Teorie · C10 Geometrie · clasa a VI-a
Triunghiul dreptunghic în clasa a VI-a: teorema lui Pitagora, unghiul de 30°, mediana pe ipotenuză
Ce înveți în clasa a VI-a despre triunghiul dreptunghic: teorema lui Pitagora cu numere naturale, tripletele pitagoreice, cateta opusă unghiului de 30° și mediana dusă pe ipotenuză, cu reciprocele lor și exemple rezolvate.
De unde vine
Relația dintre laturile unui triunghi dreptunghic este mult mai veche decât Pitagora. O tăbliță de lut babiloniană, numită Plimpton 322 și scrisă în jurul anului 1800 î.Hr., conține un tabel de triplete de numere naturale $a$, $b$, $c$ cu $a^2+b^2=c^2$ — adică exact tripletele pitagoreice pe care le verifici și tu.
Pitagora a trăit în secolul al VI-lea î.Hr. (aproximativ 570–495 î.Hr.), iar teorema îi poartă numele, deși în textele grecești păstrate din primele cinci secole după el nimeni nu i-o atribuie. Cea mai veche demonstrație păstrată se află în „Elementele” lui Euclid (cartea I, propoziția 47). În China, cartea „Zhoubi Suanjing” o explică pe triunghiul cu laturile $3$, $4$ și $5$, iar acolo teorema se numește „Gougu”.
Proprietatea medianei are și ea o poveste veche. Mediana dusă din unghiul drept este jumătate din ipotenuză pentru că mijlocul ipotenuzei este la aceeași distanță de toate cele trei vârfuri — adică vârful unghiului drept stă pe cercul cu diametrul egal cu ipotenuza. Acest fapt („unghiul înscris într-un semicerc este drept”) este atribuit de Diogene Laertios lui Thales din Milet, deși alți autori antici îl atribuiau lui Pitagora.
La ce folosește
Zidarii și tâmplarii folosesc tripletul $3$, $4$, $5$. Dacă unghiul dintre doi pereți este drept, atunci măsurând $3$ m pe un perete și $4$ m pe celălalt, distanța dintre cele două semne trebuie să fie exact $5$ m, pentru că $3^2+4^2=5^2$. Dacă iese altceva, unghiul nu este drept și peretele trebuie îndreptat.
O scară de $5$ m este sprijinită de un perete, cu piciorul la $3$ m de perete. Scara, peretele și podeaua formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $5$ m, deci înălțimea la care ajunge scara verifică $h^2=25-9=16$, adică $h=4$ m.
Pe o hartă cu străzi perpendiculare, drumul „în linie dreaptă” între două puncte este ipotenuza: e mai scurt decât drumul pe cele două străzi, care sunt catetele.
De bază
Un triunghi dreptunghic are un unghi de $90^\circ$. Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept — cea mai lungă — se numește ipotenuză. Din suma unghiurilor unui triunghi, cele două unghiuri ascuțite au împreună $90^\circ$.
Teorema lui Pitagora: în triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $BC^2=AB^2+AC^2$. Pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. În clasa a VI-a lucrezi cu numere naturale: afli $BC^2$, apoi cauți numărul natural al cărui pătrat este acela.
Exemplu: catetele au $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Atunci $BC^2=36+64=100$. Cum $10^2=100$, ipotenuza este $BC=10$ cm.
Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este jumătate din ipotenuză.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $m(\sphericalangle C)=30^\circ$ și $BC=14$ cm. Cateta opusă unghiului $C$ este $AB$, deci $AB=\frac{14}{2}=7$ cm. Celălalt unghi ascuțit are $m(\sphericalangle B)=90^\circ-30^\circ=60^\circ$.
Mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.
Exemplul 3: dacă ipotenuza are $10$ cm și $M$ este mijlocul ei, atunci $AM=\frac{10}{2}=5$ cm — la fel de lungă ca $BM$ și $MC$.
Mediu
Pitagora merge și invers: dacă știi ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află prin scădere, $AB^2=BC^2-AC^2$.
Exemplu: ipotenuza are $13$ cm, iar o catetă are $5$ cm. Cealaltă catetă verifică $c^2=169-25=144$, iar $12^2=144$, deci cateta are $12$ cm.
Ambele proprietăți ale triunghiului dreptunghic au și reciproce. Dacă într-un triunghi dreptunghic o catetă este jumătate din ipotenuză, unghiul opus ei are $30^\circ$. Dacă într-un triunghi mediana dusă dintr-un vârf este jumătate din latura pe care cade, unghiul din acel vârf este drept.
Exemplul 2: în triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $BC$, $BC=10$ cm, $AM=5$ cm și $AB=6$ cm. Cum $AM=\frac{BC}{2}$, triunghiul este dreptunghic în $A$. Atunci $AC^2=100-36=64$, deci $AC=8$ cm, iar perimetrul triunghiului este $6+8+10=24$ cm.
Un triplet pitagoreic este un triplet de numere naturale $a$, $b$, $c$ cu $a^2+b^2=c^2$. Merită să le recunoști: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$. Verificare pentru ultimul: $64+225=289=17^2$. Înmulțind un triplet cu același număr obții tot un triplet: din $(3, 4, 5)$ înmulțit cu $5$ obții $(15, 20, 25)$.
Exemplul 3: catetele au $15$ cm și $20$ cm. Fără calcul lung, $15=3\cdot 5$ și $20=4\cdot 5$, deci ipotenuza este $5\cdot 5=25$ cm.
Avansat
La problemele grele, triunghiul dreptunghic nu este dat de-a gata: trebuie să observi că proprietățile lui se leagă între ele sau să construiești tu unul.
Ideea 1 — unghiul de $30^\circ$ și mediana împreună dau un triunghi echilateral.
Exemplu: triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $m(\sphericalangle C)=30^\circ$ și $BC=20$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $BC$. Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ este $AB=10$ cm. Mediana este $AM=\frac{20}{2}=10$ cm, iar $BM=10$ cm. Triunghiul $ABM$ are toate laturile de $10$ cm, deci este echilateral, și perimetrul lui este $30$ cm. De aici se vede și de ce $m(\sphericalangle B)=60^\circ$.
Ideea 2 — într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf cade în mijlocul bazei și formează două triunghiuri dreptunghice.
Exemplul 2: triunghiul $ABC$ are $AB=AC=10$ cm și $BC=12$ cm, iar $AM\perp BC$. Fiind isoscel, $M$ este mijlocul bazei, deci $BM=6$ cm. În triunghiul dreptunghic $ABM$, $AM^2=100-36=64$, deci înălțimea este $AM=8$ cm, iar perimetrul triunghiului $ABM$ este $10+6+8=24$ cm.
Ideea 3 — când o problemă îți dă un unghi de $60^\circ$ într-un triunghi dreptunghic, celălalt unghi ascuțit are $30^\circ$: caută cateta opusă lui și folosește regula jumătății.
Greșeli frecvente
Adunarea catetelor în loc de pătratele lor: ipotenuza triunghiului cu catetele $6$ și $8$ nu este $14$, ci $10$, pentru că $36+64=100=10^2$.
Oprirea la pătrat: din $BC^2=100$ rezultă $BC=10$, nu $100$ și nici $50$. Cauți numărul care, înmulțit cu el însuși, dă $100$.
Scăderea în loc de adunare când se caută ipotenuza. Se scade doar când se caută o catetă.
Ipotenuza pusă greșit: ipotenuza este latura OPUSĂ unghiului drept, nu orice latură lungă din desen.
Regula unghiului de $30^\circ$ aplicată pe cateta greșită: jumătate din ipotenuză este cateta OPUSĂ unghiului de $30^\circ$, nu cea alăturată lui.
Regula medianei aplicată oricărei mediane: doar mediana dusă din vârful unghiului DREPT, pe ipotenuză, este jumătate din ipotenuză.
Surse pentru partea istorică
- Tăblița babiloniană Plimpton 322, scrisă în jurul anului 1800 î.Hr., conține triplete pitagoreice — en.wikipedia.org
- Pitagora (c. 570–495 î.Hr.), fără atribuire în textele grecești din primele cinci secole, demonstrația din Elementele lui Euclid (I.47), teorema Gougu din Zhoubi Suanjing pe triunghiul 3, 4, 5 — en.wikipedia.org
- Unghiul înscris în semicerc atribuit lui Thales după Diogene Laertios, alți autori îl atribuiau lui Pitagora — mathshistory.st-andrews.ac.uk
Text generat cu ajutorul unui model AI și verificat înainte de publicare.