capetele unui interval sunt radicali, îi încadrezi între doi întregi consecutivi, comparând pătratele.
Exemplul 3: câte numere întregi sunt în $\left[-\sqrt{10},\sqrt{5}\right)$? Din $9<10<16$ rezultă $3<\sqrt{10}<4$, deci $-\sqrt{10}\approx -3{,}16$; din $4<5<9$ rezultă $2<\sqrt{5}<3$, deci $\sqrt{5}\approx 2{,}24$. Întregii din interval sunt $-3,-2,-1,0,1,2$, adică $6$.
Avansat
Ideea care deblochează problemele grele cu module este să citești modulul ca distanță pe axă.
Ideea 1 — $|x-a|+|x-b|$ este suma distanțelor de la $x$ la $a$ și la $b$. Dacă $x$ este între $a$ și $b$, suma este exact distanța dintre $a$ și $b$; dacă $x$ este în afară, suma este mai mare.
Exemplu: ecuația $|x+2|+|x-4|=6$. Distanța dintre $-2$ și $4$ este $4-(-2)=6$, deci ecuația este verificată de toate numerele din $[-2,4]$ și de niciunul din afară. Algebric: pentru $x\in[-2,4]$, $|x+2|+|x-4|=x+2+4-x=6$; pentru $x<-2$, expresia este $-2x+2>6$; pentru $x>4$, este $2x-2>6$. Mulțimea soluțiilor este intervalul $[-2,4]$.
Pentru $|x+2|+|x-4|=10$ aceleași formule dau $-2x+2=10$, adică $x=-4$, și $2x-2=10$, adică $x=6$: două soluții.
Ideea 2 — $\sqrt{x^2}=|x|$, nu $x$. Când un radical conține un pătrat, rezultatul este un modul, și semnul lui trebuie decis.
Exemplul 2: $\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}+\left|\sqrt{2}-2\right|$. Primul termen este $\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1$, pentru că $\sqrt{2}>1$. Al doilea este $2-\sqrt{2}$, pentru că $\sqrt{2}<2$. Suma este $\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}=1$.
Greșeli frecvente
O singură soluție la $|x|=4$: și $-4$ are modulul $4$, deci soluțiile sunt $-4$ și $4$. Iar $|x|=4$ nu este $x^2=4$.
Modulul schimbă doar semnul primului termen: $\left|2-\sqrt{5}\right|$ nu este $2+\sqrt{5}$, ci $\sqrt{5}-2$. Semnul se schimbă pentru toată expresia.
Modulul scos fără verificarea semnului: $\left|3-\sqrt{5}\right|=3-\sqrt{5}$ pentru că $\sqrt{5}<3$, dar $\left|2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$ pentru că $\sqrt{5}>2$. Fiecare modul se verifică separat.
Capetele intervalelor: în $[-1,5)$, $-1$ aparține intervalului, dar $5$ nu. La intersecție un capăt intră doar dacă aparține ambelor intervale.
Reuniunea confundată cu intersecția: intersecția conține numerele comune, deci este mai mică decât fiecare interval; reuniunea le adună pe toate.
Aproximările amestecate: prin lipsă se ia valoarea mai mică, prin adaos cea mai mare, iar „la zecimi” înseamnă o singură cifră după virgulă. Pentru $\sqrt{2}$: $1{,}4$ prin lipsă, $1{,}5$ prin adaos, iar $1{,}42$ este deja o aproximare la sutimi.
Surse pentru partea istorică
- Tăblița YBC 7289, între 1800 și 1600 î.Hr., la Yale, cu radical din 2 aproximat la circa 1,41421296, corect la șase zecimale — en.wikipedia.org
- Arhimede, „Măsurarea cercului” (în jurul anului 250 î.Hr.): pi între 3 10/71 și 3 1/7, cu poligoane de 96 de laturi — en.wikipedia.org
- Argand folosește termenul „module” în 1806, Weierstrass introduce notația cu bare verticale în 1841 — en.wikipedia.org
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.